第7章 实数(90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.(2024·遂宁中考)下列各数中,无理数是 (C)
A.-2 B. C. D.0
2.判断下列几组数中,一定是勾股数的是 (B)
A.1,, B.8,15,17 C.7,14,15 D.,,1
3.如图,有一只喜鹊在一棵2 m高的小树AB上觅食,它的巢筑在与该树水平距离(BD)为8 m的一棵9 m高的大树DM上,喜鹊的巢位于树顶下方1 m的C处,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即飞过去,如果它飞行的速度为2.5 m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是 (C)
A.1 s B.3 s C.4 s D.6 s
4.(2024·潍坊模拟)下列说法中错误的是 (C)
A.是0.25的一个平方根 B.正数a的两个平方根的和为0
C.的平方根是 D.当x≠0时,-x2没有平方根
5.(2024·绥化中考)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 (A)
A. B.6 C. D.12
6.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 (B)
A.9 B.10 C.11 D.12
7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,小正方形的面积为5,则大正方形的面积为 (B)
A.12 B.13 C.14 D.15
8.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.如图,“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2的值为 (C)
A.6 B.12 C.20 D.40
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·菏泽期末)若x是4的算术平方根,y是-8的立方根,则xy的值为 -4 .
10.(2024·聊城期末)一个正数的平方根是m+1与2m-3,则m的值是 ,这个正数是 .
11.如图,小明想知道学校旗杆的高度,他将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端6 m处,发现此时绳子底端距离打结处2 m,则旗杆的高度为 8 m.
12.如图,方格中的点A,B,C,D,E称为“格点”(格线的交点),以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形,其中直角三角形有 3 个.
13.如图,正方形ABCD的顶点A在数轴上对应的数为2,以点A为圆心,AD长为半径画圆弧,交数轴于点E(点E位于点A的左侧).若正方形ABCD的面积为2,则点E表示的数为 2- .
14.如图所示,把枯木看作一个圆柱体,该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则葛藤的最短长度是 25 尺.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·潍坊期末)计算:(1)-32+()2×(-)+|1-|-.
(2)--++
【解析】(1)-32+()2×(-)+|1-|-
=-9+×(-)-(1-)-(-2)
=-9-1+-1+2
=-9.
(2)--++
=-3-0-+0.5+
=-.
16.(8分)已知m+3的平方根是±1,2n-12的立方根是4.
(1)求m,n的值;
(2)求m+n的算术平方根.
【解析】(1)∵m+3的平方根是±1,2n-12的立方根是4,
∴m+3=1,2n-12=64,
解得:m=-2,n=38,
∴m的值为-2,n的值为38;
(2)∵m=-2,n=38,
∴m+n=-2+38=36,
∴m+n的算术平方根是6.
17.(8分)如图,四边形ABCD中,∠ADC=90°,CD=9,AD=12,BC=8,AB=17.
(1)求证:∠ACB=90°;
(2)求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)连接AC,如图所示:
因为∠ADC=90°,CD=9,AD=12,
所以AC2=AD2+CD2=122+92=152,AC=15,
因为AC2+BC2=152+82=289,AB2=172=289,
所以AC2+BC2=AB2,
所以△ACB是直角三角形,所以∠ACB=90°;
(2)S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=×9×12+×15×8=54+60=114.
故四边形ABCD的面积为114.
18.(10分)如图1,图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图,根据商品介绍,获得了如下信息:滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等,即DE=BC=AB=50 cm,点B,F在线段AC上,点C在DE上,支杆DF=30 cm.
(1)当E与C点重合,CF=40 cm时,△CDF是什么三角形
(2)若EC=36 cm时,B,D相距48 cm,试判定BD与DE的位置关系,并说明理由.
【解析】(1)因为E与C点重合,所以DC=DE=50 cm,
因为DF=30 cm,CF=40 cm,所以DC2=CF2+DF2,
所以∠CFD=90°,所以△CDF是直角三角形;
(2)BD⊥DE,理由:连接BD,
因为EC=36 cm,DE=50 cm,所以CD=DE-EC=14 cm,
因为BC=50 cm,BD=48 cm,
所以CD2+BD2=142+482=2 500,BC2=502=2 500,所以CD2+BD2=BC2,所以△BCD是直角三角形,所以∠BDC=90°,所以BD⊥DE.
19.(8分)(2024·聊城质检)请根据如图所示的对话内容回答下列问题.
(1)求该魔方的棱长;
(2)求该长方体纸盒的表面积.
【解析】(1)设魔方的棱长为x cm,可得:x3=216,
解得:x=6
答:该魔方的棱长6 cm;
(2)设该长方体纸盒的长为y cm,则6y2=600,
故y2=100,解得:y=±10
因为y是正数,所以y=10
10×10×2+10×6×4=440(cm2)
答:该长方体纸盒的表面积为440 cm2.
20.(10分)(2024·西安质检)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观,从而可以帮助我们快速解题,初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
(1)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1,S2,S3,请直接写出S1,S2,S3之间存在的等量关系 ;
(2)如图②,如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆,那么(1)中的结论是否成立 请说明理由;
(3)如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,三边长分别为5,12,13,分别以它的三边长为直径向上作半圆,求图③中阴影部分的面积.
【解析】(1)因为S1=a2,S2=b2,S3=c2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,所以a2+b2=c2,所以S1+S2=S3.
答案:S1+S2=S3
(2)成立,设直角三角形两条直角边分别为a,b,斜边为c.
所以S2=π()2=,S3=π()2=,S1=π()2=,
因为+=,所以S1+S2=S3;
(3)根据(2)的结论,两个以直角边为直径的半圆面积之和等于以斜边为直径的半圆面积.
所以阴影部分的面积=直角三角形面积,所以阴影部分的面积=5×12÷2=30.
【附加题】(10分)
(2024·菏泽期末)阅读下面的材料,然后解答问题:
我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形称为奇异三角形.
理解:
①根据奇异三角形的定义,请你判断:等边三角形一定是奇异三角形吗 (填“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1,,2,则该三角形 (填“是”或“不是”)奇异三角形.
探究:
在Rt△ABC中,两边长分别是a,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是否是奇异三角形 请说明理由.
拓展:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形,求a2∶b2∶c2.
【解析】理解:①设等边三角形的边长为a,∵a2+a2=2a2,∴等边三角形一定是奇异三角形;
答案:是
②∵12+()2=2×22,∴该三角形是奇异三角形;
答案:是
探究:当c为斜边时,b2=c2-a2=50,Rt△ABC不是奇异三角形;
当b为斜边时,b2=c2+a2=150,
∵50+150=2×100,∴a2+b2=2c2,∴Rt△ABC是奇异三角形;
拓展:Rt△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,
∵c>b>a,∴2c2>b2+a2,2a2∵Rt△ABC是奇异三角形,∴2b2=a2+c2,
∴2b2=a2+a2+b2,∴b2=2a2,
∵a2+b2=c2,∴c2=3a2,∴a2∶b2∶c2=1∶2∶3.第7章 实数(90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.(2024·遂宁中考)下列各数中,无理数是 ( )
A.-2 B. C. D.0
2.判断下列几组数中,一定是勾股数的是 ( )
A.1,, B.8,15,17 C.7,14,15 D.,,1
3.如图,有一只喜鹊在一棵2 m高的小树AB上觅食,它的巢筑在与该树水平距离(BD)为8 m的一棵9 m高的大树DM上,喜鹊的巢位于树顶下方1 m的C处,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即飞过去,如果它飞行的速度为2.5 m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是 ( )
A.1 s B.3 s C.4 s D.6 s
4.(2024·潍坊模拟)下列说法中错误的是 ( )
A.是0.25的一个平方根 B.正数a的两个平方根的和为0
C.的平方根是 D.当x≠0时,-x2没有平方根
5.(2024·绥化中考)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 ( )
A. B.6 C. D.12
6.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,小正方形的面积为5,则大正方形的面积为 ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
8.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.如图,“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2的值为 ( )
A.6 B.12 C.20 D.40
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·菏泽期末)若x是4的算术平方根,y是-8的立方根,则xy的值为 .
10.(2024·聊城期末)一个正数的平方根是m+1与2m-3,则m的值是 ,这个正数是 .
11.如图,小明想知道学校旗杆的高度,他将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端6 m处,发现此时绳子底端距离打结处2 m,则旗杆的高度为 m.
12.如图,方格中的点A,B,C,D,E称为“格点”(格线的交点),以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形,其中直角三角形有 个.
13.如图,正方形ABCD的顶点A在数轴上对应的数为2,以点A为圆心,AD长为半径画圆弧,交数轴于点E(点E位于点A的左侧).若正方形ABCD的面积为2,则点E表示的数为 .
14.如图所示,把枯木看作一个圆柱体,该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则葛藤的最短长度是 尺.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·潍坊期末)计算:(1)-32+()2×(-)+|1-|-.
(2)--++
16.(8分)已知m+3的平方根是±1,2n-12的立方根是4.
(1)求m,n的值;
(2)求m+n的算术平方根.
17.(8分)如图,四边形ABCD中,∠ADC=90°,CD=9,AD=12,BC=8,AB=17.
(1)求证:∠ACB=90°;
(2)求四边形ABCD的面积.
18.(10分)如图1,图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图,根据商品介绍,获得了如下信息:滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等,即DE=BC=AB=50 cm,点B,F在线段AC上,点C在DE上,支杆DF=30 cm.
(1)当E与C点重合,CF=40 cm时,△CDF是什么三角形
(2)若EC=36 cm时,B,D相距48 cm,试判定BD与DE的位置关系,并说明理由.
19.(8分)(2024·聊城质检)请根据如图所示的对话内容回答下列问题.
(1)求该魔方的棱长;
(2)求该长方体纸盒的表面积.
20.(10分)(2024·西安质检)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观,从而可以帮助我们快速解题,初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
(1)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1,S2,S3,请直接写出S1,S2,S3之间存在的等量关系 ;
(2)如图②,如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆,那么(1)中的结论是否成立 请说明理由;
(3)如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,三边长分别为5,12,13,分别以它的三边长为直径向上作半圆,求图③中阴影部分的面积.
【附加题】(10分)
(2024·菏泽期末)阅读下面的材料,然后解答问题:
我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形称为奇异三角形.
理解:
①根据奇异三角形的定义,请你判断:等边三角形一定是奇异三角形吗 (填“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1,,2,则该三角形 (填“是”或“不是”)奇异三角形.
探究:
在Rt△ABC中,两边长分别是a,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是否是奇异三角形 请说明理由.
拓展:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形,求a2∶b2∶c2.
