第9章 二次根式(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在二次根式中.x的值可以是 (A)
A.-3 B.2 C.1 D.0.5
2.如果ab>0,a+b<0,给出下面各式:
①·=-a;②=;③·=1,其中正确的是 (C)
A.①② B.②③
C.①③ D.②
3.已知m为实数,且m=+1,下列说法:①x≥;②当x=5时,m的值是4或-2;③m≥1;④>0.其中正确的个数是 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:-= (C)
A.-a-b B.-a+b
C.a+b D.a-b
5.已知一个三角形的面积为,一边长为,这条边上的高为 (A)
A.4 B.2 C. D.2
6.若+=b(b为整数),则a的值可以是 (D)
A. B.27 C.24 D.20
7.已知数轴上A,B两点,且这两点间的距离为4,若点A在数轴上表示的数是3,则点B表示的数为 (C)
A.- B.7
C.-或7 D.或-7
8.如图,正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形,如果两个小正方形的面积分别是2和5,那么两个长方形的面积和为 (B)
A. B.2 C.7 D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.若最简二次根式可以与3合并,则a的值是 3 .
10.若a=3-,则代数式a2-6a+9= 10 .
11.若某三角形的三边长分别为2,5,n,则化简+|8-n|的结果为 5 .
12.已知=,且x是偶数,则(x+2)的值为 2 .
13.点A(a,b)为平面直角坐标系中第三象限内一点,已知点A到y轴的距离为5,且|b+1|=3,则的值为 1 .
14.计算:+++…+= 2-1 .
三、解答题(共52分)
15.(6分)若最简二次根式和能合并.
(1)求x,y的值;
【解析】(1)∵最简二次根式和能合并,∴,解得;
(2)求x,y平方和的算术平方根.
【解析】(2)∵x,y的平方和为x2+y2=16+9=25,∴x,y平方和的算术平方根为5.
16.(8分)已知a,b分别为等腰三角形的两条边的长,且a,b满足b=++3,求这个三角形的周长.
【解析】由题意得3a-6≥0,2-a≥0,解得a=2,则b=,
当三角形的三边长分别为2,2,时,三角形的周长为2+2+=4+;
当三角形的三边长分别为2,,时,三角形的周长为2++=2+2;
综上所述:这个三角形的周长为4+或2+2.
17.(8分)计算:(1)6×(-)+×+(-15)0.
【解析】(1)原式=-3++1
=2-3+1
=2-2.
(2)×(-)÷.
【解析】(2)原式=-×2××4÷=-×2××4×
=-4
=-4×
=-3.
(3)2(-2)-(4-).
【解析】(3)原式=2×(-)-×(-2)
=--+
=-.
(4)++6.
【解析】(4)原式=3+4-4+2+6×
=3+4-4+2+2
=7.
18.(8分)已知a,b,c满足|a-|++(c-4)2=0.
(1)求a,b,c的值;
【解析】(1)∵a,b,c满足|a-|++=0.
∴|a-|=0,=0,=0,
解得a=,b=5,c=4;
(2)判断以a,b,c为边能否构成三角形 若能构成三角形,此三角形是什么形状 并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.
【解析】(2)∵a=,b=5,c=4,
∴a+b=+5>4,b-a=5-<4,
∴以a,b,c为边能构成三角形.
∵a2+b2=+52=32==c2,
∴此三角形是直角三角形,
∴面积S=××5=.
19.(10分)长方形绿地的长BC为8米,宽AB为米,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分),长方形花坛的长为+1米,宽为-1米.
(1)长方形ABCD的周长是多少 (结果化为最简二次根式)
【解析】(1)长方形ABCD的周长=2×(8+)=2×(8+7)=16+14(米);
答:长方形ABCD的周长是16+14(米).
(2)除去修建花坛的地方.其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为6元/m2的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元 (结果化为最简二次根式)
【解析】(2)通道的面积=(8×)-(+1)(-1)=56-(13-1)=56-12(平方米),
购买地砖需要花费6×(56-12)=336-72(元).
答:购买地砖需要花费(336-72)元.
20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为A(m,0),B(0,n),且|m-6|+=0,点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿射线AO匀速运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)求OA,OB的长;
【解析】(1)∵|m-6|+=0,|m-6|≥0,≥0,
∴m-6=0,n-3=0,解得m=6,n=3,
∴A,B两点的坐标分别为A(6,0),B(0,3),∴OA=6,OB=3;
(2)连接PB,当S△POB=S△AOB时,求t的值;
【解析】(2)设点P的坐标为(a,0),S△AOB=×3×6=9,
则×|a|×3=×9,解得a=±2,
则点P的坐标为(2,0)或(-2,0),
∴AP=4或8,∴t=2或4,
∴当S△POB=S△AOB时,t=2或4;
(3)过点P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与y轴交于点E,在点P的运动过程中,是否存在这样的点P,使得△EOP≌△AOB 若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)当点P在OA上时,∠EOP=∠AOB=90°,
∵∠OPE=∠APD,∴∠OEP=∠OAB,
∴当OP=OB=3时,△EOP≌△AOB,此时AP=6-3=3,∴t=.
当点P'在x轴的负半轴上,OP'=OB=3时,△E'OP'≌△AOB,
此时AP'=6+3=9,
∴t=,
综上所述:当△EOP≌△AOB时,t=或.
【附加题】(10分)
阅读材料:
已知a,b为非负实数,∵a+b-2=+-2·=≥0,
∴a+b≥2,当且仅当“a=b”时,等号成立.
这个结论就是著名的“均值不等式”,“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例:已知x>0,求代数式x+的最小值.
解:令a=x,b=,则由a+b≥2得x+≥2=4.
当且仅当x=,即x=2时,代数式取到最小值,最小值为4.
根据以上材料解答下列问题:
(1)已知x>0,则当x= 时,代数式x+取到最小值,最小值为 2 ;
【解析】(1)∵x+≥2=2,当x=时,即x=时,代数式取到最小值,最小值为2;
(2)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形花园,则当这个矩形花园的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短 最短的篱笆的长度是多少米
【解析】(2)设矩形的长为x,宽为,
∵2(x+)≥2×2=40,
当x=,即x=10时,2(x+)的最小值为40,
∴当长和宽均为10 m时,篱笆的长度最短,最短为40 m;
(3)已知x>0,则自变量x取何值时,代数式取到最大值 最大值为多少
【解析】(3)∵=,x+≥2=6,当x=,即x=3时,x+的最小值为6,
∴当x=3时,取到最大值,为=;
(4)若x为任意实数,代数式的值为m,求m的范围.
【解析】(4)当x=0时,m=0,
当x≠0时,m=,
当x>0时,x+≥2=2,
∴当x=,即x=时,m最大值==,
当x<0时,m=,
-(-x-)≤-2,
∴m最小值==-,
综上所述-≤m≤.第9章 二次根式(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在二次根式中.x的值可以是 ( )
A.-3 B.2 C.1 D.0.5
2.如果ab>0,a+b<0,给出下面各式:
①·=-a;②=;③·=1,其中正确的是 ( )
A.①② B.②③
C.①③ D.②
3.已知m为实数,且m=+1,下列说法:①x≥;②当x=5时,m的值是4或-2;③m≥1;④>0.其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:-= ( )
A.-a-b B.-a+b
C.a+b D.a-b
5.已知一个三角形的面积为,一边长为,这条边上的高为 ( )
A.4 B.2 C. D.2
6.若+=b(b为整数),则a的值可以是 ( )
A. B.27 C.24 D.20
7.已知数轴上A,B两点,且这两点间的距离为4,若点A在数轴上表示的数是3,则点B表示的数为 ( )
A.- B.7
C.-或7 D.或-7
8.如图,正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形,如果两个小正方形的面积分别是2和5,那么两个长方形的面积和为 ( )
A. B.2 C.7 D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.若最简二次根式可以与3合并,则a的值是 .
10.若a=3-,则代数式a2-6a+9= .
11.若某三角形的三边长分别为2,5,n,则化简+|8-n|的结果为 .
12.已知=,且x是偶数,则(x+2)的值为 .
13.点A(a,b)为平面直角坐标系中第三象限内一点,已知点A到y轴的距离为5,且|b+1|=3,则的值为 .
14.计算:+++…+= .
三、解答题(共52分)
15.(6分)若最简二次根式和能合并.
(1)求x,y的值;
(2)求x,y平方和的算术平方根.
16.(8分)已知a,b分别为等腰三角形的两条边的长,且a,b满足b=++3,求这个三角形的周长.
17.(8分)计算:(1)6×(-)+×+(-15)0.
(2)×(-)÷.
(3)2(-2)-(4-).
(4)++6.
18.(8分)已知a,b,c满足|a-|++(c-4)2=0.
(1)求a,b,c的值;
(2)判断以a,b,c为边能否构成三角形 若能构成三角形,此三角形是什么形状 并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.
19.(10分)长方形绿地的长BC为8米,宽AB为米,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分),长方形花坛的长为+1米,宽为-1米.
(1)长方形ABCD的周长是多少 (结果化为最简二次根式)
(2)除去修建花坛的地方.其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为6元/m2的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元 (结果化为最简二次根式)
20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为A(m,0),B(0,n),且|m-6|+=0,点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿射线AO匀速运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)求OA,OB的长;
(2)连接PB,当S△POB=S△AOB时,求t的值;
(3)过点P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与y轴交于点E,在点P的运动过程中,是否存在这样的点P,使得△EOP≌△AOB 若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
【附加题】(10分)
阅读材料:
已知a,b为非负实数,∵a+b-2=+-2·=≥0,
∴a+b≥2,当且仅当“a=b”时,等号成立.
这个结论就是著名的“均值不等式”,“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例:已知x>0,求代数式x+的最小值.
解:令a=x,b=,则由a+b≥2得x+≥2=4.
当且仅当x=,即x=2时,代数式取到最小值,最小值为4.
根据以上材料解答下列问题:
(1)已知x>0,则当x= 时,代数式x+取到最小值,最小值为 ;
(2)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形花园,则当这个矩形花园的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短 最短的篱笆的长度是多少米
(3)已知x>0,则自变量x取何值时,代数式取到最大值 最大值为多少
(4)若x为任意实数,代数式的值为m,求m的范围.
