第11章 图形的平移与旋转(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023·广西中考)下列数学经典图形中,是中心对称图形的是(A)
2.下列生活现象中,属于平移的是(B)
A.钟摆的摆动 B.拉开抽屉
C.足球在草地上滚动 D.投影片的文字经投影转换到屏幕上
3.将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是(B)
4.如图,将含45°的直角三角板ADE绕点A逆时针旋转到△ABC处(点C,A,D在一条直线上),则本次旋转的旋转角度为(C)
A.45° B.90° C.135° D.180°
5.如图,Rt△ABC向右翻滚,下列说法正确的有(C)
(1)①→②是旋转; (2)①→③是平移;
(3)①→④是平移; (4)②→③是旋转.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.如图,将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置,连接CD,CE,若△ACD的面积为10,则△BCE的面积为(A)
A.5 B.6 C.10 D.4
7.(2023·泰安中考)如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,点A的坐标为(-6,4);Rt△COD中,∠COD=90°,OD=4,∠D=30°,连接BC,点M是BC中点,连接AM.将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转,在旋转过程中,线段AM的最小值是(A)
A.3 B.6-4 C.2-2 D.2
8.在平面直角坐标系中,把一个点从原点开始向上平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到点A1(1,1);把点A1向上平移2个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A2(-1,3);把点A2向下平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到点A3(-4,0);把点A3向下平移4个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到点A4(0,-4),…;按此做法进行下去,则点A2 023的坐标为(A)
A.(-2 024,0) B.(-2 022,0) C.(0,-2 024) D.(0,-2 022)
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知点M的坐标为(-3,-5),则关于原点对称的点的坐标为 (3,5) .
10.(2024·济南期中)夏季荷花盛开,为了便于游客领略“人从桥上过,如在河中行”的美好意境,大明湖某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥.若荷塘周长为280 m,桥宽忽略不计,则小桥总长为 140 m.
11.如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点B'的坐标为 (-4,8) .
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm.把△ABC沿AB方向平移
1 cm,得到△A'B'C',连接CC',则四边形AB'C'C的周长为 8+2 cm.
13.如图,直线a∥b,△AOB的边OB在直线b上,∠AOB=55°,将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1,边A1O交直线a于点C,则∠1= 50 °.
14.如图,△ABC和△CEF都是等腰直角三角形,∠BAC=∠CEF=90°,点E在AC边上.将△CEF绕点C逆时针旋转α(0°<α<180°),旋转过程中,直线EF分别与直线AC,BC交于点M,N,若△CMN是等腰三角形,则α的值为 22.5°或45°或112.5° .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点O,△ABC的顶点A,B,C均在格点(网格线的交点)上.
(1)把△ABC先向右平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1,在图中画出△A1B1C1;
(2)在图中画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
16.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3 cm,AC=4 cm,将△ABC沿BC方向平移1 cm,得到△A'B'C'.求四边形ABC'A'的面积.
【解析】∵△ABC沿BC方向平移1 cm,得到△A'B'C',∴AA'=CC'=1 cm,
∴BC'=BC+CC'=3+1=4(cm),
∵∠C'=90°,∴四边形ABC'A'是梯形且A'C'是梯形的高,
∴四边形ABC'A'的面积=×(1+4)×4=10(cm2).
17.(8分)如图,在10×10的正方形网格中建立直角坐标系,每个小正方形的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点的坐标依次为:A(0,2),B(-3,5),C(-2,2).
(1)将△ABC以点A为旋转中心旋转180°,得到△AB1C1,点B,C的对应点分别为点B1,C1,请在网格图中画出△AB1C1.
(2)将△ABC平移至△A2B2C2,其中点A,B,C的对应点分别为点A2,B2,C2,且点C2的坐标为(-2,-4),请在图中画出平移后的△A2B2C2.
(3)在第(1)(2)小题基础上,若将△AB1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2,则旋转中心的坐标为 .(直接写出答案)
【解析】(1)作图如下:
(2)作图如下:
(3)根据图形可知C1坐标为(2,2),
∵C1(2,2)和C2(-2,-4),且C1(2,2)和C2(-2,-4)关于某点中心对称,
∴对称中心的坐标为(,),即(0,-1).
答案:(0,-1)
18.(8分)如图,已知△ABC是等边三角形,在△ABC外有一点D,连接AD,BD,CD,将△ACD绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ABE,AD与BE交于点F,∠BFD=97°.
(1)求∠ADC的大小;
【解析】(1)∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ABE,
∴AB=AC,∠ADC=∠E,∠CAB=∠DAE=60°,
∵∠BFD=97°=∠AFE,
∴∠E=180°-97°-60°=23°,
∴∠ADC=∠E=23°;
(2)若∠BDC=7°,BD=2,BE=4,求AD的长.
【解析】(2)如图,连接DE,
∵AD=AE,∠DAE=60°,
∴△AED是等边三角形,
∴∠ADE=60°,AD=DE,
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ABE,
∴△ACD≌△ABE,∴CD=BE=4,
∵∠BDC=7°,∠ADC=23°,∠ADE=60°,
∴∠BDE=90°,
∴DE===2,
∴AD=DE=2.
19.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF,A,B,C的对应点分别是点D,E,F.
(1)若∠DAC=60°,求∠DFE的度数.
【解析】(1)∵△ABC沿射线BC方向平移,得到△DEF,
∴AC∥DF,AD∥BF,
∴∠DAC+∠ACF=180°,∠ACF+∠DFE=180°,
∴∠DFE=∠DAC=60°.
(2)若BC=8,在平移过程中,当AD=3EC时,求AD的长.
【解析】(2)∵△ABC沿射线BC方向平移,得到△DEF,
∴AD=BE=CF,
设AD=x,则BE=CF=x.
∵AD=3EC.
∴EC=x.
当点E在点C左侧时,
∵BC=8,
∴x+x=8,
解得x=6,即AD的长为6.
当点E在点C右侧时,同理可得,x-x=8,
解得x=12,
综上所述,AD=6或12.
20.(10分)综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一,在研究三角形的旋转过程中,发现下列问题:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,D,E分别为AB,AC边上一点,连接DE,且DE∥BC,将△ABC绕点A在平面内旋转.
(1)观察猜想
若α=60°,将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置,则BD与CE的数量关系为 ;
【解析】(1)如题图1,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠ABC,
∠AED=∠ACB,
∴∠ADE=∠AED,
∴AD=AE,
由旋转得:
∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC,
∴∠DAB=∠EAC,
在△ADB和△AEC中,
,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴BD=CE.
答案:BD=CE
(2)类比探究
若α=90°,将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置,DB,CE相交于点O,猜想DB,CE满足的位置关系,并说明理由.
【解析】(2)DB⊥CE,
理由如下:∵△ABC绕点A旋转到题图3所示的位置,α=90°,
∴∠DAE=∠BAC=90°,
∴∠DAB=∠EAC,
在△ADB和△AEC中,
,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠CPB是△BPO的外角,也是△ACP的外角,
∴∠CPB=∠ABO+∠COB
=∠ACO+∠CAB,
又∵∠ABO=∠ACO,
∴∠COB=∠CAB=90°,
∴DB⊥CE.
【附加题】(10分)
(2023·随州中考)1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点)
当△ABC的三个内角均小于120°时,
如图1,将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP',
由PC=P'C,∠PCP'=60°,可知△PCP'为① 三角形,故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'≥A'B,
由② 可知,当B,P,P',A'在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,如图2,最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”,
且有∠APC=∠BPC=∠APB=③ ;
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若∠BAC≥120°,则该三角形的“费马点”为④ 点.
(2)如图4,在△ABC中,三个内角均小于120°,且AC=3,BC=4,∠ACB=30°,已知点P为△ABC的“费马点”,求PA+PB+PC的值;
(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知AC=4 km,BC=2 km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/ km,a元/km,a元/km,选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为 元.(结果用含a的式子表示)
【解析】(1)∵PC=P'C,∠PCP'=60°,
∴△PCP'为等边三角形,
∴PP'=PC,∠P'PC=∠PP'C=60°,
又∵P'A'=PA,
∴PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'≥A'B,
根据两点之间线段最短可知,当B,P,P',A在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,最小值为A'B,
此时的P点为该三角形的“费马点”,
∴∠BPC+∠P'PC=180°,∠A'P'C+∠PP'C=180°,
∴∠BPC=120°,∠A'P'C=120°,
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,
∴△APC≌△A'P'C,
∴∠APC=∠A'P'C=120°,
∴∠APB=360°-120°-120°=120°,
∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°,
∵∠BAC≥120°,
∴BC>AC,BC>AB,
∴BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,
∴三个顶点中顶点A到另外两个顶点的距离和最小,
又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时,“费马点”为该三角形的某个顶点,
∴该三角形的“费马点”为点A.
答案:①等边 ②两点之间线段最短
③120° ④A
(2)如图,将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP',
由(1)可知当B,P,P',A'在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,最小值为A'B,
∵∠ACP=∠A'CP',
∴∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30°,
又∵∠PCP'=60°,
∴∠BCA'=90°,
根据旋转的性质可知:AC=A'C=3,
∴A'B==5,
即PA+PB+PC的最小值为5;
(3)∵总铺设成本=PA×a+PB×a+PC×a=a(PA+PB+PC),
∴当PA+PB+PC最小时,总铺设成本最低,
将△APC绕点C顺时针旋转90°得到△A'P'C,连接PP',A'B,如图.
由旋转性质可知:P'C=PC,∠PCP'=∠ACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4 km,
∴PP'=PC,
∴PA+PB+PC=P'A'+PB+PP',
当B,P,P',A'在同一条直线上时,P'A'+PB+PP'取最小值,
即PA+PB+PC取最小值为A'B,
过点A'作A'H⊥BC延长线于H,
∵∠ACB=60°,∠ACA'=90°,
∴∠A'CH=30°,
∴A'H=A'C=2 km,
∴HC===2(km),
∴BH=BC+CH=2+2=4(km),
∴A'B===2( km),
即PA+PB+PC的最小值为2 km,
总铺设成本=a(PA+PB+PC)=2a(元).
答案:2a第11章 图形的平移与旋转(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023·广西中考)下列数学经典图形中,是中心对称图形的是( )
2.下列生活现象中,属于平移的是( )
A.钟摆的摆动 B.拉开抽屉
C.足球在草地上滚动 D.投影片的文字经投影转换到屏幕上
3.将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是( )
4.如图,将含45°的直角三角板ADE绕点A逆时针旋转到△ABC处(点C,A,D在一条直线上),则本次旋转的旋转角度为( )
A.45° B.90° C.135° D.180°
5.如图,Rt△ABC向右翻滚,下列说法正确的有( )
(1)①→②是旋转; (2)①→③是平移;
(3)①→④是平移; (4)②→③是旋转.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.如图,将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置,连接CD,CE,若△ACD的面积为10,则△BCE的面积为( )
A.5 B.6 C.10 D.4
7.(2023·泰安中考)如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,点A的坐标为(-6,4);Rt△COD中,∠COD=90°,OD=4,∠D=30°,连接BC,点M是BC中点,连接AM.将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转,在旋转过程中,线段AM的最小值是( )
A.3 B.6-4 C.2-2 D.2
8.在平面直角坐标系中,把一个点从原点开始向上平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到点A1(1,1);把点A1向上平移2个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A2(-1,3);把点A2向下平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到点A3(-4,0);把点A3向下平移4个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到点A4(0,-4),…;按此做法进行下去,则点A2 023的坐标为( )
A.(-2 024,0) B.(-2 022,0) C.(0,-2 024) D.(0,-2 022)
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知点M的坐标为(-3,-5),则关于原点对称的点的坐标为 .
10.(2024·济南期中)夏季荷花盛开,为了便于游客领略“人从桥上过,如在河中行”的美好意境,大明湖某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥.若荷塘周长为280 m,桥宽忽略不计,则小桥总长为 m.
11.如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点B'的坐标为 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm.把△ABC沿AB方向平移
1 cm,得到△A'B'C',连接CC',则四边形AB'C'C的周长为 cm.
13.如图,直线a∥b,△AOB的边OB在直线b上,∠AOB=55°,将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1,边A1O交直线a于点C,则∠1= °.
14.如图,△ABC和△CEF都是等腰直角三角形,∠BAC=∠CEF=90°,点E在AC边上.将△CEF绕点C逆时针旋转α(0°<α<180°),旋转过程中,直线EF分别与直线AC,BC交于点M,N,若△CMN是等腰三角形,则α的值为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点O,△ABC的顶点A,B,C均在格点(网格线的交点)上.
(1)把△ABC先向右平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1,在图中画出△A1B1C1;
(2)在图中画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
16.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3 cm,AC=4 cm,将△ABC沿BC方向平移1 cm,得到△A'B'C'.求四边形ABC'A'的面积.
17.(8分)如图,在10×10的正方形网格中建立直角坐标系,每个小正方形的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点的坐标依次为:A(0,2),B(-3,5),C(-2,2).
(1)将△ABC以点A为旋转中心旋转180°,得到△AB1C1,点B,C的对应点分别为点B1,C1,请在网格图中画出△AB1C1.
(2)将△ABC平移至△A2B2C2,其中点A,B,C的对应点分别为点A2,B2,C2,且点C2的坐标为(-2,-4),请在图中画出平移后的△A2B2C2.
(3)在第(1)(2)小题基础上,若将△AB1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2,则旋转中心的坐标为 .(直接写出答案)
18.(8分)如图,已知△ABC是等边三角形,在△ABC外有一点D,连接AD,BD,CD,将△ACD绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ABE,AD与BE交于点F,∠BFD=97°.
(1)求∠ADC的大小;
(2)若∠BDC=7°,BD=2,BE=4,求AD的长.
19.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF,A,B,C的对应点分别是点D,E,F.
(1)若∠DAC=60°,求∠DFE的度数.
(2)若BC=8,在平移过程中,当AD=3EC时,求AD的长.
20.(10分)综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一,在研究三角形的旋转过程中,发现下列问题:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,D,E分别为AB,AC边上一点,连接DE,且DE∥BC,将△ABC绕点A在平面内旋转.
(1)观察猜想
若α=60°,将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置,则BD与CE的数量关系为 ;
(2)类比探究
若α=90°,将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置,DB,CE相交于点O,猜想DB,CE满足的位置关系,并说明理由.
【附加题】(10分)
(2023·随州中考)1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点)
当△ABC的三个内角均小于120°时,
如图1,将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP',
由PC=P'C,∠PCP'=60°,可知△PCP'为 三角形,故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'≥A'B,
由 可知,当B,P,P',A'在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,如图2,最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”,
且有∠APC=∠BPC=∠APB= ;
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若∠BAC≥120°,则该三角形的“费马点”为 点.
(2)如图4,在△ABC中,三个内角均小于120°,且AC=3,BC=4,∠ACB=30°,已知点P为△ABC的“费马点”,求PA+PB+PC的值;
(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知AC=4 km,BC=2 km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/ km,a元/km,a元/km,选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为 元.(结果用含a的式子表示)
