18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解平行四边形的概念. 几何直观、模型观念
2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质. 推理能力、几何直观、模型观念
3.理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离. 抽象能力、几何直观
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.定义: 两组对边分别 平行 的四边形. 1.如图, ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,则图中的平行四边形共有(C) A.7个 B.8个 C.9个 D.11个
2.性质: (1)两组对边分别 平行 、 相等 . (2)两组对角分别 相等 . (3)邻角 互补 . 2.(1)如图,在 ABCD中,若∠B=55°,点E在CD的延长线上,则∠ADE= 125 °. (2)如图,在 ABCD中,AB=5,AD=3,AC⊥BC,则AC= 4 .
3.两条平行线之间的距离: (1)定义:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 . (2)性质: ①两条平行线之间的距离 相等 . ②两条平行线间的任何两条平行线段都 相等 . 3.如图,AD∥BC,∠A=∠D=90°,AB=1, AD=2,那么AD,BC间的距离为 1 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】利用平行四边形的性质进行计算(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P43T1拓展)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.
【自主解答】在 ABCD中,AB∥CD,
∴∠CDE=∠F,
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠F=∠ADF,
∴AD=AF=6,
∵AB=3,
∴BF=AF-AB=3;
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H,
∵∠BAD=120°,∴∠DAH=60°,
∴∠ADH=30°,∴AH=AD=3,
∴DH==3,
∴S△ADF=AF·DH=×6×3=9.
【举一反三】
1.在 ABCD中,∠B+∠D=100°,则∠A的度数为(A)
A.130° B.50° C.100° D.65°
2.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为(D)
A.24 B.36 C.40 D.48
3.(2023·株洲中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=5,∠B的平分线BE交AD于点E,则DE的长为 2 .
【技法点拨】
利用平行四边形的边角性质解决计算问题
(1)利用平行四边形对边相等,求边长及周长等.
(2)利用平行四边形对角相等,求角.
【重点2】利用平行四边形的性质进行证明(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P42例1)
(2023·菏泽中考)如图,在 ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E;CF平分∠BCD,交AD于点F.求证:AE=CF.
【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,AB=CD,∠BAD=∠DCB,AD∥BC,
∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴∠BAE=∠DAE=∠BCF=∠DCF,
在△BAE和△DCF中,
∴△BAE≌△DCF(ASA),∴AE=CF.
【举一反三】
1.(2024·泸州中考)如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.求证:
∠1=∠2.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
,
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴∠1=∠2.
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BC上,点F在线段DE上,且DF=CE,∠AFD+∠B=180°,求证:DE=BC.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ADE=∠DEC,∠B+∠C=180°,
∵∠AFD+∠B=180°,
∴∠AFD=∠C,
∵DF=CE,
∴△ADF≌△DEC(ASA),
∴AD=DE,
∴BC=DE.
【技法点拨】
应用平行四边形的边角性质的两“注意”
(1)注意隐含条件的挖掘:平行四边形提供了线段的数量及位置关系,也提供了角的关系,为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件.
(2)在解题时,能应用平行四边形直接得到的结论,不要再通过三角形的全等去证明.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)在 ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(A)
A.2∶1∶2∶1 B.1∶2∶2∶1
C.2∶2∶1∶1 D.3∶2∶2∶3
2.(3分·推理能力、几何直观)如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F,若BC=4,EF=1,则AB为(B)
A.3 B.2.5 C.3.5 D.4
3.(3分·推理能力)如图,在 ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,若∠C=140°,则∠BAE=
50 °.
4.(3分·推理能力、几何直观)如图,在平面直角坐标系xOy中, ABCD的顶点A(-1,0),点A,B关于y轴对称,点D在y轴的正半轴上.若∠C=45°,则点C的坐标为 (2,1) .
5.(8分·几何直观、推理能力)(2023·自贡中考)如图,在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN.求证:DM=BN.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠A=∠C,AD=BC,
∵AM=CN,
∴△AMD≌△CNB(SAS),
∴DM=BN.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十一”18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解平行四边形的概念. 几何直观、模型观念
2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质. 推理能力、几何直观、模型观念
3.理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离. 抽象能力、几何直观
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.定义: 两组对边分别 的四边形. 1.如图, ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,则图中的平行四边形共有( ) A.7个 B.8个 C.9个 D.11个
2.性质: (1)两组对边分别 、 . (2)两组对角分别 . (3)邻角 . 2.(1)如图,在 ABCD中,若∠B=55°,点E在CD的延长线上,则∠ADE= °. (2)如图,在 ABCD中,AB=5,AD=3,AC⊥BC,则AC= .
3.两条平行线之间的距离: (1)定义:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 . (2)性质: ①两条平行线之间的距离 . ②两条平行线间的任何两条平行线段都 . 3.如图,AD∥BC,∠A=∠D=90°,AB=1, AD=2,那么AD,BC间的距离为 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】利用平行四边形的性质进行计算(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P43T1拓展)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.
【举一反三】
1.在 ABCD中,∠B+∠D=100°,则∠A的度数为( )
A.130° B.50° C.100° D.65°
2.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为( )
A.24 B.36 C.40 D.48
3.(2023·株洲中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=5,∠B的平分线BE交AD于点E,则DE的长为 .
【技法点拨】
利用平行四边形的边角性质解决计算问题
(1)利用平行四边形对边相等,求边长及周长等.
(2)利用平行四边形对角相等,求角.
【重点2】利用平行四边形的性质进行证明(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P42例1)
(2023·菏泽中考)如图,在 ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E;CF平分∠BCD,交AD于点F.求证:AE=CF.
【举一反三】
1.(2024·泸州中考)如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.求证:
∠1=∠2.
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BC上,点F在线段DE上,且DF=CE,∠AFD+∠B=180°,求证:DE=BC.
【技法点拨】
应用平行四边形的边角性质的两“注意”
(1)注意隐含条件的挖掘:平行四边形提供了线段的数量及位置关系,也提供了角的关系,为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件.
(2)在解题时,能应用平行四边形直接得到的结论,不要再通过三角形的全等去证明.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)在 ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( )
A.2∶1∶2∶1 B.1∶2∶2∶1
C.2∶2∶1∶1 D.3∶2∶2∶3
2.(3分·推理能力、几何直观)如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F,若BC=4,EF=1,则AB为( )
A.3 B.2.5 C.3.5 D.4
3.(3分·推理能力)如图,在 ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,若∠C=140°,则∠BAE=
°.
4.(3分·推理能力、几何直观)如图,在平面直角坐标系xOy中, ABCD的顶点A(-1,0),点A,B关于y轴对称,点D在y轴的正半轴上.若∠C=45°,则点C的坐标为 .
5.(8分·几何直观、推理能力)(2023·自贡中考)如图,在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN.求证:DM=BN.18.1.1 平行四边形的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握平行四边形对角线相等的性质. 推理能力、几何直观、模型观念
2.利用平行四边形的性质进行有关的计算和证明. 模型观念、应用意识、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
平行四边形对角线的性质: 1.平行四边形的对角线 互相平分 . 2.两条对角线分平行四边形为面积 相等 的四个三角形. 3.过对角线交点的任一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分. 1.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是(C) A.OA=OB B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC 2.如图,在 ABCD中,全等三角形共有 4 对.
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】平行四边形的对角线互相平分(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P44T2拓展)如图,已知在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,E,F分别在线段OD,OB上,且OE=OF,连接CE,AF.
(1)求证:CE=AF;
(2)若∠DBA=45°,AB=1,
①求BC的长;
②求直线AD与BC之间的距离.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,
∵∠COE=∠AOF,OE=OF,
∴△CEO≌△AFO(SAS),
∴CE=AF;
(2)①∵AC⊥AB,
∴∠CAB=90°,
∵∠DBA=45°,
∴OC=OA=AB=1,
∴AC=2,
∴BC==;
②如图,过A作AG⊥BC于点G,
∵S△ABC=AB·AC=BC·AG,
∴1×2=AG,
∴AG=,
∴直线AD与BC之间的距离为.
【举一反三】
1.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=16,△AOB的周长为10,则AB的长为(D)
A.8 B.6 C.4 D.2
2.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于E.若AE=3,DE=1,AB=,则AC的长为 3 .
【技法点拨】
平行四边形性质的应用
【重点2】平行四边形的面积问题(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P44例2强化)
如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=2,BC=3,∠ABC=60°,求图中阴影部分的面积.
【自主解答】作AM⊥BC于点M,如图所示:
则∠AMB=90°,∵∠ABC=60°,
∴∠BAM=30°,∴BM=AB=×2=1,
在Rt△ABM中,AB2=AM2+BM2,
∴AM===,
∴S ABCD=BC·AM=3,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BO=DO,∴∠OBE=∠ODF,
在△BOE和△DOF中,,
∴△BOE≌△DOF(ASA),∴S△BOE=S△DOF,
∴S阴影部分=S ABCD=.
【举一反三】
1.如图,点E在 ABCD的边AD上,△ABE的面积记为S1,△CDE的面积记为S2,△BCE的面积记为S3,则下列结论正确的是(A)
A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3
C.S1+S22.如图,在 ABCD中,∠ADC的平分线交AB于点F,交CB的延长线于点E.
(1)求证:CE=AB;
(2)连接CF,若CF⊥DE,∠E=60°,AD=4,求 ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥CB,
∴∠E=∠2,
∵∠ADC的平分线交AB于点F,
∴∠1=∠2,∴∠E=∠1,
∴CD=CE,∴CE=AB.
(2)过点D作DH⊥AB于点H,
∵∠E=60°,CD=CE,
∴△CDE是等边三角形,∠CDE=∠ADF=60°,DF=FE,
∵CD∥AB,
∴∠DFA=60°,
∴∠A=60°,△ADF是等边三角形,
∴∠ADH=30°,DF=4,∵AD=4,∴AH=2,
∴DH==2,
∵CF⊥DE,
∴CD=DE=2×4=8,
∴S ABCD=8×2=16.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力)如图,在 ABCD中,AC=8,BD=12,AB=5,则△OCD的周长为(D)
A.25 B.30 C.17 D.15
2.(4分·推理能力、几何直观)如图,在 ABCD中,E为边BC延长线上一点,连接AE,DE.若AD=2,CE=4,△ADE的面积为4,则 ABCD和△ABE的面积分别为(D)
A.4,12 B.4,8
C.2,8 D.8,12
3.(4分·推理能力)如图,在 ABCD中,AB=5 cm,BC=7 cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的长的取值范围为 1 cm4.(4分·几何直观)如图,在 ABCD中,AD=3,AB=5,∠ADB=90°,则平行四边形ABCD的面积为 12 .
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十二”18.1.1 平行四边形的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握平行四边形对角线相等的性质. 推理能力、几何直观、模型观念
2.利用平行四边形的性质进行有关的计算和证明. 模型观念、应用意识、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
平行四边形对角线的性质: 1.平行四边形的对角线 . 2.两条对角线分平行四边形为面积 的四个三角形. 3.过对角线交点的任一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分. 1.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是( ) A.OA=OB B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC 2.如图,在 ABCD中,全等三角形共有 对.
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】平行四边形的对角线互相平分(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P44T2拓展)如图,已知在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,E,F分别在线段OD,OB上,且OE=OF,连接CE,AF.
(1)求证:CE=AF;
(2)若∠DBA=45°,AB=1,
①求BC的长;
②求直线AD与BC之间的距离.
【举一反三】
1.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=16,△AOB的周长为10,则AB的长为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
2.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于E.若AE=3,DE=1,AB=,则AC的长为 .
【技法点拨】
平行四边形性质的应用
【重点2】平行四边形的面积问题(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P44例2强化)
如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=2,BC=3,∠ABC=60°,求图中阴影部分的面积.
【举一反三】
1.如图,点E在 ABCD的边AD上,△ABE的面积记为S1,△CDE的面积记为S2,△BCE的面积记为S3,则下列结论正确的是( )
A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3
C.S1+S22.如图,在 ABCD中,∠ADC的平分线交AB于点F,交CB的延长线于点E.
(1)求证:CE=AB;
(2)连接CF,若CF⊥DE,∠E=60°,AD=4,求 ABCD的面积.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力)如图,在 ABCD中,AC=8,BD=12,AB=5,则△OCD的周长为( )
A.25 B.30 C.17 D.15
2.(4分·推理能力、几何直观)如图,在 ABCD中,E为边BC延长线上一点,连接AE,DE.若AD=2,CE=4,△ADE的面积为4,则 ABCD和△ABE的面积分别为( )
A.4,12 B.4,8
C.2,8 D.8,12
3.(4分·推理能力)如图,在 ABCD中,AB=5 cm,BC=7 cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的长的取值范围为 .
4.(4分·几何直观)如图,在 ABCD中,AD=3,AB=5,∠ADB=90°,则平行四边形ABCD的面积为 .
