18.1.2 平行四边形的判定
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程,体会类比思想及探究图形判定的一般思路. 推理能力、几何直观、模型观念
2.掌握平行四边形的四个判定定理,根据不同条件灵活选择适当的判定定理进行推理和论证. 推理能力、模型观念、应用意识
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
平行四边形的判定 边两组对边分别 的四边形 两组对边分别 的四边形 一组对边 的四边形 角两组对角分别 的四边形 对角线对角线 的四边形
如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A.AD=BC B.AB∥DC C.AB=DC D.∠A=∠C
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】平行四边形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P46例3·2023广安中考)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【举一反三】
如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,∠BAC=∠DCA,求证:四边形ABCD是平行四边形.
【重点2】平行四边形的判定和性质的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P47练习T2·2023杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
【举一反三】
(2024·武汉中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力)在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于O点,给出下列五组条件,能判定此四边形是平行四边形的有 组.( )
(1)AB=DC,AD∥BC;(2)AB=CD,AB∥CD;(3)AB∥CD,AD∥BC;(4)OA=OC,OB=OD; (5)AB=CD,AD=BC.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(4分·推理能力、几何直观)如图,点E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点,且AB∥DC,则添加下列选项中的条件,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.∠D=∠5 B.∠1=∠2
C.∠3=∠4 D.∠D=∠B
3.(4分·推理能力)如图,已知AB=DC,AD=BC,E,F是DB上两点,且BF=DE,若
∠AEB=100°,∠ADB=30°,则∠BCF= .
4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·淄博中考)如图,在 ABCD中,E,F分别是边BC和AD上的点,连接AE,CF,且AE∥CF.求证:
(1)∠1=∠2;
(2)△ABE≌△CDF.18.1.2 平行四边形的判定
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程,体会类比思想及探究图形判定的一般思路. 推理能力、几何直观、模型观念
2.掌握平行四边形的四个判定定理,根据不同条件灵活选择适当的判定定理进行推理和论证. 推理能力、模型观念、应用意识
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
平行四边形的判定 边两组对边分别 平行 的四边形 两组对边分别 相等 的四边形 一组对边 平行且相等 的四边形 角两组对角分别 相等 的四边形 对角线对角线 互相平分 的四边形
如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C) A.AD=BC B.AB∥DC C.AB=DC D.∠A=∠C
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】平行四边形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P46例3·2023广安中考)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【自主解答】∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
∵AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,
∴AE=CF,
又∵∠BAC=∠DCA,
∴△AEB≌△CFD(ASA),
∴AB=CD,
∵∠BAC=∠ACD,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【举一反三】
如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,∠BAC=∠DCA,求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】在△AOB与△COD中,
,
∴△AOB≌△COD(AAS),
∴OA=OC.
又∵OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【重点2】平行四边形的判定和性质的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P47练习T2·2023杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BE=FD,
∴OB-BE=OD-FD,
∴OE=OF,
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵S△ABE=2,BE=EF,
∴S△AEF=S△ABE=2,
∵四边形AECF是平行四边形,
∴S△CFO=S△CEF=S△AEF=×2=1.
【举一反三】
(2024·武汉中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
∵AF=CE,
∴AD-AF=BC-CE,
∴DF=BE,
在△ABE与△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)添加BE=CE(答案不唯一),理由如下:
∵AF=CE,BE=CE,∴AF=BE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴四边形ABEF是平行四边形.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力)在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于O点,给出下列五组条件,能判定此四边形是平行四边形的有 组.(D)
(1)AB=DC,AD∥BC;(2)AB=CD,AB∥CD;(3)AB∥CD,AD∥BC;(4)OA=OC,OB=OD; (5)AB=CD,AD=BC.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(4分·推理能力、几何直观)如图,点E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点,且AB∥DC,则添加下列选项中的条件,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(B)
A.∠D=∠5 B.∠1=∠2
C.∠3=∠4 D.∠D=∠B
3.(4分·推理能力)如图,已知AB=DC,AD=BC,E,F是DB上两点,且BF=DE,若
∠AEB=100°,∠ADB=30°,则∠BCF= 70° .
4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·淄博中考)如图,在 ABCD中,E,F分别是边BC和AD上的点,连接AE,CF,且AE∥CF.求证:
(1)∠1=∠2;
(2)△ABE≌△CDF.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AF∥EC,又∵AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形,∴∠1=∠2.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,
∵四边形AECF是平行四边形,
∴AE=FC,AF=CE,∴BE=FD,
在△ABE和△CDF中,∵,
∴△ABE≌△CDF(SSS).
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十三”18.1.2 平行四边形的判定
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
探索并证明三角形的中位线定理,并能进行有关的计算和证明 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
三角形的中位线 1.定义:连接三角形两边 中点 的线段. 2.性质: (1)位置关系: 平行 于第三边. (2)数量关系:等于第三边的 一半 . 如图,DE是△ABC的中位线,若DE=4,则BC的长为 8 ;若∠B=50°,则 ∠ADE的度数为 50° ;若△ADE的周长为7,则△ABC的周长为 14 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】三角形的中位线(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·三角形中位线定理的拓展·2023株洲中考)
如图所示,在△ABC 中,点D,E分别为AB,AC的中点,点H在线段CE上,连接BH,点G,F分别为BH,CH的中点.
(1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
(2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.
【自主解答】(1)∵点D,E分别为AB,AC的中点,点G,F分别为BH,CH的中点,
∴DE∥BC,DE=BC,
GF∥BC,GF=BC,
∴DE∥GF,DE=GF,
∴四边形DEFG为平行四边形;
(2)∵四边形DEFG为平行四边形,
∴DG=EF=2,
∵DG⊥BH,
∴∠DGB=90°,
∴BG===,
即线段BG的长度为.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,若∠CFE=55°,则∠ADE的度数为(C)
A.65° B.60° C.55° D.50°
2.如图所示,李叔叔家有一块等边三角形形状的空地ABC.已知D,E分别是AB,AC的中点,测得DE=10 m,李叔叔想把四边形DBCE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需要篱笆的长是 50 m.
【技法点拨】
三角形中位线定理及应用
(1)定理:有两个含义,一个表示位置关系,一个表示数量关系.
(2)应用:在三角形中已知两边的中点时,可考虑构造三角形的中位线,根据三角形的中位线定理计算或证明.应用这个定理时,有时需要平行关系,有时需要倍分关系,用哪个结论应根据具体情况,灵活使用.
【重点2】三角形的中位线与角平分线的结合(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P49定理强化)在△ABC中,点D是AB的中点,CE平分∠ACB,AE⊥CE于点E.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若AC=5,BC=7,求DE的长.
【自主解答】(1)延长AE交BC于F,
∵CE平分∠ACB,AE⊥CE于点E,
∴∠ACE=∠FCE,∠AEC=∠FEC=90°,
在△ACE和△FCE中,,
∴△ACE≌△FCE(ASA).
∴AE=EF,∵点D是AB的中点,∴AD=BD,∴DE是△ABF的中位线.∴DE∥BC;
(2)∵△ACE≌△FCE,
∴CF=AC=5,
∵DE是△ABF的中位线,
∴DE=BF=(BC-AC)=×(7-5)=1,
故DE的长为1.
【举一反三】
1.如图,EF是△ABC的中位线,BD平分∠ABC交EF于点D,若AE=3,DF=1,则边BC的长为(B)
A.7 B.8 C.9 D.10
2.如图,在△ABC中,AB=BC=10,BD平分∠ABC交AC于点D,点F在BC上,且BF=4,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为 3 .
【技法点拨】
中位线与等腰三角形顶角平分线结合问题的一般解答模型
①通过等腰三角形的顶角平分线直接或间接得出底边中线;
②利用中位线定理得出线段之间的数量关系.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力)点D,E,F分别为△ABC三边的中点,若△DEF的周长为3,则△ABC的周长为(C)
A.12 B.9 C.6 D.1.5
2.(4分·推理能力、几何直观)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,
∠B=50°,∠AED=60°,则∠A的度数为(C)
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.(4分·推理能力)(2023·盐城中考)在△ABC中,D,E分别为边AB,AC的中点,BC=
10 cm,则DE的长为 5 cm.
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,
E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,求四边形EFGH的周长.
【解析】∵BD⊥CD,BD=4,CD=3,
∴BC===5,
∵E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,
∴EH=FG=BC,EF=GH=AD,
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,又∵AD=7,
∴四边形EFGH的周长=7+5=12.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十四”18.1.2 平行四边形的判定
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
探索并证明三角形的中位线定理,并能进行有关的计算和证明 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
三角形的中位线 1.定义:连接三角形两边 的线段. 2.性质: (1)位置关系: 于第三边. (2)数量关系:等于第三边的 . 如图,DE是△ABC的中位线,若DE=4,则BC的长为 ;若∠B=50°,则 ∠ADE的度数为 ;若△ADE的周长为7,则△ABC的周长为 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】三角形的中位线(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·三角形中位线定理的拓展·2023株洲中考)
如图所示,在△ABC 中,点D,E分别为AB,AC的中点,点H在线段CE上,连接BH,点G,F分别为BH,CH的中点.
(1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
(2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,若∠CFE=55°,则∠ADE的度数为( )
A.65° B.60° C.55° D.50°
2.如图所示,李叔叔家有一块等边三角形形状的空地ABC.已知D,E分别是AB,AC的中点,测得DE=10 m,李叔叔想把四边形DBCE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需要篱笆的长是 m.
【技法点拨】
三角形中位线定理及应用
(1)定理:有两个含义,一个表示位置关系,一个表示数量关系.
(2)应用:在三角形中已知两边的中点时,可考虑构造三角形的中位线,根据三角形的中位线定理计算或证明.应用这个定理时,有时需要平行关系,有时需要倍分关系,用哪个结论应根据具体情况,灵活使用.
【重点2】三角形的中位线与角平分线的结合(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P49定理强化)在△ABC中,点D是AB的中点,CE平分∠ACB,AE⊥CE于点E.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若AC=5,BC=7,求DE的长.
【举一反三】
1.如图,EF是△ABC的中位线,BD平分∠ABC交EF于点D,若AE=3,DF=1,则边BC的长为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
2.如图,在△ABC中,AB=BC=10,BD平分∠ABC交AC于点D,点F在BC上,且BF=4,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为 .
【技法点拨】
中位线与等腰三角形顶角平分线结合问题的一般解答模型
①通过等腰三角形的顶角平分线直接或间接得出底边中线;
②利用中位线定理得出线段之间的数量关系.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力)点D,E,F分别为△ABC三边的中点,若△DEF的周长为3,则△ABC的周长为( )
A.12 B.9 C.6 D.1.5
2.(4分·推理能力、几何直观)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,
∠B=50°,∠AED=60°,则∠A的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.(4分·推理能力)(2023·盐城中考)在△ABC中,D,E分别为边AB,AC的中点,BC=
10 cm,则DE的长为 cm.
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,
E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,求四边形EFGH的周长.
