18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;探索并证明矩形的性质,会用矩形性质解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念
2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论. 推理能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.矩形的定义及性质 (1)定义:有一个角是 直角 的平行四边形. (2)性质:①具有平行四边形的所有性质. ②角:四个角都是 直角 . ③对角线:对角线 相等 . 1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (1)若∠ACB=70°,则∠AOB= 140° . (2)若∠BAC=30°,BC=3,则BD= 6 .
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.(2023·郴州中考)在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD= 5 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】矩形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P53例1拓展)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:BD=BE;
(2)若∠DBC=30°,BO=1,求四边形ABED的面积.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AB∥CD.
∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AC=BE,
∴BD=BE.
(2)∵在矩形ABCD中,BO=1,
∴BD=2BO=2×1=2,
∵∠DBC=30°,
∴∠BDC=90°-30°=60°,
∴△OCD是等边三角形.
∴CD=OD=1.
∴AB=CD=1,DE=CD+CE=CD+AB=1+1=2.
在Rt△BCD中,BC===,
∴四边形ABED的面积为(AB+DE)·BC=×(1+2)×=.
【举一反三】
(2023·台州中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为 2 .
【技法点拨】
矩形性质的三点应用
(1)证明线段平行、相等或倍分关系.
(2)证明角相等或求角的度数.
(3)解决与全等有关的问题.
【重点2】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P61T9拓展)
如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点N.点M是对角线BD的中点,连接AM,CM.已知AB=AC,AB⊥AC,∠BCD=90°,AM=CD.
(1)求证:△ABM ≌△ACM;
(2)若BC=4,求AN的长.
【自主解答】(1)∵点M是对角线BD的中点,
∴BM=DM,
∵∠BCD=90°,
∴BM=DM=CM,
又∵AB=AC,AM=AM,
∴△ABM ≌△ACM(SSS).
(2)如图,延长AM交BC于E,
∵AB=AC,BM=CM,
∴AM垂直平分BC,
∴AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
又∵∠BCD=90°,
∴AM∥CD,
∵AM=CD,
∴四边形AMCD是平行四边形,
∴AN=AC,
∵AB⊥AC,AB=AC,
∴在Rt△ABC中,2AC2=BC2=42,
∴AC=2,
∴AN=×2=.
【举一反三】
1.(2023·德阳中考)如图,在△ABC中,∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,点F是AB边的中点,则DF=(A)
A. B. C.2 D.1
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠B=30°,点E在BC上,且CE=AC,则∠CDE的大小为 75° .
【技法点拨】
直角三角形斜边上中线的性质及其拓展
(1)性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,则AD=BC.
(2)拓展:
①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)矩形是特殊的平行四边形,下列性质中,矩形具有而平行四边形不一定具有的是(D)
A.对边平行 B.对边相等
C.对角线互相平分 D.对角线相等
2.(4分·运算能力、几何直观)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点D与点C被湖隔开,若AC=0.9 km,BC=1.2 km,则D,C两点间的距离为(B)
A.0.6 km B.0.75 km C.1 km D.1.5 km
3.(4分·推理能力)如图,在矩形ABCD中,点O,M分别是AC,AD的中点,OM=3,OB=5,则AD的长为 8 .
4.(8分·几何直观、推理能力)(2024·陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.
【证明】∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°,
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF.
即BF=CE,
在△ABF和△DCE中,,
∴△ABF ≌△DCE(SAS),
∴AF=DE.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十五”18.2.1 矩形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
探索并证明矩形的判定,会用矩形判定解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
矩形的判定方法: (1)定义:有一个角是 直角 的平行四边形. (2)三个角都是 直角 的四边形. (3)对角线 相等 的平行四边形. 要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个初拟的方案中,可行的是(D) A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否为直角
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】矩形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P54例2拓展)
如图,在 ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于点E,BF平分∠CBD,交CD于点F.
(1)求证:DE=BF;
(2)若AD=BD,求证:四边形DEBF是矩形.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ADB=∠CBD,
∵DE平分∠ADB,BF平分∠CBD,
∴∠EDB=∠ADB,∠DBF=∠CBD,
∴∠EDB=∠DBF,∴DE∥BF,
又∵AB∥CD,∴四边形DEBF是平行四边形.∴DE=BF.
(2)∵AD=BD,DE平分∠ADB,
∴DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
又∵四边形DEBF是平行四边形,
∴四边形DEBF是矩形.
【举一反三】
(2024·日照质检)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OB=OC,∠BAD的平分线AE交BC于点E.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AC=6,∠ACB=30°,求CE的长.
【解析】(1)∵在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,
∴OA=OC,OB=OD,
又∵OB=OC,
∴OA=OB=OC=OD,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BAD=90°,
又∵AC=6,∠ACB=30°,
∴AB=AC=3,BC===3,
∵∠BAD的平分线AE交BC于点E,
∴∠BAE=∠BAD=45°,∠BEA=180°-∠ABE-∠BAE=180°-90°-45°=45°,
∴∠BAE=∠BEA,∴BE=AB=3,
∴CE=BC-BE=3-3.
【重点2】矩形性质和判定的综合应用
(几何直观、推理能力)
【典例2】
(2023·大庆中考)如图,在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°.
(1)求证:四边形ACFD是矩形;
(2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠AFC,∠ADC=∠DCF,
∵E为线段CD的中点,
∴DE=CE,
∴△ADE ≌△FCE,
∴AE=EF,
∴四边形ACFD是平行四边形,
∵∠ACF=90°,
∴平行四边形ACFD是矩形.
(2)过点E作EG⊥AC于点G,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
∵四边形ACFD是矩形,
∴AD=CF,∴AD=BC=CF=5,
∵CD=13,∴DF==12,
∴四边形ABCE的面积等于S△ABC+S△AEC,
S△ABC=×AC×BC=×12×5=30,S△ACE=×AC×GE,
∵点E是对角线的中心,
∴GE=AD=,
∴S△ACE=×AC×GE=×12×=15,
∴四边形ABCE的面积为30+15=45.
【举一反三】
如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点D作DE⊥BC于E,延长CB到点F,使BF=CE,连接AF,OF.
(1)求证:四边形AFED是矩形.
(2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°,试求OF的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∵BF=CE,
∴FE=BC,∴FE=AD,
∴四边形AFED是平行四边形,
∵DE⊥BC,∴∠DEF=90°,
∴四边形AFED是矩形.
(2)由(1)得:∠AFE=90°,FE=AD,
∵AD=7,BE=2,
∴FE=7,
∴FB=FE-BE=5,
∴CE=BF=5,
∴FC=FE+CE=7+5=12,
∵∠ABF=45°,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴AF=FB=5,
在Rt△AFC中,由勾股定理得:AC===13,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,
∴OF=AC=.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是(D)
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
2.(4分·运算能力、几何直观)如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,△ABO是等边三角形,若AC=8,则平行四边形ABCD的面积是(D)
A.16 B.4 C.8 D.16
3.(4分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度应为 3 .
4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·乐山中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF.
(1)求证:四边形ECFD是矩形;
(2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离.
【解析】(1)∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形ECFD为平行四边形,
∵∠C=90°,
∴四边形ECFD是矩形.
(2)∵∠C=90°,CF=2,CE=4,
∴EF==2,
设点C到EF的距离为h,
∵S△CEF=CE·CF=EF·h,
∴4×2=2h,
∴h=,
∴点C到EF的距离为.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十六”18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;探索并证明矩形的性质,会用矩形性质解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念
2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论. 推理能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.矩形的定义及性质 (1)定义:有一个角是 的平行四边形. (2)性质:①具有平行四边形的所有性质. ②角:四个角都是 . ③对角线:对角线 . 1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (1)若∠ACB=70°,则∠AOB= . (2)若∠BAC=30°,BC=3,则BD= .
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.(2023·郴州中考)在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD= .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】矩形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P53例1拓展)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:BD=BE;
(2)若∠DBC=30°,BO=1,求四边形ABED的面积.
【举一反三】
(2023·台州中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为 .
【技法点拨】
矩形性质的三点应用
(1)证明线段平行、相等或倍分关系.
(2)证明角相等或求角的度数.
(3)解决与全等有关的问题.
【重点2】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P61T9拓展)
如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点N.点M是对角线BD的中点,连接AM,CM.已知AB=AC,AB⊥AC,∠BCD=90°,AM=CD.
(1)求证:△ABM ≌△ACM;
(2)若BC=4,求AN的长.
【举一反三】
1.(2023·德阳中考)如图,在△ABC中,∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,点F是AB边的中点,则DF=( )
A. B. C.2 D.1
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠B=30°,点E在BC上,且CE=AC,则∠CDE的大小为 .
【技法点拨】
直角三角形斜边上中线的性质及其拓展
(1)性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,则AD=BC.
(2)拓展:
①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)矩形是特殊的平行四边形,下列性质中,矩形具有而平行四边形不一定具有的是( )
A.对边平行 B.对边相等
C.对角线互相平分 D.对角线相等
2.(4分·运算能力、几何直观)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点D与点C被湖隔开,若AC=0.9 km,BC=1.2 km,则D,C两点间的距离为( )
A.0.6 km B.0.75 km C.1 km D.1.5 km
3.(4分·推理能力)如图,在矩形ABCD中,点O,M分别是AC,AD的中点,OM=3,OB=5,则AD的长为 .
4.(8分·几何直观、推理能力)(2024·陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.18.2.1 矩形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
探索并证明矩形的判定,会用矩形判定解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
矩形的判定方法: (1)定义:有一个角是 的平行四边形. (2)三个角都是 的四边形. (3)对角线 的平行四边形. 要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个初拟的方案中,可行的是( ) A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否为直角
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】矩形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P54例2拓展)
如图,在 ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于点E,BF平分∠CBD,交CD于点F.
(1)求证:DE=BF;
(2)若AD=BD,求证:四边形DEBF是矩形.
【举一反三】
(2024·日照质检)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OB=OC,∠BAD的平分线AE交BC于点E.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AC=6,∠ACB=30°,求CE的长.
【重点2】矩形性质和判定的综合应用
(几何直观、推理能力)
【典例2】
(2023·大庆中考)如图,在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°.
(1)求证:四边形ACFD是矩形;
(2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积.
【举一反三】
如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点D作DE⊥BC于E,延长CB到点F,使BF=CE,连接AF,OF.
(1)求证:四边形AFED是矩形.
(2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°,试求OF的长.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
2.(4分·运算能力、几何直观)如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,△ABO是等边三角形,若AC=8,则平行四边形ABCD的面积是( )
A.16 B.4 C.8 D.16
3.(4分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度应为 .
4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·乐山中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF.
(1)求证:四边形ECFD是矩形;
(2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离.
