18.2.3 正方形
课时学习目标 素养目标达成
1.理解正方形的概念,明确正方形和菱形以及矩形的区别和联系. 抽象能力
2.探索并证明正方形的性质和判定,会用其解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点
1.正方形的性质
(1)四个角都是 ;
(2)四条边都 ;
(3)对角线 且 ,每一条对角线平分一组对角;
(4)是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线及对边中点的连线所在的直线是它的对称轴.
对点小练
1.(1)正方形、矩形、菱形都具有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角
(2)如图,在正方形ABCD中,
①若对角线的长为2,则其面积为 .
②若点E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBA的度数是 .
新知要点
2.正方形的判定
对点小练
2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,这个条件可以是 (写出一个条件即可).
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 正方形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P68T8·2023黄石中考)如图,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P.
(1)求证:△ABN≌△DAM;
(2)求∠APM的大小.
【举一反三】
1.(2023·河北中考)如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,若S正方形AMEF=16,则S△ABC=( )
A.4 B.8 C.12 D.16
2.(2024·北京期中)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为点E,F,连接AP,EF,若AP=2,则EF= .
【技法点拨】
正方形性质应用的分析方法
已知条件 分析思路
已知只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90°
已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴
重点2 正方形的判定(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P68T10拓展)如图,四边形AECF是菱形,对角线AC,EF交于点O,点D,B是对角线EF所在直线上两点,且DE=BF,连接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)若四边形ABCD的面积为72,BF=4,求菱形AECF的面积.
【举一反三】
1.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的菱形是正方形
B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.各边都相等的四边形是正方形
2.(2024·十堰期中)如图,直角梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,BC=CD,DG∥BC交BA的延长线于点G,E是BC边上一点,将△CDE沿DE折叠,C点恰好落在AE上的F处.
(1)求证:四边形BCDG为正方形;
(2)若AB=6,CE=4,求CD的长.
【技法点拨】
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A.对角线平分一组对角
B.对角线相等
C.对角线互相垂直平分
D.四条边相等
2.(4分·推理能力)(2023·威海中考)如图,在正方形ABCD中,分别以点A,B为圆心,以AB的长为半径画弧,两弧交于点E,连接DE,则∠CDE= °.
3.(4分·推理能力)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,MD⊥AC于点D,ME⊥BC于点E,连接MC,DE.若不增加任何字母与辅助线,使四边形MECD是正方形,则还需添加一个条件是 .
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,正方形ABCD的边长为4,连接对角线AC,点E为BC边上一点,∠EAF=45°且AE=AF,FM⊥AC.
(1)求证:BE=FM;
(2)求BE的长度.18.2.3 正方形
课时学习目标 素养目标达成
1.理解正方形的概念,明确正方形和菱形以及矩形的区别和联系. 抽象能力
2.探索并证明正方形的性质和判定,会用其解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点
1.正方形的性质
(1)四个角都是 直角 ;
(2)四条边都 相等 ;
(3)对角线 相等 且 互相垂直平分 ,每一条对角线平分一组对角;
(4)是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线及对边中点的连线所在的直线是它的对称轴.
对点小练
1.(1)正方形、矩形、菱形都具有的性质是(A)
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角
(2)如图,在正方形ABCD中,
①若对角线的长为2,则其面积为 4 .
②若点E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBA的度数是 67.5° .
新知要点
2.正方形的判定
对点小练
2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,这个条件可以是 AB=AD(答案不唯一) (写出一个条件即可).
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 正方形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P68T8·2023黄石中考)如图,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P.
(1)求证:△ABN≌△DAM;
(2)求∠APM的大小.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°,
∵BM=CN,
∴BC-CN=AB-BM,即BN=AM,
在△ABN和△DAM中,
∴△ABN≌△DAM(SAS);
(2)由(1)知△ABN≌△DAM,
∴∠MAP=∠ADM,
∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°,
∴∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90°.
【举一反三】
1.(2023·河北中考)如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,若S正方形AMEF=16,则S△ABC=(B)
A.4 B.8 C.12 D.16
2.(2024·北京期中)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为点E,F,连接AP,EF,若AP=2,则EF= 2 .
【技法点拨】
正方形性质应用的分析方法
已知条件 分析思路
已知只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90°
已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴
重点2 正方形的判定(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P68T10拓展)如图,四边形AECF是菱形,对角线AC,EF交于点O,点D,B是对角线EF所在直线上两点,且DE=BF,连接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)若四边形ABCD的面积为72,BF=4,求菱形AECF的面积.
【自主解答】(1)∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O,
∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF,
∵DE=BF,
∴OE+DE=OF+BF,∴BO=DO.
又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形,
∵∠ADO=45°,
∴∠DAO=∠ADO=45°,
∴AO=DO,∴AC=BD,
∴菱形ABCD是正方形;
(2)∵正方形ABCD的面积为72,
∴AC·BD=72,
∴×4BO2=72,
∴BO=DO=CO=AO=6,
∴AC=12,∵BF=4,∴OF=2,
∵四边形AECF是菱形,
∴EF=2EO=2OF=4,AC⊥EF,
∴S菱形AECF=AC·EF=24.
【举一反三】
1.下列说法正确的是(A)
A.对角线相等的菱形是正方形
B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.各边都相等的四边形是正方形
2.(2024·十堰期中)如图,直角梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,BC=CD,DG∥BC交BA的延长线于点G,E是BC边上一点,将△CDE沿DE折叠,C点恰好落在AE上的F处.
(1)求证:四边形BCDG为正方形;
(2)若AB=6,CE=4,求CD的长.
【解析】(1)∵DG∥BC,∠C=90°,
∴∠GDC=90°,
又∠B=90°,
∴四边形BCDG为矩形,
又BC=CD,
∴四边形BCDG为正方形;
(2)由折叠得,∠DFA=∠DFE=∠C=90°,DC=DF,FE=CE=4,
∵四边形BCDG为正方形,
∴DG=DC,∠DGA=90°,
∴DG=DF,
∴Rt△DGA≌Rt△DFA,
∴GA=FA,
设正方形BCDG的边长为a,则GA=FA=a-6,
∵EF=EC=4,
∴BE=a-4,AE=AF+EF=a-6+4=a-2,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2+BE2=AE2,
∴62+(a-4)2=(a-2)2,
解得a=12,
∴CD的长为12.
【技法点拨】
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)正方形具有而菱形不具有的性质是(B)
A.对角线平分一组对角
B.对角线相等
C.对角线互相垂直平分
D.四条边相等
2.(4分·推理能力)(2023·威海中考)如图,在正方形ABCD中,分别以点A,B为圆心,以AB的长为半径画弧,两弧交于点E,连接DE,则∠CDE= 15 °.
3.(4分·推理能力)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,MD⊥AC于点D,ME⊥BC于点E,连接MC,DE.若不增加任何字母与辅助线,使四边形MECD是正方形,则还需添加一个条件是 CE=CD(答案不唯一) .
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,正方形ABCD的边长为4,连接对角线AC,点E为BC边上一点,∠EAF=45°且AE=AF,FM⊥AC.
(1)求证:BE=FM;
(2)求BE的长度.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∠EAF=45°,∴∠CAB=∠CAE+∠EAB=45°,∠EAF=∠CAE+∠FAM=45°,
∴∠EAB=∠FAM,
∵FM⊥AC,∴∠ABE=∠AMF=90°,
∴在△ABE和△AMF中,
,
∴△ABE≌△AMF(AAS),
∴BE=FM;
(2)∵在正方形ABCD中,边长为4,FM⊥AC,
∴AC===4,∠DCA=45°,∠MFC=180°-90°-45°=45°=∠DCA,
∴FM=CM,
又∵△ABE≌△AMF,
∴AM=AB=4,BE=FM=CM,
∴CM=AC-AM=4-4,
∴BE=4-4.
