19.1 函数
19.1.1 变量与函数
课时学习目标 素养目标达成
1.识别简单实际问题中的常量、变量及其意义,找出变量之间的数量关系及变化规律 抽象能力
2.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,会求自变量的取值范围,理解函数值的意义 抽象能力、运算能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.变量与常量(在一个变化过程中) (1)变量:数值 的量. (2)常量:数值 的量. 1.球的体积是V,半径为R,则V=πR3,其中变量和常量分别是( ) A.变量是V,R;常量是,π B.变量是R,π;常量是 C.变量是V,R,π;常量是 D.变量是V,R3;常量是π
2.函数的概念 在一个变化过程中,有两个变量(数值变化的量)x与y,对于x的每一个确定的值,y都有 的值与其对应,则x是自变量,y是x的函数. 2.下列关系式中,y不是x的函数的是( ) A.y=±(x≥0) B.x+y=10 C.y=|x| D.xy=1
3.与函数相关的概念 (1)自变量取值:①使函数关系式有意义; ②符合问题的实际意义. (2)函数值:当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. (3)解析式:用来表示 与 之间关系的关于 的数学式子. 3.(1)函数y=中自变量x的取值范围是( ) A.x≥1 B.x≠2 C.x>1或x≠2 D.x≥1且x≠2 (2)在一定条件下,若物体运动路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则当t=4时,该物体所经过的路程为 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 变量与常量(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P71练习拓展)小亮爸爸到加油站加油,如图是所用的加油机上的数据显示牌,金额随着数量的变化而变化.则下列判断正确的是( )
A.金额是自变量 B.单价是自变量
C.7.76和31是常量 D.金额是数量的函数
【举一反三】
如图,把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起,木条AC自由转动至AC'位置.在转动过程中,下面的量是常量的为( )
A.∠BAC的度数 B.BC的长度
C.△ABC的面积 D.AC的长度
【技法点拨】
确定常量、变量的“一个标准”
在同一个问题中,一个量的取值是否发生变化,是判断常量、变量的唯一标准.如果发生变化,该量为变量,不发生变化的量为常量.
重点2 自变量的取值范围(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P74例1 强化)
求下列函数的自变量x的取值范围.
(1)y=;
(2)y=x-3+;
(3)y=+.
【举一反三】
1.下列函数中,自变量x的取值范围是x>1的函数是( )
A.y=2 B.y=
C.y=x-1 D.y=
2.若代数式+(x-π)0有意义,则变量x的取值范围是 .
【技法点拨】
确定自变量取值范围的三种常见情况
(1)函数解析式是整式,自变量的取值范围是任意实数.
(2)函数解析式中有分式(或负指数幂),满足分母(或底数)不等于0.
(3)函数解析式中有二次根式,满足被开方数大于等于0.
特别提醒:实际问题中的函数解析式要使实际问题有意义或符合题目的要求.
重点3 函数与函数值(抽象能力、模型观念)
【典例3】(教材再开发·P74练习T1 拓展)
长方形的一边长是16,其邻边长为x,周长是y,面积为S.
(1)写出y和x之间的关系式;
(2)写出S和x之间的关系式;
(3)当S=160时,x等于多少 y等于多少
(4)当x增加2时,y增加多少 S增加多少
【举一反三】
如图,直线a∥b,直线c与直线a,b分别交于点A,B,当直线b绕点B旋转时,∠1的大小会发生变化,直线a为保证与b平行,相应的∠2的大小也会发生变化.
(1)设∠1=x°,∠2=y°,求y与x之间的关系式.
(2)当x=70时,求y的值.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力)一个长方形的面积是10 cm2,其长是a cm,宽是b cm,下列判断错误的是( )
A.10是常量 B.10是变量
C.b是变量 D.a是变量
2.(4分·抽象能力)把一个长为5,宽为3的长方形的宽增加x(0≤x<2),长不变,所得长方形的面积y关于x的函数解析式为( )
A.y=5x+15 B.y=x-15
C.y=5x D.y=3x+15
3.(4分·推理能力)(2024·齐齐哈尔中考)在函数y=+中,自变量x的取值范围是 .
4.(8分·抽象能力、模型观念)如图,AB=3,P是线段AB上的一点,分别以AP,BP为边作正方形.
(1)设AP=x,求出两个正方形的面积之和S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x=时,求S的值.19.1 函数
19.1.1 变量与函数
课时学习目标 素养目标达成
1.识别简单实际问题中的常量、变量及其意义,找出变量之间的数量关系及变化规律 抽象能力
2.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,会求自变量的取值范围,理解函数值的意义 抽象能力、运算能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.变量与常量(在一个变化过程中) (1)变量:数值 发生变化 的量. (2)常量:数值 始终不变 的量. 1.球的体积是V,半径为R,则V=πR3,其中变量和常量分别是(A) A.变量是V,R;常量是,π B.变量是R,π;常量是 C.变量是V,R,π;常量是 D.变量是V,R3;常量是π
2.函数的概念 在一个变化过程中,有两个变量(数值变化的量)x与y,对于x的每一个确定的值,y都有 唯一确定 的值与其对应,则x是自变量,y是x的函数. 2.下列关系式中,y不是x的函数的是(A) A.y=±(x≥0) B.x+y=10 C.y=|x| D.xy=1
3.与函数相关的概念 (1)自变量取值:①使函数关系式有意义; ②符合问题的实际意义. (2)函数值:当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. (3)解析式:用来表示 函数 与 自变量 之间关系的关于 自变量 的数学式子. 3.(1)函数y=中自变量x的取值范围是(D) A.x≥1 B.x≠2 C.x>1或x≠2 D.x≥1且x≠2 (2)在一定条件下,若物体运动路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则当t=4时,该物体所经过的路程为 88米 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 变量与常量(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P71练习拓展)小亮爸爸到加油站加油,如图是所用的加油机上的数据显示牌,金额随着数量的变化而变化.则下列判断正确的是(D)
A.金额是自变量 B.单价是自变量
C.7.76和31是常量 D.金额是数量的函数
【举一反三】
如图,把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起,木条AC自由转动至AC'位置.在转动过程中,下面的量是常量的为(D)
A.∠BAC的度数 B.BC的长度
C.△ABC的面积 D.AC的长度
【技法点拨】
确定常量、变量的“一个标准”
在同一个问题中,一个量的取值是否发生变化,是判断常量、变量的唯一标准.如果发生变化,该量为变量,不发生变化的量为常量.
重点2 自变量的取值范围(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P74例1 强化)
求下列函数的自变量x的取值范围.
(1)y=;
(2)y=x-3+;
(3)y=+.
【自主解答】(1)由题意,得3x-1≠0,解得x≠;
(2)由题意,得|x|-1≠0,解得x≠±1;
(3)由题意,得1-x≥0且x+2>0,解得-2【举一反三】
1.下列函数中,自变量x的取值范围是x>1的函数是(B)
A.y=2 B.y=
C.y=x-1 D.y=
2.若代数式+(x-π)0有意义,则变量x的取值范围是 x≥-5且x≠2 023且x≠π .
【技法点拨】
确定自变量取值范围的三种常见情况
(1)函数解析式是整式,自变量的取值范围是任意实数.
(2)函数解析式中有分式(或负指数幂),满足分母(或底数)不等于0.
(3)函数解析式中有二次根式,满足被开方数大于等于0.
特别提醒:实际问题中的函数解析式要使实际问题有意义或符合题目的要求.
重点3 函数与函数值(抽象能力、模型观念)
【典例3】(教材再开发·P74练习T1 拓展)
长方形的一边长是16,其邻边长为x,周长是y,面积为S.
(1)写出y和x之间的关系式;
(2)写出S和x之间的关系式;
(3)当S=160时,x等于多少 y等于多少
(4)当x增加2时,y增加多少 S增加多少
【自主解答】(1)由长方形的周长公式,
得y=2(x+16)=2x+32;
(2)由长方形的面积公式,得S=16x;
(3)当S=160时,即16x=160,∴x=10,
当x=10时,y=2×10+32=52.∴当S=160时,x=10,y=52;
(4)当x1=a时,S1=16a,y1=2a+32,
当x2=a+2时,S2=16a+32,y2=2a+36,
∴y2-y1=4,S2-S1=32,
∴当x增加2时,y增加4,S增加32.
【举一反三】
如图,直线a∥b,直线c与直线a,b分别交于点A,B,当直线b绕点B旋转时,∠1的大小会发生变化,直线a为保证与b平行,相应的∠2的大小也会发生变化.
(1)设∠1=x°,∠2=y°,求y与x之间的关系式.
(2)当x=70时,求y的值.
【解析】(1)∵直线a∥b,∴∠1+∠BAC+∠2=180°,∵∠BAC=90°,
∴∠1+∠2=180°-90°=90°,即:x+y=90,∴y=90-x.
答:y与x之间的关系式为:y=90-x.
(2)当x=70时,y=90-70=20,
答:当x=70时,y的值为20.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力)一个长方形的面积是10 cm2,其长是a cm,宽是b cm,下列判断错误的是(B)
A.10是常量 B.10是变量
C.b是变量 D.a是变量
2.(4分·抽象能力)把一个长为5,宽为3的长方形的宽增加x(0≤x<2),长不变,所得长方形的面积y关于x的函数解析式为(A)
A.y=5x+15 B.y=x-15
C.y=5x D.y=3x+15
3.(4分·推理能力)(2024·齐齐哈尔中考)在函数y=+中,自变量x的取值范围是 x>-3且x≠-2 .
4.(8分·抽象能力、模型观念)如图,AB=3,P是线段AB上的一点,分别以AP,BP为边作正方形.
(1)设AP=x,求出两个正方形的面积之和S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x=时,求S的值.
【解析】(1)∵AP=x,AB=3,
∴BP=AB-AP=3-x,
∴S=x2+(3-x)2
=x2+9-6x+x2
=2x2-6x+9,
∴S=2x2-6x+9(0(2)当x=时,S=2×()2-6×+9
=2×-9+9
=.
