19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能够判断两个变量是否构成正比例函数关系,理解正比例函数的概念 推理能力
2.根据已知条件写出正比例函数的解析式 抽象能力、模型观念
3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题 应用能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.正比例函数的定义 一般地,形如 y=kx(k是常数,k≠0) 的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数. 1.在下列函数中,正比例函数是(C) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x D.y=2x2+1
2.求正比例函数的解析式 ①设②代③求④写 2.y与x成正比例,当x=3时,y=6.则y与x的函数解析式是 y=2x .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 正比例函数的概念(模型观念、应用能力)
【典例1】(教材再开发·P87 练习T2 拓展)
写出下列各题中y关于x的函数关系式,并判断y是否为x的正比例函数.若是,写出比例系数.
(1)长方形的面积为3,长方形的长y与宽x之间的关系;
(2)刚上市时西瓜每千克3.6元,买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系;
(3)仓库内有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系;
(4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄,首次存入10 000元,以后每个月存入500元,存入总数y元与月数x之间的关系.
【自主解答】(1)y=,y是x反比例函数,不是正比例函数;
(2)y=3.6x,y是x的正比例函数;比例系数为3.6;
(3)y=400-36x,y不是x的正比例函数;
(4)y=10 000+500x,y不是x的正比例函数.
【举一反三】
1.下列函数是正比例函数的是(A)
A.y= B.y=
C.y=x2+1 D.y=3x+1
2.已知一个正比例函数的图象经过点(-2,3),则这个正比例函数的表达式是(B)
A.y=x+5 B.y=-x
C.y=-x D.y=-2x+3
【技法点拨】
确定正比例函数解析式或正比例关系的步骤
1.分析题中的常量与变量;
2.根据具体情境,找出各个量之间的关系,并写出解析式,注明自变量的取值范围;
3.辨别函数解析式是否是常数与自变量的积的形式.
重点2 根据正比例函数定义确定未知字母的值
【典例2】(教材再开发·P87练习T1拓展)
已知y=y1-2y2,y1与x成正比例,y2与(x+1)成正比例,且当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若点(a,9)在这个函数图象上,求a的值.
【自主解答】(1)设y1=k1x,y2=k2(x+1),
则y=k1x-2k2(x+1),
根据题意得,
解得:.
∴y=x-2×(-)(x+1)=2x+1;
(2)把x=a,y=9代入解析式y=2x+1,
可得:2a+1=9,
解得:a=4.
【举一反三】
1.(2024·崇左期末)若函数y=(k+2)x+k2-4是正比例函数,则k的值是(C)
A.k≠-2 B.k=±2
C.k=2 D.k=
2.(2024·泰州期末)若y=(m-1)x|m|是正比例函数,则m的值为 -1 .
【技法点拨】
正比例函数解析式的结构特点
正比例函数的解析式是常数与自变量的积,其中:
(1)系数不为0.
(2)自变量的指数为1.
易错提醒:正比例函数的定义是从解析式的角度出发的,注意定义中对比例系数的要求.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)下列函数中是正比例函数的是(A)
A.y=-7x B.y=
C.y=2x2+1 D.y=0.6x-5
2.(3分·抽象能力)y-2与x+1成正比例,比例系数为-2,将y表示成x的函数为 y=-2x .
3.(4分·抽象能力)若y=(a-1)x+a2-1是关于x的正比例函数,则a2 023的值为 -1 .
4.(4分·推理能力)现定义[p,q]为函数y=px+q的特征数,若特征数为[a-1,a+2]的函数是正比例函数,这个正比例函数的解析式是 y=-3x .
5.(6分·抽象能力、推理能力、模型观念)已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-2成正比例.当x=1时,y=0,当x=-3时,y=4,求y与x之间的函数关系式.
【解析】∵y1与x2成正比例,y2与x-2成正比例,
∴可设y1=kx2,y2=d(x-2),则y=y1+y2=kx2+d(x-2)=kx2+dx-2d,
当x=1时,y=0;当x=-3时,y=4,
所以,整理得,解得.
故函数解析式为y=x2+x-2.19.2.1 正比例函数
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会用描点法画正比例函数的图象 几何直观、推理能力
2.掌握正比例函数的图象和性质 抽象能力、推理能力
3.能够利用正比例函数的图象和性质解决简单问题 应用能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.正比例函数的图象 (1)形状:经过 的直线. (2)位置: ①k>0,经过第 象限; ②k<0,经过第 象限; (3)作法(两点法):过原点和点(1,k)(k是常数,且k≠0)的直线,即为正比例函数y=kx(k≠0)的图象. 1.如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y=-x的图象大致是( ) 2.正比例函数y=2x的图象经过的象限是( ) A.一、三 B.二、四 C.一、三、四 D.二、三、四
2.正比例函数的性质 k>0,y的值随x值的增大而 ; k<0,y的值随x值的增大而 . 3.已知正比例函数y=kx(k是常数,k≠0),y随x的增大而增大,写出一个符合条件的k的值 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 正比例函数的图象(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P87例1拓展)已知函数y=x,y=-2x,y=x,y=3x.
(1)在同一坐标系内画出函数的图象.
(2)探索发现:观察这些函数的图象可以发现,随|k|的增大,直线与y轴的位置关系有何变化
(3)灵活运用:已知正比例函数y1=k1x,y2=k2x在同一坐标系中的图象如图所示,则k1与k2的大小关系为 .
【举一反三】
1.如图,三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax,②y=bx,③y=cx,则下列结论正确的是( )
A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c<0
C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c>0
2.当m 时,正比例函数y=(1-m)x的图象经过第二、四象限.
3.在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=x; (2)y=-3x.
重点2 正比例函数的性质(抽象能力)
【典例2】已知函数y=(m-1)是正比例函数.
(1)若函数解析式中y随x的增大而减小,求m的值;
(2)若函数的图象过第一、三象限,求m的值.
【举一反三】
正比例函数y=kx(k<0),当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,则k= .
【技法点拨】
利用正比例函数的性质
比较函数值的大小的三种方法
1.利用求值比较法:直接带入求值后比较大小;
2.利用数形结合的思想;
3.利用函数的增减性来比较大小.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条( )
A.射线 B.双曲线
C.线段 D.直线
2.(3分·几何直观)下列图象是正比例函数图象的是( )
3.(3分·推理能力)正比例函数y=ax的图象经过第一、三象限,则直线y=(-a-1)x经过( )
A.第一、三象限 B.第二、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
4.(5分·推理能力、抽象能力)对于正比例函数y=3x,当2≤x≤4时,y的最大值等于 .
5.(6分·几何能力、抽象能力、推理能力)已知正比例函数y=kx.
(1)若函数图象经过第二、四象限,则k的范围是什么
(2)点(1,-2)在它的图象上,求它的表达式.19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能够判断两个变量是否构成正比例函数关系,理解正比例函数的概念 推理能力
2.根据已知条件写出正比例函数的解析式 抽象能力、模型观念
3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题 应用能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.正比例函数的定义 一般地,形如 的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数. 1.在下列函数中,正比例函数是( ) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x D.y=2x2+1
2.求正比例函数的解析式 ①设②代③求④写 2.y与x成正比例,当x=3时,y=6.则y与x的函数解析式是 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 正比例函数的概念(模型观念、应用能力)
【典例1】(教材再开发·P87 练习T2 拓展)
写出下列各题中y关于x的函数关系式,并判断y是否为x的正比例函数.若是,写出比例系数.
(1)长方形的面积为3,长方形的长y与宽x之间的关系;
(2)刚上市时西瓜每千克3.6元,买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系;
(3)仓库内有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系;
(4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄,首次存入10 000元,以后每个月存入500元,存入总数y元与月数x之间的关系.
【举一反三】
1.下列函数是正比例函数的是( )
A.y= B.y=
C.y=x2+1 D.y=3x+1
2.已知一个正比例函数的图象经过点(-2,3),则这个正比例函数的表达式是( )
A.y=x+5 B.y=-x
C.y=-x D.y=-2x+3
【技法点拨】
确定正比例函数解析式或正比例关系的步骤
1.分析题中的常量与变量;
2.根据具体情境,找出各个量之间的关系,并写出解析式,注明自变量的取值范围;
3.辨别函数解析式是否是常数与自变量的积的形式.
重点2 根据正比例函数定义确定未知字母的值
【典例2】(教材再开发·P87练习T1拓展)
已知y=y1-2y2,y1与x成正比例,y2与(x+1)成正比例,且当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若点(a,9)在这个函数图象上,求a的值.
【举一反三】
1.(2024·崇左期末)若函数y=(k+2)x+k2-4是正比例函数,则k的值是( )
A.k≠-2 B.k=±2
C.k=2 D.k=
2.(2024·泰州期末)若y=(m-1)x|m|是正比例函数,则m的值为 .
【技法点拨】
正比例函数解析式的结构特点
正比例函数的解析式是常数与自变量的积,其中:
(1)系数不为0.
(2)自变量的指数为1.
易错提醒:正比例函数的定义是从解析式的角度出发的,注意定义中对比例系数的要求.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)下列函数中是正比例函数的是( )
A.y=-7x B.y=
C.y=2x2+1 D.y=0.6x-5
2.(3分·抽象能力)y-2与x+1成正比例,比例系数为-2,将y表示成x的函数为 .
3.(4分·抽象能力)若y=(a-1)x+a2-1是关于x的正比例函数,则a2 023的值为 .
4.(4分·推理能力)现定义[p,q]为函数y=px+q的特征数,若特征数为[a-1,a+2]的函数是正比例函数,这个正比例函数的解析式是 .
5.(6分·抽象能力、推理能力、模型观念)已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-2成正比例.当x=1时,y=0,当x=-3时,y=4,求y与x之间的函数关系式.19.2.1 正比例函数
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会用描点法画正比例函数的图象 几何直观、推理能力
2.掌握正比例函数的图象和性质 抽象能力、推理能力
3.能够利用正比例函数的图象和性质解决简单问题 应用能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.正比例函数的图象 (1)形状:经过 原点 的直线. (2)位置: ①k>0,经过第 一、三 象限; ②k<0,经过第 二、四 象限; (3)作法(两点法):过原点和点(1,k)(k是常数,且k≠0)的直线,即为正比例函数y=kx(k≠0)的图象. 1.如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y=-x的图象大致是(B) 2.正比例函数y=2x的图象经过的象限是(A) A.一、三 B.二、四 C.一、三、四 D.二、三、四
2.正比例函数的性质 k>0,y的值随x值的增大而 增大 ; k<0,y的值随x值的增大而 减小 . 3.已知正比例函数y=kx(k是常数,k≠0),y随x的增大而增大,写出一个符合条件的k的值 1(答案不唯一) .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 正比例函数的图象(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P87例1拓展)已知函数y=x,y=-2x,y=x,y=3x.
(1)在同一坐标系内画出函数的图象.
(2)探索发现:观察这些函数的图象可以发现,随|k|的增大,直线与y轴的位置关系有何变化
(3)灵活运用:已知正比例函数y1=k1x,y2=k2x在同一坐标系中的图象如图所示,则k1与k2的大小关系为 .
【自主解答】(1)如图:
(2)观察这些函数的图象可以发现,随|k|的增大,直线与y轴的夹角越小.
(3)由(2)规律可知,k1>k2.
答案:k1>k2
【举一反三】
1.如图,三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax,②y=bx,③y=cx,则下列结论正确的是(C)
A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c<0
C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c>0
2.当m >1 时,正比例函数y=(1-m)x的图象经过第二、四象限.
3.在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=x; (2)y=-3x.
【解析】采用两点法,并且取各点的坐标值为整数最简单.
(1)该函数是正比例函数,函数图象是过原点的一条直线.
当x=0时,y=0;当x=2时,y=3,则该直线经过点(0,0),(2,3).
其图象如图所示.
(2)该函数是正比例函数,函数图象是过原点的一条直线.
当x=0时,y=0;当x=1时,y=-3,则该直线经过点(0,0),(1,-3).
其图象如图所示.
重点2 正比例函数的性质(抽象能力)
【典例2】已知函数y=(m-1)是正比例函数.
(1)若函数解析式中y随x的增大而减小,求m的值;
(2)若函数的图象过第一、三象限,求m的值.
【自主解答】∵函数y=(m-1)是正比例函数,
∴,解得m1=-2,m2=2.
(1)∵函数解析式中y随x的增大而减小,
∴m-1<0,∴m<1,∴m=-2;
(2)∵函数的图象过第一、三象限,∴m-1>0,∴m>1,∴m=2.
【举一反三】
正比例函数y=kx(k<0),当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,则k= -2 .
【技法点拨】
利用正比例函数的性质
比较函数值的大小的三种方法
1.利用求值比较法:直接带入求值后比较大小;
2.利用数形结合的思想;
3.利用函数的增减性来比较大小.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条(D)
A.射线 B.双曲线
C.线段 D.直线
2.(3分·几何直观)下列图象是正比例函数图象的是(A)
3.(3分·推理能力)正比例函数y=ax的图象经过第一、三象限,则直线y=(-a-1)x经过(C)
A.第一、三象限 B.第二、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
4.(5分·推理能力、抽象能力)对于正比例函数y=3x,当2≤x≤4时,y的最大值等于 12 .
5.(6分·几何能力、抽象能力、推理能力)已知正比例函数y=kx.
(1)若函数图象经过第二、四象限,则k的范围是什么
(2)点(1,-2)在它的图象上,求它的表达式.
【解析】(1)∵函数图象经过第二、四象限,∴k<0;
(2)当x=1,y=-2时,得k=-2,即y=-2x.
