19.2.2 一次函数
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能够判断两个变量是否构成一次函数关系,结合具体情境理解一次函数的概念 抽象能力、模型观念
2.能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式 抽象能力、应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
一次函数的概念 一般地,形如 (k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,其中k叫做比例系数. 特别地,当 时,y=kx(k≠0)是正比例函数. 1.下列函数中,y是x的一次函数的是( ) A.y=2x2-3 B.y=-3x C.y=3 D.y2=x 2.若y=mx|m+1|-2是关于x的一次函数,则m的值为 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 一次函数的概念(模型观念、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P90练习T1拓展)
已知函数y=(m-2)x3-|m|+m+7.
(1)当m为何值时,y是x的一次函数
(2)若函数是一次函数,则x为何值时,y的值为3
【举一反三】
1.(2024·枣庄期末)函数①y=kx+b;②y=2x;③y=-;④y=x+3;⑤y=x2-2x+1.是一次函数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2024·西安期中)已知函数y=(m+2)+m-2是一次函数,求m的值.
【技法点拨】
判断一次函数的三点注意
(1)关于自变量的代数式必须为整式.
(2)自变量的最高次数是一次,一次项系数不等于0.
(3)正比例函数也是一次函数.
重点2 根据实际问题列一次函数解析式(抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P89问题2 强化)某市出租车车费标准如下:3 km以内(含3 km)收费8元;超过3 km的部分每千米收费6元.
(1)写出应收费y(元)与出租车行驶路程x(km)之间的关系式(其中x≥3);
(2)小亮乘出租车行驶4 km,应付车费多少元
(3)小波付车费16元,那么出租车行驶了多少千米
【举一反三】
小华周末约同学一起开车到离家100千米的景点旅游,出发前,汽车油箱内储油35升,当行驶80千米时,发现油箱剩余油量为25升(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的).
(1)求该车平均每千米的耗油量,并写出剩余油量Q(升)与行驶路程x(千米)之间的关系式;
(2)当x=60时,求剩余油量Q的值;
(3)当油箱中剩余油量低于3升时,汽车将自动报警,如果往返途中不加油,他们能否在汽车报警前回到家 请说明理由.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)下列函数:①y=x;②y=;③y=;④y=x2+1.其中是一次函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(3分·推理能力)若函数y=(m-1)+3是一次函数,则m的值为( )
A.-1 B.1 C.0 D.-1或1
3.(4分·抽象能力)已知函数y=3x-6,当x=0时,y= ;当y=0时,x= .
4.(4分·推理能力)已知函数y=(m+7)x5m-9+m为一次函数,此时函数的解析式为 .
5.(6分·应用意识、运算能力)一盘蚊香长105 cm,燃烧时每小时缩短10 cm.
(1)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)之间的函数关系式;
(2)该蚊香可燃烧多长时间 19.2.2 一次函数
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会用待定系数法求一次函数解析式,能明确一次函数与几何变换的关系 抽象能力、推理能力
2.能用所学的函数知识解决现实生活中的问题,会构建函数“模型” 模型观念、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.一次函数与几何变换 1.将直线y=2x-1向右平移2个单位长度,所得直线的解析式为( ) A.y=2x+1 B.y=2x-2 C.y=2x-3 D.y=2x-5
2.待定系数法:先设出函数 ,再根据条件确定解析式中 ,从而得出函数解析式的方法. 2.一次函数y=kx+b的图象经过(1,1), (2,-4),则k与b的值为( ) A. B. C. D.
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 待定系数法求一次函数解析式(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P93 例4 拓展)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x+8的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,在y轴上取一点C,且AC=BC.
(1)求点C的坐标.
(2)D为AB上的一点,且横坐标为-2,在x轴上找一点P,使得PD+PC的值最小,求出此时点P的坐标.
【举一反三】
如图,直线y=kx+6与x轴,y轴分别交于点E、点F,点E的坐标为(-8,0).
(1)求k的值;
(2)已知点A(-6,0),若点P(x,y)是直线上第二象限内的一个动点,试写出△OPA的面积S关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)探究:在(2)的条件下,当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为 并说明理由.
【技法点拨】
求一次函数解析式的四个步骤
(1)设:设函数解析式为y=kx+b(k≠0).
(2)代:将已知点的坐标或x,y的对应值代入所设解析式中,得到关于系数k,b的方程组.
(3)解:解方程组求得系数k,b的值.
(4)写:将k,b的值代入所设解析式中,写出解析式.
重点2 应用一次函数解决实际问题(模型观念、应用能力)
【典例2】(教材再开发·P95“思考” 拓展)某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售,要求10辆汽车全部装满,每辆汽车只能装运同一种水果,且装运每种水果的车辆都不少于2辆,根据表格提供的信息,解决以下问题:
项目 苹果 芦柑 香梨
每辆汽车载货量(吨) 7 6 5
每吨水果获利(万元) 0.15 0.2 0.1
(1)设装运苹果的车辆为x辆,装运芦柑的车辆为y辆,求y与x之间的函数关系式,并直接写出x的取值范围.
(2)用w来表示销售获得的利润,那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大 并求出w的最大值.
【举一反三】
如图是小明“探究拉力F与斜面高度h关系”的实验装置,A,B是水平面上两个固定的点,用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC(斜面足够长)斜向上做匀速直线运动,实验结果如图1、图2所示.经测算,在弹性范围内,沿斜面的拉力F(N)是高度h(cm)的一次函数.
(1)求出F与h之间的函数解析式;(不需要写出自变量的取值范围)
(2)若弹簧测力计的最大量程是6 N,求装置高度h的取值范围.
【技法点拨】
待定系数法在实际问题中的两种类型
(1)当问题已明确所求解的函数是一次函数时,便可用待定系数法.
(2)若函数的图象是线段(或直线),所求的函数就是一次函数,而且用待定系数法解答时,只需在线段(或直线)上找出两个已知点即可.
易错提醒:实际问题要注意自变量的取值范围.反映在函数图象上一般是射线或者线段,而不是直线.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)如果一次函数y=kx+b的图象经过点(2,-1)和(0,3),那么此一次函数的解析式为( )
A.y=-2x+3 B.y=-3x+2
C.y=3x-2 D.y=x-3
2.(3分·抽象能力)如图,将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中,直线l经过小正方形的顶点A,B,则直线l的函数解析式为( )
A.y=x+1 B.y=x+1
C.y=x+1 D.y=x+1
3.(4分·应用意识)(2024·上海中考)某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时销售量为1 000万元,当投入90万元时销售量为5 000万元,则投入80万元时,销售量为 万元.
4.(4分·推理能力、抽象能力)已知△ABC的顶点坐标分别为A(-5,0),B(3,0),C(0,3),当过点C的直线l将△ABC分成面积相等的两部分时,直线l所表示的函数解析式为 .
5.(6分·抽象能力、推理能力、应用意识、模型观念)如图,在平面直角坐标系中(O为坐标原点),点A(-2,0)、点B(0,-1),点C的坐标是(0,2).
(1)求直线AB的函数解析式.
(2)设点D(m,0)为x轴上一点,且S△ABC=S△ABD,求点D的坐标.19.2.2 一次函数
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握一次函数的图象及其性质 推理能力、抽象能力
2.能用“两点法”画一次函数的图象 几何直观
3.结合图象,理解直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中常数k和b的取值对直线位置的影响 几何直观、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.一次函数的图象 (1)形状:一条经过(0, )和( ,0)的直线. (2)与y=kx(k≠0)图象的关系: 一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象可以由直线y=kx(k≠0)平移 个单位长度得到(当b>0时,向 平移;当b<0时,向 平移) 1.一次函数y=-x+2的图象大致是( ) 2.函数y=-x向下平移1个单位长度后的解析式为 .
2.一次函数的性质 当k>0时,y的值随x值的增大而 ; 当k<0时,y的值随x值的增大而 . 3.一次函数y=-x-2的图象不经过的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2024·自贡中考)一次函数y=(3m+1)x-2的值随x的增大而增大,请写出一个满足条件的m的值: .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 一次函数的图象(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P91例2拓展)已知一次函数y=x-4的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,请解答下列问题:
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出一次函数y=x-4的图象;
(3)点(6,-4) 该函数图象上;(填“在”或“不在”)
(4)求原点到此函数图象的距离.
【举一反三】
1.已知关于x的一次函数为y=mx+4m-2,下列说法中错误的是( )
A.函数图象与y轴交于点(0,-2)
B.若m=,则函数图象经过第一、三、四象限
C.若函数图象经过原点,则m=
D.无论m为何实数,函数图象总经过(-4,-2)
2.将直线y=2x向上平移6个单位长度后,该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 .
重点2 一次函数的性质(抽象能力、推理能力)
【典例2】已知一次函数y=(3-2m)x-m+2,
(1)当m为何值时,该函数图象经过原点;
(2)若该函数图象与y轴交点在x轴上方,求m的取值范围;
(3)若该函数图象经过第一、二、四象限,求m的取值范围.
【举一反三】
已知一次函数y=(a2+1)x-3(a为常数,且a≠0)的图象过P(x1,y1),Q(x2,y2),若x1>x2,则y1 y2.(填“>”或“<”)
【技法点拨】
一次函数的图象与性质
直线y=kx+b(k≠0)的位置由k和b的符号决定.其中k决定直线从左向右上升还是下降;b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴、负半轴还是原点.k,b一起决定直线y=kx+b(k≠0)经过的象限.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、推理能力)满足k>0,b=3的一次函数y=kx+b的图象大致是( )
2.(3分·推理能力)已知A(-1,a),B(2,b)两点都在关于x的一次函数y=-x+m的图象上,则a,b的大小关系为( )
A.a≥b B.a>b
C.a3.(3分·推理能力)一次函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,则AB长为( )
A. B.2 C.2 D.4
4.(5分·推理能力、抽象能力)若直线y=mx+1向上平移3个单位长度后经过点P(2,3),则m值为 .
5.(6分·抽象能力、推理能力)已知一次函数y=(m+2)x+(m-4).
(1)当m在什么范围时,y随x的增大而减小
(2)当m为何值时,函数图象经过原点
(3)当m在什么范围时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方 19.2.2 一次函数
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能够判断两个变量是否构成一次函数关系,结合具体情境理解一次函数的概念 抽象能力、模型观念
2.能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式 抽象能力、应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
一次函数的概念 一般地,形如 y=kx+b (k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,其中k叫做比例系数. 特别地,当 b=0 时,y=kx(k≠0)是正比例函数. 1.下列函数中,y是x的一次函数的是(B) A.y=2x2-3 B.y=-3x C.y=3 D.y2=x 2.若y=mx|m+1|-2是关于x的一次函数,则m的值为 -2 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 一次函数的概念(模型观念、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P90练习T1拓展)
已知函数y=(m-2)x3-|m|+m+7.
(1)当m为何值时,y是x的一次函数
(2)若函数是一次函数,则x为何值时,y的值为3
【自主解答】(1)由y=(m-2)x3-|m|+m+7是一次函数,
得,解得m=-2.
故当m=-2时,y=(m-2)x3-|m|+m+7是一次函数;
(2)当y=3时,3=-4x+5,解得x=,
故当x=时,y的值为3.
【举一反三】
1.(2024·枣庄期末)函数①y=kx+b;②y=2x;③y=-;④y=x+3;⑤y=x2-2x+1.是一次函数的有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2024·西安期中)已知函数y=(m+2)+m-2是一次函数,求m的值.
【解析】∵函数y=(m+2)+m-2是一次函数,
∴,
解得m=2.
【技法点拨】
判断一次函数的三点注意
(1)关于自变量的代数式必须为整式.
(2)自变量的最高次数是一次,一次项系数不等于0.
(3)正比例函数也是一次函数.
重点2 根据实际问题列一次函数解析式(抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P89问题2 强化)某市出租车车费标准如下:3 km以内(含3 km)收费8元;超过3 km的部分每千米收费6元.
(1)写出应收费y(元)与出租车行驶路程x(km)之间的关系式(其中x≥3);
(2)小亮乘出租车行驶4 km,应付车费多少元
(3)小波付车费16元,那么出租车行驶了多少千米
【自主解答】(1)当x≥3时,y=8+6(x-3)=6x-10;
(2)当x=4时,y=6×4-10=14,
∴小亮乘出租车行驶4 km,应付车费14元;
(3)令y=16,则6x-10=16,∴x=,
∴小波付车费16元,出租车行驶了千米.
【举一反三】
小华周末约同学一起开车到离家100千米的景点旅游,出发前,汽车油箱内储油35升,当行驶80千米时,发现油箱剩余油量为25升(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的).
(1)求该车平均每千米的耗油量,并写出剩余油量Q(升)与行驶路程x(千米)之间的关系式;
(2)当x=60时,求剩余油量Q的值;
(3)当油箱中剩余油量低于3升时,汽车将自动报警,如果往返途中不加油,他们能否在汽车报警前回到家 请说明理由.
【解析】(1)该汽车平均每千米的耗油量为(35-25)÷80=0.125(升),
∴行驶路程x(千米)与剩余油量Q(升)的关系式为Q=35-0.125x;
(2)当x=60时,Q=35-0.125×60=27.5(升),
答:当x=60时,剩余油量Q的值为27.5升;
(3)他们能在汽车报警前回到家,
(35-3)÷0.125=256(千米),
由256>200知他们能在汽车报警前回到家.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)下列函数:①y=x;②y=;③y=;④y=x2+1.其中是一次函数的个数为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(3分·推理能力)若函数y=(m-1)+3是一次函数,则m的值为(A)
A.-1 B.1 C.0 D.-1或1
3.(4分·抽象能力)已知函数y=3x-6,当x=0时,y= -6 ;当y=0时,x= 2 .
4.(4分·推理能力)已知函数y=(m+7)x5m-9+m为一次函数,此时函数的解析式为 y=9x+2 .
5.(6分·应用意识、运算能力)一盘蚊香长105 cm,燃烧时每小时缩短10 cm.
(1)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)之间的函数关系式;
(2)该蚊香可燃烧多长时间
【解析】(1)∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度,
∴y=105-10t;
(2)∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y=0,
∴105-10t=0,
解得t=10.5,
∴该蚊香可燃烧10.5小时.19.2.2 一次函数
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握一次函数的图象及其性质 推理能力、抽象能力
2.能用“两点法”画一次函数的图象 几何直观
3.结合图象,理解直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中常数k和b的取值对直线位置的影响 几何直观、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.一次函数的图象 (1)形状:一条经过(0, b )和( - ,0)的直线. (2)与y=kx(k≠0)图象的关系: 一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象可以由直线y=kx(k≠0)平移 |b| 个单位长度得到(当b>0时,向 上 平移;当b<0时,向 下 平移) 1.一次函数y=-x+2的图象大致是(C) 2.函数y=-x向下平移1个单位长度后的解析式为 y=-x-1 .
2.一次函数的性质 当k>0时,y的值随x值的增大而 增大 ; 当k<0时,y的值随x值的增大而 减小 . 3.一次函数y=-x-2的图象不经过的象限是(A) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2024·自贡中考)一次函数y=(3m+1)x-2的值随x的增大而增大,请写出一个满足条件的m的值: 1(答案不唯一) .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 一次函数的图象(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P91例2拓展)已知一次函数y=x-4的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,请解答下列问题:
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出一次函数y=x-4的图象;
(3)点(6,-4) 该函数图象上;(填“在”或“不在”)
(4)求原点到此函数图象的距离.
【自主解答】(1)令y=0,则x=3,令x=0,则y=-4,
所以点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,-4);
答案:(3,0) (0,-4)
(2)如图:
(3)当x=6时,y=×6=8≠-4,
∴点(6,-4)不在该函数图象上;
答案:不在
(4)设原点到此函数图象的距离为h,
AB===5,
S△AOB=×OA×OB=×3×4=6,
S△AOB=×AB×h=×5×h=h,
∵6=h,∴h=2.4.
【举一反三】
1.已知关于x的一次函数为y=mx+4m-2,下列说法中错误的是(A)
A.函数图象与y轴交于点(0,-2)
B.若m=,则函数图象经过第一、三、四象限
C.若函数图象经过原点,则m=
D.无论m为何实数,函数图象总经过(-4,-2)
2.将直线y=2x向上平移6个单位长度后,该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 9 .
重点2 一次函数的性质(抽象能力、推理能力)
【典例2】已知一次函数y=(3-2m)x-m+2,
(1)当m为何值时,该函数图象经过原点;
(2)若该函数图象与y轴交点在x轴上方,求m的取值范围;
(3)若该函数图象经过第一、二、四象限,求m的取值范围.
【自主解答】(1)∵一次函数y=(3-2m)x-m+2的图象经过原点,
∴-m+2=0,解得m=2.当m=2时,3-2×2=-1≠0,
∴当m=2时,该函数图象经过原点;
(2)∵一次函数y=(3-2m)x-m+2的图象与y轴交点在x轴上方,
∴,
解得:m<2且m≠.
∴若该函数图象与y轴交点在x轴上方,则m的取值范围为m<2且m≠;
(3)∵一次函数y=(3-2m)x-m+2的图象经过第一、二、四象限,
∴,解得∴若该函数图象经过第一、二、四象限,则m的取值范围为【举一反三】
已知一次函数y=(a2+1)x-3(a为常数,且a≠0)的图象过P(x1,y1),Q(x2,y2),若x1>x2,则y1 > y2.(填“>”或“<”)
【技法点拨】
一次函数的图象与性质
直线y=kx+b(k≠0)的位置由k和b的符号决定.其中k决定直线从左向右上升还是下降;b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴、负半轴还是原点.k,b一起决定直线y=kx+b(k≠0)经过的象限.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、推理能力)满足k>0,b=3的一次函数y=kx+b的图象大致是(A)
2.(3分·推理能力)已知A(-1,a),B(2,b)两点都在关于x的一次函数y=-x+m的图象上,则a,b的大小关系为(B)
A.a≥b B.a>b
C.a3.(3分·推理能力)一次函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,则AB长为(C)
A. B.2 C.2 D.4
4.(5分·推理能力、抽象能力)若直线y=mx+1向上平移3个单位长度后经过点P(2,3),则m值为 - .
5.(6分·抽象能力、推理能力)已知一次函数y=(m+2)x+(m-4).
(1)当m在什么范围时,y随x的增大而减小
(2)当m为何值时,函数图象经过原点
(3)当m在什么范围时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方
【解析】(1)m+2<0,解得m<-2,
∴当m<-2时,y随x的增大而减小;
(2)m-4=0,解得m=4,
∴当m=4时,一次函数图象经过原点;
(3)m-4<0,且m+2≠0,
解得m<4且m≠-2,
∴当m<4且m≠-2时,一次函数图象与y轴的交点在x轴的下方.19.2.2 一次函数
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会用待定系数法求一次函数解析式,能明确一次函数与几何变换的关系 抽象能力、推理能力
2.能用所学的函数知识解决现实生活中的问题,会构建函数“模型” 模型观念、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.一次函数与几何变换 1.将直线y=2x-1向右平移2个单位长度,所得直线的解析式为(D) A.y=2x+1 B.y=2x-2 C.y=2x-3 D.y=2x-5
2.待定系数法:先设出函数 解析式 ,再根据条件确定解析式中 未知的系数 ,从而得出函数解析式的方法. 2.一次函数y=kx+b的图象经过(1,1), (2,-4),则k与b的值为(C) A. B. C. D.
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 待定系数法求一次函数解析式(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P93 例4 拓展)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x+8的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,在y轴上取一点C,且AC=BC.
(1)求点C的坐标.
(2)D为AB上的一点,且横坐标为-2,在x轴上找一点P,使得PD+PC的值最小,求出此时点P的坐标.
【自主解答】(1)当x=0时,y=8,∴B(0,8),
当y=0时,2x+8=0,解得x=-4,∴A(-4,0),
设C(0,t),则OC=t,AC=BC=8-t,
在Rt△OAC中,42+t2=(8-t)2,解得t=3,∴C(0,3).
(2)如图,作点C关于x轴的对称点E,连接DE,交x轴于点P,
∴PC=PE,∴PC+PD=PE+PD=DE,∴此时PC+PD的值最小.
∵当x=-2时,y=2x+8=4,∴D(-2,4).
∵点E与C(0,3)关于x轴对称,∴E(0,-3).
设直线DE的解析式为y=kx+b,
把E(0,-3),D(-2,4)分别代入,得,解得,
∴直线DE的解析式为y=-x-3.
当y=0时,-x-3=0,解得:x=-,
∴点P的坐标为(-,0).
【举一反三】
如图,直线y=kx+6与x轴,y轴分别交于点E、点F,点E的坐标为(-8,0).
(1)求k的值;
(2)已知点A(-6,0),若点P(x,y)是直线上第二象限内的一个动点,试写出△OPA的面积S关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)探究:在(2)的条件下,当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为 并说明理由.
【解析】(1)∵点E(-8,0)在直线y=kx+6上,∴0=-8k+6,
∴k=.
(2)∵k=,∴直线的解析式为y=x+6,
∵P点在y=x+6上,设P(x,x+6),∴△OPA以OA为底的边上的高是|x+6|,
当点P在第二象限时, |x+6|=x+6,∵点A的坐标为(-6,0),∴OA=6.
∴S=×6×(x+6)=x+18.∵P点在第二象限,∴-8(3)设点P坐标为(m,n)时,其面积S=,则·|n|·6=,
解得|n|=,则n=,n=-(舍弃),当n=时,=m+6,则m=-5,
故P(-5,),所以点P的坐标为(-5,)时,△OPA的面积为.
【技法点拨】
求一次函数解析式的四个步骤
(1)设:设函数解析式为y=kx+b(k≠0).
(2)代:将已知点的坐标或x,y的对应值代入所设解析式中,得到关于系数k,b的方程组.
(3)解:解方程组求得系数k,b的值.
(4)写:将k,b的值代入所设解析式中,写出解析式.
重点2 应用一次函数解决实际问题(模型观念、应用能力)
【典例2】(教材再开发·P95“思考” 拓展)某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售,要求10辆汽车全部装满,每辆汽车只能装运同一种水果,且装运每种水果的车辆都不少于2辆,根据表格提供的信息,解决以下问题:
项目 苹果 芦柑 香梨
每辆汽车载货量(吨) 7 6 5
每吨水果获利(万元) 0.15 0.2 0.1
(1)设装运苹果的车辆为x辆,装运芦柑的车辆为y辆,求y与x之间的函数关系式,并直接写出x的取值范围.
(2)用w来表示销售获得的利润,那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大 并求出w的最大值.
【自主解答】(1)已知装运苹果的车辆为x辆,装运芦柑的车辆为y辆,则装运香梨的车辆为(10-x-y)辆.
7x+6y+5(10-x-y)=60,
∴y=-2x+10(2≤x≤4);
(2)w=7×0.15x+6×0.2(-2x+10)+5×0.1[10-x-(-2x+10)],
即w=-0.85x+12,
∵-0.85<0,∴w随x的增大而减小,
∴当x=2时,w有最大值10.3万元,
∴装运苹果的车辆2辆,装运芦柑的车辆6辆,装运香梨的车辆2辆时,此次销售获利最大,最大利润为10.3万元.
【举一反三】
如图是小明“探究拉力F与斜面高度h关系”的实验装置,A,B是水平面上两个固定的点,用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC(斜面足够长)斜向上做匀速直线运动,实验结果如图1、图2所示.经测算,在弹性范围内,沿斜面的拉力F(N)是高度h(cm)的一次函数.
(1)求出F与h之间的函数解析式;(不需要写出自变量的取值范围)
(2)若弹簧测力计的最大量程是6 N,求装置高度h的取值范围.
【解析】(1)设F与h之间的函数解析式为F=kh+b(k,b为常数,且k≠0).
将h=11,F=2.1和h=21,F=3.1代入F=kh+b,
得,解得,
∴F与h之间的函数解析式为F=h+1.
(2)∵F≤6,即h+1≤6,解得h≤50,
∴装置高度h的取值范围是0【技法点拨】
待定系数法在实际问题中的两种类型
(1)当问题已明确所求解的函数是一次函数时,便可用待定系数法.
(2)若函数的图象是线段(或直线),所求的函数就是一次函数,而且用待定系数法解答时,只需在线段(或直线)上找出两个已知点即可.
易错提醒:实际问题要注意自变量的取值范围.反映在函数图象上一般是射线或者线段,而不是直线.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)如果一次函数y=kx+b的图象经过点(2,-1)和(0,3),那么此一次函数的解析式为(A)
A.y=-2x+3 B.y=-3x+2
C.y=3x-2 D.y=x-3
2.(3分·抽象能力)如图,将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中,直线l经过小正方形的顶点A,B,则直线l的函数解析式为(A)
A.y=x+1 B.y=x+1
C.y=x+1 D.y=x+1
3.(4分·应用意识)(2024·上海中考)某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时销售量为1 000万元,当投入90万元时销售量为5 000万元,则投入80万元时,销售量为 4 500 万元.
4.(4分·推理能力、抽象能力)已知△ABC的顶点坐标分别为A(-5,0),B(3,0),C(0,3),当过点C的直线l将△ABC分成面积相等的两部分时,直线l所表示的函数解析式为 y=3x+3 .
5.(6分·抽象能力、推理能力、应用意识、模型观念)如图,在平面直角坐标系中(O为坐标原点),点A(-2,0)、点B(0,-1),点C的坐标是(0,2).
(1)求直线AB的函数解析式.
(2)设点D(m,0)为x轴上一点,且S△ABC=S△ABD,求点D的坐标.
【解析】(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
把点A(-2,0)、点B(0,-1)代入得,解得,
∴直线AB的解析式为y=-x-1;
(2)S△ABC=×[2-(-1)]×2=3,
∵S△ABC=S△ABD,∴S△ABD=2S△ABC=2×3=6,
∴|m-(-2)|×1=6,解得m=10或m=-14,
∴点D的坐标为(10,0)或(-14,0).
