16.1 二次根式
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
经历探索二次根式两个性质的过程,并能进行有关的计算和化简. 运算能力、推理能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.二次根式的性质1 ()2= a (a≥0) 1.计算:(1)= 5 . (2)= 18 .
2.二次根式的性质2 = a (a≥0) 2.计算:(1)= . (2)= 7 .
3.拓展性质 =|a|= 3.若=3-b,则b的取值范围是(B) A.b<3 B.b≤3 C.b>3 D.b≥3
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 利用性质进行计算(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P4例3拓展)
计算:(1)+;
(2)-;
(3)+-2 0170-.
【自主解答】(1)+=2+2=4;
(2)原式=45-3=42;
(3)原式=2+2-1-3=0.
【举一反三】
1.下列各式中,成立的是(D)
A.=- B.-=5
C.=x D.=9
2.计算:(-)2+= +3 .
3.计算:(1)++|-|.
(2)+-.
【解析】(1)原式=-2+=-1.
(2)原式=9-3-6=0.
【技法点拨】
利用二次根式进行计算的两个“注意”
1.注意用的是哪个性质;
2.注意计算的顺序与实数的运算顺序一样.
重点2 利用()2=a(a≥0)分解因式(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P5T4拓展)在实数范围内分解因式:(1)9a4-4b4;
(2)x2-2x+3.
【自主解答】(1)原式=(3a2+2b2)(3a2-2b2)
=(3a2+2b2)(a+b)(a-b);
(2)原式=(x-)2.
【举一反三】
1.在实数范围内分解因式:3x2-9= 3(x+)(x-) .
2.在实数范围内分解因式:-9x4+16.
【解析】-9x4+16=16-9x4=(4+3x2)(4-3x2)=(4+3x2)(2+x)(2-x).
【技法点拨】
在实数范围内分解因式的策略
(1)如果含有4次幂及以上的偶次幂,一般为多级分解;
(2)对于一般有理数a(a≥0)的变形,一般要用到a=;
(3)注意关键词“实数范围”内,谨防分解不彻底.
重点3 利用=|a|化简(模型观念、运算能力)
【典例3】(教材再开发·P4性质拓展)
我们知道=|a|是二次根式的一条重要性质.请利用该性质解答以下问题:
(1)化简:= ,= ;
(2)若=2-x,则x的取值范围为 ;
(3)已知实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示,化简:-|c-a|+.
【自主解答】(1)=|-7|=7,=|3-π|=π-3.
答案:7 π-3
(2)∵=|x-2|=2-x,∴x-2≤0,∴x≤2.
答案:x≤2
(3)由题中数轴得:a0,b-c<0,
∴-|c-a|+=-a-(c-a)+(c-b)=-a-c+a+c-b=-b.
【举一反三】
如图,则化简|a-1|-的结果为 1-2a .
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)下列计算结果中,正确的是(B)
A.=2 B.=2
C.=2 D.=2
2.(4分·运算能力)下列计算结果中,正确的是(C)
A.=±3 B.=-3
C.=3 D.-=3
3.(4分·模型观念、运算能力)实数x,y在数轴上的位置如图所示,化简的结果是 y-x .
4.(8分·运算能力)计算:
(1);
(2)6;
(3)-4;
(4)-22+(-2)2++.
【解析】(1)=(-2)2×=12.
(2)6=6=6×=7.
(3)-4=-4
=-4×=-2.
(4)-22+(-2)2++
=-4+4+3+3
=6.16.1 二次根式
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解二次根式的定义及有关概念. 抽象能力
2.理解二次根式的双重非负性,能够利用二次根式的性质进行有关的计算. 抽象能力、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.二次根式的定义 形如 (a≥0) 的式子. 1.下列各式中,不是二次根式的是(B) A. B. C. D.
2.二次根式的双重非负性 a≥0,≥0 2.(1)如果二次根式有意义,那么x的取值范围是 x≥3 . (2)已知y=+-3,则x= 6 ,y= -3 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 二次根式的概念(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P2二次根式定义拓展)
下列各式子中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:
,,,(x>0),,,-,,(x≥0,y≥0),.
【自主解答】二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”;二是所含被开方数(式)是非负数.可知,(x>0),,-,(x≥0,y≥0),是二次根式.其中,的根指数分别为3,4,不是二次根式;,是分式,不是二次根式;因为x2+4x+4=(x+2)2≥0,所以是二次根式.
【举一反三】
1.下列各式中,一定是二次根式的是(C)
A. B. C. D.
2.下列式子:①;②;③;④;⑤.是二次根式的有
①③⑤ .(填序号)
【技法点拨】
二次根式的特征
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写);
(2)被开方数(式)为非负数.
重点2 二次根式有意义的条件(推理能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P2例1拓展)
求使下列各式有意义的所有x的取值范围:
(1);(2)-;(3);(4).
【自主解答】(1)由题意得3-2x≥0,解得x≤;
(2)由题意得,解得x≥;
(3)由题意得,解得x≥-1且x≠2;
(4)∵x2+2x+2=x2+2x+1+1=(x+1)2+1,又∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2+1≥1,
∵要使有意义,则x2+2x+2≥0,
∴x为任意实数时,都有意义,
∴x的取值范围为任意实数.
【举一反三】
若在实数范围内+有意义,则a的取值范围是 a≤1且a≠- .
重点3 二次根式的非负性(推理能力、模型观念)
【典例3】(教材再开发·P3二次根式性质拓展)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A,B,且a,b满足+=0,点C的坐标为.
(1)求a,b的值;
(2)求△ABC的面积.
【自主解答】(1)∵+=0,
∴a+2=0,b-4=0,
∴a=-2,b=4;
(2)点A,B的坐标分别是(-2,0),(4,0),
∴S△ABC=AB·OC=×6×3=9.
【举一反三】
若+(y-2 025)2=0,则xy= -1 .
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列各式中,一定是二次根式的是(A)
A.(a≥0) B.
C. D.
2.(3分·模型观念)(2023·江西中考)若有意义,则a的值可以是(D)
A.-1 B.0 C.2 D.6
3.(4分·模型观念、运算能力)若实数a,b满足+2=b+4,则a-b= 9 .
4.(4分·模型观念)(2023·永州中考)已知x为正整数,写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是 1(或2) .
5.(6分·模型观念、运算能力)已知二次根式.
(1)求x的取值范围;
(2)求当x=-2时,二次根式的值;
(3)若二次根式的值为零,求x的值.
【解析】(1)根据二次根式有意义的条件可得3-x≥0,解得x≤6,
∴x的取值范围是x≤6;
(2)当x=-2时,二次根式===2;
(3)由题意可得3-x=0,解得x=6.16.1 二次根式
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解二次根式的定义及有关概念. 抽象能力
2.理解二次根式的双重非负性,能够利用二次根式的性质进行有关的计算. 抽象能力、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.二次根式的定义 形如 的式子. 1.下列各式中,不是二次根式的是( ) A. B. C. D.
2.二次根式的双重非负性 a≥0,≥0 2.(1)如果二次根式有意义,那么x的取值范围是 . (2)已知y=+-3,则x= ,y= .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 二次根式的概念(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P2二次根式定义拓展)
下列各式子中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:
,,,(x>0),,,-,,(x≥0,y≥0),.
【举一反三】
1.下列各式中,一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列式子:①;②;③;④;⑤.是二次根式的有
.(填序号)
【技法点拨】
二次根式的特征
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写);
(2)被开方数(式)为非负数.
重点2 二次根式有意义的条件(推理能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P2例1拓展)
求使下列各式有意义的所有x的取值范围:
(1);(2)-;(3);(4).
【举一反三】
若在实数范围内+有意义,则a的取值范围是 .
重点3 二次根式的非负性(推理能力、模型观念)
【典例3】(教材再开发·P3二次根式性质拓展)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A,B,且a,b满足+=0,点C的坐标为.
(1)求a,b的值;
(2)求△ABC的面积.
【举一反三】
若+(y-2 025)2=0,则xy= .
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列各式中,一定是二次根式的是( )
A.(a≥0) B.
C. D.
2.(3分·模型观念)(2023·江西中考)若有意义,则a的值可以是( )
A.-1 B.0 C.2 D.6
3.(4分·模型观念、运算能力)若实数a,b满足+2=b+4,则a-b= .
4.(4分·模型观念)(2023·永州中考)已知x为正整数,写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是 .
5.(6分·模型观念、运算能力)已知二次根式.
(1)求x的取值范围;
(2)求当x=-2时,二次根式的值;
(3)若二次根式的值为零,求x的值.16.1 二次根式
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
经历探索二次根式两个性质的过程,并能进行有关的计算和化简. 运算能力、推理能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.二次根式的性质1 ()2= (a≥0) 1.计算:(1)= . (2)= .
2.二次根式的性质2 = (a≥0) 2.计算:(1)= . (2)= .
3.拓展性质 =|a|= 3.若=3-b,则b的取值范围是( ) A.b<3 B.b≤3 C.b>3 D.b≥3
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 利用性质进行计算(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P4例3拓展)
计算:(1)+;
(2)-;
(3)+-2 0170-.
【举一反三】
1.下列各式中,成立的是( )
A.=- B.-=5
C.=x D.=9
2.计算:(-)2+= .
3.计算:(1)++|-|.
(2)+-.
【技法点拨】
利用二次根式进行计算的两个“注意”
1.注意用的是哪个性质;
2.注意计算的顺序与实数的运算顺序一样.
重点2 利用()2=a(a≥0)分解因式(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P5T4拓展)在实数范围内分解因式:(1)9a4-4b4;
(2)x2-2x+3.
【举一反三】
1.在实数范围内分解因式:3x2-9= .
2.在实数范围内分解因式:-9x4+16.
【技法点拨】
在实数范围内分解因式的策略
(1)如果含有4次幂及以上的偶次幂,一般为多级分解;
(2)对于一般有理数a(a≥0)的变形,一般要用到a=;
(3)注意关键词“实数范围”内,谨防分解不彻底.
重点3 利用=|a|化简(模型观念、运算能力)
【典例3】(教材再开发·P4性质拓展)
我们知道=|a|是二次根式的一条重要性质.请利用该性质解答以下问题:
(1)化简:= ,= ;
(2)若=2-x,则x的取值范围为 ;
(3)已知实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示,化简:-|c-a|+.
【举一反三】
如图,则化简|a-1|-的结果为 .
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)下列计算结果中,正确的是( )
A.=2 B.=2
C.=2 D.=2
2.(4分·运算能力)下列计算结果中,正确的是( )
A.=±3 B.=-3
C.=3 D.-=3
3.(4分·模型观念、运算能力)实数x,y在数轴上的位置如图所示,化简的结果是 .
4.(8分·运算能力)计算:
(1);
(2)6;
(3)-4;
(4)-22+(-2)2++.
