16.3 二次根式的加减
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
理解二次根式的加减乘除法则,能够利用法则进行二次根式的计算. 抽象能力、模型观念、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
二次根式的混合运算 1.运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减. 2.整式的乘法公式照样应用,分别是: (1)(a+b)(a-b)= a2-b2 ; (2)(a±b)2= a2±2ab+b2 ; (3)(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab . 1.计算:(+2)×= 4+6 . 2.计算(+)(-)的结果为 1 . 3.计算:= 27-12 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 二次根式的混合运算(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P14例4拓展)
计算:(1)÷-×+;
(2)(+5)×+(4-6)÷2;
(3)-(2+3)(2-3).
【自主解答】(1)原式=-+=2-4+=-;
(2)原式=(2+10)×+(4-6)÷2
=6+10+2-3
=3+10+2;
(3)原式=12+12+18-(12-18)
=12+12+18+6
=36+12.
【举一反三】
1.(2023·西宁中考)下列运算正确的是(C)
A.+= B.=-5
C.=11-6 D.6÷×=3
2.计算:·-3= 2 .
3.计算:(1)(2-1)(4+5);
(2)-+|1-|-;
(3)2÷+(+) (-6).
【解析】(1)原式=24+10-4-5=19+6;
(2)原式=3+2-3+-1-5=-3;
(3)原式=2+(+)(-)
=2+-
=-4+2.
【技法点拨】
二次根式混合运算的四点注意
(1)确定运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
(2)灵活运用运算律.
(3)正确使用乘法公式.
(4)有些运算中约分可使运算简便.
重点2 与二次根式有关的求值问题(运算能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P15T6拓展)
已知a=-1,b=+1.求:
(1)a2b+ab2的值;
(2)+的值.
【自主解答】∵a=-1,b=+1,
∴a+b=2,ab=1.
(1)a2b+ab2=ab(a+b)=2;
(2)+====6.
【举一反三】
1.当x=-1时,代数式x2+2x+2的值是 2 025 .
2.已知x=2-,y=2+.
(1)求x2+xy+y2的值;
(2)求-的值.
【解析】(1)∵x=2-,y=2+,
∴x+y=2-+2+=4,
xy=(2-)(2+)=4-2=2,
∴x2+xy+y2
=x2+2xy+y2-xy
=(x+y)2-xy
=42-2
=14;
(2)∵x=2-,y=2+,
∴y-x=2+-(2-)=2,
∴-
=
=
=
=4.
【技法点拨】
求有关二次根式的代数式的值的三个步骤
(1)化简:化简代数式,字母表示的二次根式不是最简形式时,也要将其化简.
(2)代入:将字母表示的二次根式的值代入化简后的代数式.
(3)计算:计算出结果并化简为最简形式.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)下列计算正确的是(D)
A.=2 B.3-=3
C.=-a D.(+)(-)=1
2.(3分·运算能力)估计(-)÷的值应在(B)
A.0与1之间 B.1与2之间
C.2与3之间 D.3与4之间
3.(4分·运算能力)计算-×的结果是 .
4.(4分·运算能力)已知x=-1,y=+1,则-= 1 .
5.(6分·运算能力)计算:
(1)(2023·武威中考)÷×2-6;
(2)(+)(-)-.
【解析】(1)÷×2-6
=3××2-6
=12-6
=6;
(2)(+)(-)-
=--(2+2+1)
=10-7-(3+2)
=-2.16.3 二次根式的加减
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解二次根式的加法法则. 抽象能力、模型观念
2.会运用二次根式的加法法则进行简单计算. 运算能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.二次根式的加法法则 一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成 ,再将 的二次根式进行合并. 2.实数的运算顺序与运算律仍然适用. 1.下列各式中,能与合并的是( ) A. B. C. D. 2.计算:-= . 3.计算:2+6-3= .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 被开方数相同的二次根式(运算能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P12法则拓展)若最简二次根式与的被开方数相同,求a2 025+b2 025的值.
【举一反三】
1.若最简二次根式能与合并,则a的值为( )
A.11 B.6 C.2 D.1
2.(2024·淄博期中)在下列二次根式中:
,,,4,.
(1)能与合并的是 ;
(2)能与合并的是 .
3.如果二次根式与-3能够合并,能否由此确定a=1 若能,请说明理由;若不能,请举一个反例说明.
【技法点拨】
判断二次根式是否可以合并的三步法
重点2 二次根式的加减运算(运算能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P13例2拓展)计算:
(1)9-7+5;
(2)(+)- (-);
(3)5+-5x.
【举一反三】
1.下列各式计算正确的是( )
A.2-=2 B.+=
C.×2=2 D.4+=6
2.若a,b为有理数,且-+=a+b,则a+b= .
3.计算:(1)4+-+4;
(2)-(3+).
【技法点拨】
二次根式加减运算的两点注意
1.二次根式要化成最简;
2.注意符号的变化.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)下列计算正确的是( )
A.=- B.3-=
C.-= D.+=3
2.(3分·运算能力)下列各组二次根式中,化简后被开方数不同的是( )
A.2与 B.与
C.与3 D.与
3.(4分·运算能力)计算-3的结果是 .
4.(10分·运算能力)计算:(1)+-(-);(2)+2-3-8.16.3 二次根式的加减
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解二次根式的加法法则. 抽象能力、模型观念
2.会运用二次根式的加法法则进行简单计算. 运算能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.二次根式的加法法则 一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成 最简二次根式 ,再将 被开方数相同 的二次根式进行合并. 2.实数的运算顺序与运算律仍然适用. 1.下列各式中,能与合并的是(C) A. B. C. D. 2.计算:-= - . 3.计算:2+6-3= -5 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 被开方数相同的二次根式(运算能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P12法则拓展)若最简二次根式与的被开方数相同,求a2 025+b2 025的值.
【自主解答】∵最简二次根式与的被开方数相同,
∴,∴,
∴a2 025+b2 025=12 025+12 025=1+1=2.
【举一反三】
1.若最简二次根式能与合并,则a的值为(C)
A.11 B.6 C.2 D.1
2.(2024·淄博期中)在下列二次根式中:
,,,4,.
(1)能与合并的是 4 ;
(2)能与合并的是 , .
3.如果二次根式与-3能够合并,能否由此确定a=1 若能,请说明理由;若不能,请举一个反例说明.
【解析】二次根式与-3能够合并,不能由此确定a=1.
当是最简二次根式时,3a-1=2,∴a=1;
当不是最简二次根式时,如3a-1=8,
则a=3.还有其他情况.故不能确定a=1.(反例合理即可)
【技法点拨】
判断二次根式是否可以合并的三步法
重点2 二次根式的加减运算(运算能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P13例2拓展)计算:
(1)9-7+5;
(2)(+)- (-);
(3)5+-5x.
【自主解答】(1)原式=9-7×2+5×4
=9-14+20
=15;
(2)原式=2+-+=3+;
(3)原式=+-=.
【举一反三】
1.下列各式计算正确的是(C)
A.2-=2 B.+=
C.×2=2 D.4+=6
2.若a,b为有理数,且-+=a+b,则a+b= - .
3.计算:(1)4+-+4;
(2)-(3+).
【解析】(1)原式=4+3-2+4=7+2;
(2)原式=×2-3×-=--=-.
【技法点拨】
二次根式加减运算的两点注意
1.二次根式要化成最简;
2.注意符号的变化.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)下列计算正确的是(D)
A.=- B.3-=
C.-= D.+=3
2.(3分·运算能力)下列各组二次根式中,化简后被开方数不同的是(D)
A.2与 B.与
C.与3 D.与
3.(4分·运算能力)计算-3的结果是 3 .
4.(10分·运算能力)计算:(1)+-(-);(2)+2-3-8.
【解析】(1)原式=2+2-+
=2+2-+3
=+5;
(2)原式=5+2×-3×6-8×
=5+-18-
=-13.16.3 二次根式的加减
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
理解二次根式的加减乘除法则,能够利用法则进行二次根式的计算. 抽象能力、模型观念、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
二次根式的混合运算 1.运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减. 2.整式的乘法公式照样应用,分别是: (1)(a+b)(a-b)= ; (2)(a±b)2= ; (3)(x+a)(x+b)= . 1.计算:(+2)×= . 2.计算(+)(-)的结果为 . 3.计算:= .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 二次根式的混合运算(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P14例4拓展)
计算:(1)÷-×+;
(2)(+5)×+(4-6)÷2;
(3)-(2+3)(2-3).
【举一反三】
1.(2023·西宁中考)下列运算正确的是( )
A.+= B.=-5
C.=11-6 D.6÷×=3
2.计算:·-3= .
3.计算:(1)(2-1)(4+5);
(2)-+|1-|-;
(3)2÷+(+) (-6).
【技法点拨】
二次根式混合运算的四点注意
(1)确定运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
(2)灵活运用运算律.
(3)正确使用乘法公式.
(4)有些运算中约分可使运算简便.
重点2 与二次根式有关的求值问题(运算能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P15T6拓展)
已知a=-1,b=+1.求:
(1)a2b+ab2的值;
(2)+的值.
【举一反三】
1.当x=-1时,代数式x2+2x+2的值是 .
2.已知x=2-,y=2+.
(1)求x2+xy+y2的值;
(2)求-的值.
【技法点拨】
求有关二次根式的代数式的值的三个步骤
(1)化简:化简代数式,字母表示的二次根式不是最简形式时,也要将其化简.
(2)代入:将字母表示的二次根式的值代入化简后的代数式.
(3)计算:计算出结果并化简为最简形式.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)下列计算正确的是( )
A.=2 B.3-=3
C.=-a D.(+)(-)=1
2.(3分·运算能力)估计(-)÷的值应在( )
A.0与1之间 B.1与2之间
C.2与3之间 D.3与4之间
3.(4分·运算能力)计算-×的结果是 .
4.(4分·运算能力)已知x=-1,y=+1,则-= .
5.(6分·运算能力)计算:
(1)(2023·武威中考)÷×2-6;
(2)(+)(-)-.
