17.1 勾股定理
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能用勾股定理的知识在数轴上表示无理数. 抽象能力、运算能力、模型观念、几何直观
2.利用勾股定理解决网格中的有关问题.
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
应用1:在数轴上表示无理数 利用数轴的单位长度,构造直角三角形,利用勾股定理求得表示无理数的线段长,并且在数轴上表示出来. 1.如图,在数轴上,点A表示的数为3,过点A作直线l⊥OA,在l上取点B,使AB=2,以原点O为圆心,以OB为半径作弧,则弧与数轴的交点C表示的数为 .
应用2:网格中的勾股定理 每一个小网格四个角都是直角,在网格上的点构造直角三角形利用勾股定理进行有关的计算. 2.如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1.则网格上的△ABC中,边长为无理数的边数为(B) A.1 B.2 C.3 D.0
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 在数轴上表示无理数(几何直观、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P27练习T1拓展)
(1)用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A.(要求:不写作法,保留作图痕迹)
(2)若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称,则点B对应的数是 .
【自主解答】(1)如图,点A即为所求.
(2)∵点A到对称点1的距离为-1,
∴点B表示的数为1-(-1)=2-.
答案:2-
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=1,BC在数轴上,点B对应的数为1,以点B为圆心,AB的长为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数是(A)
A.1- B.2-
C.1- D.-1
2.(2023·大连中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,0)和(0,2),连接AB,以点A为圆心、AB的长为半径画弧,与x轴正半轴相交于点C,则点C的横坐标是 +1 .
【技法点拨】
在数轴上表示无理数的三步法
一“拆分”:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方.
二“构造”:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形.
三“画弧”:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.
重点2 网格中的勾股定理(推理能力、模型观念)
【典例2】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上.
(1)直接写出AC的长为 ,△ABC的面积为 ;
(2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺和圆规作出AC边上的高BD,并保留作图痕迹;
(3)求BD的长.
【自主解答】(1)AC==,
S△ABC=4×5-×2×4-×2×5-×1×4=9.
答案: 9
(2)如图所示,BD即为所求,
(3)∵S△ABC=AC·BD=×·BD=9,
∴BD=.
【举一反三】
1.如图是城市某区域的示意图,建立平面直角坐标系后,学校和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是(A)
A.超市 B.医院 C.体育场 D.学校
2.如图,在3×3的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的边AC上的高,则BD的长为 .
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)如图,边长为1的正方形网格图中,点A,B都在格点上,若BC=,则AC的长为(B)
A. B. C.2 D.3
2.(8分·几何直观、运算能力)网格中的小正方形边长均为1,△ABC的三个顶点均在格点上,完成下列问题:
(1)AB= ;BC= ;AC= ;
(2)△ABC的面积为 2.5 .
3.(8分·推理能力、几何直观)
(1)如图①,点A表示的数是 ;点B表示的数是 ;
(2)利用(1)中的方法,在图②数轴上分别描出表示-,的点.
【解析】(1)如图①,
由勾股定理得,OE==,
∴OA=OB=OE=,
∴点A表示的数是,点B表示的数是-;
答案: -
(2)如图②所示,点C表示-的点,点D表示的点.
由题意得OA=,
∴OC=OF==,OD=OG===.17.1 勾股定理
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.经历勾股定理的探究过程.了解关于勾股定理的一些文化历史背景,通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍,培养学生的民族自豪感. 抽象能力、推理能力、几何直观
2.能用勾股定理解决一些简单的实际问题. 运算能力、模型观念、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
勾股定理: 文字语言符号语言+图示直角三角形的两直角边的 等于 a2+b2=
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c为其三边长. (1)若a=3,b=4,则c= ; (2)若a=5,c=13,则b= ; (3)若b=8,c=10,则a= ; (4)若c=20,a∶b=4∶3,则b= .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 求图形的边长或高(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P24练习1拓展)
如图,在△ABC中,BC=4,∠A=45°,∠B=60°,求AC的长.
.
【举一反三】
(2023·本溪中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,则BD的长为( )
A. B. C. D.
重点2 勾股定理与图形面积(推理能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P24练习T2拓展)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.正方形A,B,C,D的面积分别是3,6,3,4,则正方形G的面积是( )
A.10 B.7 C.16 D.21
【举一反三】
1.如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆,若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为( )
A.9π B.π C.π D.3π
2.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S1+S4=100,S2-S3=28,则S2= .
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、运算能力)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则以AB为边的正方形的周长是( )
A.12 B.16 C.20 D.25
2.(4分·模型观念)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB,BC为边作正方形ABFG与正方形BCDE,已知边AC=2,正方形BCDE的面积是1,则正方形ABFG的面积是( )
A.5 B.3 C. D.
3.(4分·几何直观、推理能力)(2023·重庆中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度为 .
4.(8分·推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,∠C=30°, AC=6,AB=4.
(1)求BD的长.
(2)求点D到AC的距离.(以上结果保留根号)17.1 勾股定理
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.经历勾股定理的探究过程.了解关于勾股定理的一些文化历史背景,通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍,培养学生的民族自豪感. 抽象能力、推理能力、几何直观
2.能用勾股定理解决一些简单的实际问题. 运算能力、模型观念、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
勾股定理: 文字语言符号语言+图示直角三角形的两直角边的 平方和 等于 斜边的平方 a2+b2= c2
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c为其三边长. (1)若a=3,b=4,则c= 5 ; (2)若a=5,c=13,则b= 12 ; (3)若b=8,c=10,则a= 6 ; (4)若c=20,a∶b=4∶3,则b= 12 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 求图形的边长或高(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P24练习1拓展)
如图,在△ABC中,BC=4,∠A=45°,∠B=60°,求AC的长.
【自主解答】过点C作CD⊥AB交AB于点D,
∵∠B=60°,∴∠BCD=30°,
∵BC=4,∴BD=BC=2,∴CD==2,
∵∠A=45°,∴∠ACD=∠A=45°,∴AD=CD=2,
∴AC==2.
【举一反三】
(2023·本溪中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,则BD的长为(D)
A. B. C. D.
重点2 勾股定理与图形面积(推理能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P24练习T2拓展)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.正方形A,B,C,D的面积分别是3,6,3,4,则正方形G的面积是(C)
A.10 B.7 C.16 D.21
【举一反三】
1.如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆,若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为(C)
A.9π B.π C.π D.3π
2.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S1+S4=100,S2-S3=28,则S2= 64 .
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、运算能力)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则以AB为边的正方形的周长是(C)
A.12 B.16 C.20 D.25
2.(4分·模型观念)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB,BC为边作正方形ABFG与正方形BCDE,已知边AC=2,正方形BCDE的面积是1,则正方形ABFG的面积是(A)
A.5 B.3 C. D.
3.(4分·几何直观、推理能力)(2023·重庆中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度为 4 .
4.(8分·推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,∠C=30°, AC=6,AB=4.
(1)求BD的长.
(2)求点D到AC的距离.(以上结果保留根号)
【解析】(1)∵AD是BC边上的高,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
∵∠C=30°,AC=6,
∴AD=AC=×6=3,
∴BD===.
(2)如图,过点D作DH⊥AC于点H,
∵∠ADC=90°,AD=3,AC=6,
∴CD===3,
∵S△ADC=AD·CD=AC·DH,
∴×3×3=×6×DH,
∴DH=,即点D到AC的距离为.17.1 勾股定理
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能用勾股定理的知识在数轴上表示无理数. 抽象能力、运算能力、模型观念、几何直观
2.利用勾股定理解决网格中的有关问题.
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
应用1:在数轴上表示无理数 利用数轴的单位长度,构造直角三角形,利用勾股定理求得表示无理数的线段长,并且在数轴上表示出来. 1.如图,在数轴上,点A表示的数为3,过点A作直线l⊥OA,在l上取点B,使AB=2,以原点O为圆心,以OB为半径作弧,则弧与数轴的交点C表示的数为 .
应用2:网格中的勾股定理 每一个小网格四个角都是直角,在网格上的点构造直角三角形利用勾股定理进行有关的计算. 2.如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1.则网格上的△ABC中,边长为无理数的边数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 在数轴上表示无理数(几何直观、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P27练习T1拓展)
(1)用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A.(要求:不写作法,保留作图痕迹)
(2)若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称,则点B对应的数是 .
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=1,BC在数轴上,点B对应的数为1,以点B为圆心,AB的长为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数是( )
A.1- B.2-
C.1- D.-1
2.(2023·大连中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,0)和(0,2),连接AB,以点A为圆心、AB的长为半径画弧,与x轴正半轴相交于点C,则点C的横坐标是 .
【技法点拨】
在数轴上表示无理数的三步法
一“拆分”:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方.
二“构造”:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形.
三“画弧”:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.
重点2 网格中的勾股定理(推理能力、模型观念)
【典例2】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上.
(1)直接写出AC的长为 ,△ABC的面积为 ;
(2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺和圆规作出AC边上的高BD,并保留作图痕迹;
(3)求BD的长.
【举一反三】
1.如图是城市某区域的示意图,建立平面直角坐标系后,学校和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是( )
A.超市 B.医院 C.体育场 D.学校
2.如图,在3×3的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的边AC上的高,则BD的长为 .
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)如图,边长为1的正方形网格图中,点A,B都在格点上,若BC=,则AC的长为( )
A. B. C.2 D.3
2.(8分·几何直观、运算能力)网格中的小正方形边长均为1,△ABC的三个顶点均在格点上,完成下列问题:
(1)AB= ;BC= ;AC= ;
(2)△ABC的面积为 .
3.(8分·推理能力、几何直观)
(1)如图①,点A表示的数是 ;点B表示的数是 ;
(2)利用(1)中的方法,在图②数轴上分别描出表示-,的点.17.1 勾股定理
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
能用勾股定理解决一些简单的实际问题. 抽象能力、应用意识、模型观念、几何直观
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
应用1:几何体上最短路径问题 展成平面图形转化为直角三角形进行计算 1.如图,在高为3 m,斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯,地毯的长度为(C) A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
应用2:求物体的高度或者宽度等 构造直角三角形,然后应用勾股定理进行计算 2.数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离,在A的同岸选取点C,测得AC=30,∠A= 45°,∠C=90°,如图,据此可求得A,B之间的距离为 30 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 勾股定理在实际问题中的应用(几何直观、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P25例2拓展)如图,已知钓鱼竿AC的长为10米,露在水面上的鱼线BC长为6米,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'的长度为8米,求BB'的长.
【自主解答】在Rt△ABC中,AC=10米,BC=6米,
∴AB===8(米),
在Rt△AB'C'中,AC'=10米,B'C'=8米,
∴AB'===6(米),
∴BB'=AB-AB'=8-6=2(米).
【举一反三】
1.如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC=,BC=1,∠AOB=30°,则OA的值为(A)
A. B. C. D.1
2.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何 ”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少 (1丈=10尺,1尺=10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 x2+(x-6.8)2=102 .
重点2 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题(推理能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P39T12拓展)如图,一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上,AB=BC=6 cm,CD=10 cm;
(1)一只蚂蚁从A点出发,沿小杯子外表面爬到D点,求蚂蚁怎样爬最短,最短路程是多少
(2)把一双筷子放进杯子里,请问,杯子中能放进的筷子的最大长度是多少
【自主解答】(1)①将面ABEF和面BCDE展开,如图,
∵AB=BC=6 cm,CD=10 cm,∴AC=12 cm,∠C=90°,
由勾股定理得:AD===2(cm);
②将面ABEF和上底面展开,如图,
∵AB=DE=6 cm,BE=10 cm,∴DB=16 cm,∠B=90°,
由勾股定理得:AD===2(cm);
所以,①中的路程最短,最短路程为2 cm;
(2)如图,当筷子沿AD倾斜放的时候,能够放得最长,
∵AB=BC=6 cm,CD=10 cm,
∴由勾股定理得:AC===6(cm),
∴AD===2(cm),
所以,杯子中能放进的筷子的最大长度是2 cm.
【举一反三】
1.如图是底面周长为24,高为5的圆柱体.一只小蚂蚁要从点A爬到点B,则蚂蚁爬行的最短距离是(C)
A.7 B.10 C.13 D.21
2.(2024·大庆质检)如图,教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直,点P在墙面上,若PA=AB=13 m,点P到AD的距离是12 m,有一只蚂蚁要从点P爬行到点B,则它的最短行程是 5 m.
【技法点拨】
求立体图形中最短路径问题的四个步骤
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(5分·运算能力)如图,一竖直的木杆在离地面3.6米处折断,木杆顶端落地后离木杆底端4.8米,木杆折断之前的高度为(C)
A.6米 B.7.2米
C.9.6米 D.10.8米
2.(5分·模型观念)有一个长方体的铁盒,长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm,则这个铁盒中能放入的木棒最长为 cm.(铁盒的厚度忽略不计)(C)
A.7 B.8 C.5 D.4
3.(5分·几何直观、推理能力)一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔45海里的A处,它沿北偏东30°方向航行60海里到达B处,此时与灯塔P的距离为 75海里 . 17.1 勾股定理
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
能用勾股定理解决一些简单的实际问题. 抽象能力、应用意识、模型观念、几何直观
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
应用1:几何体上最短路径问题 展成平面图形转化为直角三角形进行计算 1.如图,在高为3 m,斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯,地毯的长度为( ) A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
应用2:求物体的高度或者宽度等 构造直角三角形,然后应用勾股定理进行计算 2.数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离,在A的同岸选取点C,测得AC=30,∠A= 45°,∠C=90°,如图,据此可求得A,B之间的距离为 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 勾股定理在实际问题中的应用(几何直观、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P25例2拓展)如图,已知钓鱼竿AC的长为10米,露在水面上的鱼线BC长为6米,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'的长度为8米,求BB'的长.
【举一反三】
1.如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC=,BC=1,∠AOB=30°,则OA的值为( )
A. B. C. D.1
2.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何 ”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少 (1丈=10尺,1尺=10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .
重点2 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题(推理能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P39T12拓展)如图,一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上,AB=BC=6 cm,CD=10 cm;
(1)一只蚂蚁从A点出发,沿小杯子外表面爬到D点,求蚂蚁怎样爬最短,最短路程是多少
(2)把一双筷子放进杯子里,请问,杯子中能放进的筷子的最大长度是多少
【举一反三】
1.如图是底面周长为24,高为5的圆柱体.一只小蚂蚁要从点A爬到点B,则蚂蚁爬行的最短距离是( )
A.7 B.10 C.13 D.21
2.(2024·大庆质检)如图,教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直,点P在墙面上,若PA=AB=13 m,点P到AD的距离是12 m,有一只蚂蚁要从点P爬行到点B,则它的最短行程是 m.
【技法点拨】
求立体图形中最短路径问题的四个步骤
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(5分·运算能力)如图,一竖直的木杆在离地面3.6米处折断,木杆顶端落地后离木杆底端4.8米,木杆折断之前的高度为( )
A.6米 B.7.2米
C.9.6米 D.10.8米
2.(5分·模型观念)有一个长方体的铁盒,长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm,则这个铁盒中能放入的木棒最长为 cm.(铁盒的厚度忽略不计)( )
A.7 B.8 C.5 D.4
3.(5分·几何直观、推理能力)一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔45海里的A处,它沿北偏东30°方向航行60海里到达B处,此时与灯塔P的距离为 .
