17.2 勾股定理的逆定理
课时学习目标 素养目标达成
1.理解勾股定理的逆定理,经历“实验测量-猜想-论证”的定理探究过程,体会“构造法”证明数学命题的基本思想;能够利用勾股定理的逆定理解决简单的问题. 推理能力、模型观念、运算能力
2.了解逆命题的概念,了解原命题为真命题,它的逆命题不一定为真命题. 推理能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是 . 1.下列各组数中,能构成直角三角形的是( ) A.1,2,3 B.5,7,10 C.,, D.5,12,14
2.勾股数: 能够成为直角三角形三边长的三个 . 2.下列四组数据中,是勾股数的是( ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.5,12,13 D.4,5,6
3.互逆命题与互逆定理: (1)两个命题的题设和结论正好相反,其中一个叫做原命题,另一个叫做它的逆命题. (2)如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理为互逆定理. 3.“同旁内角互补”的逆命题是 ,它是 命题(填“真”或“假”).
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 勾股数(运算能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P39T11拓展)(2024·沧州期中)清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理,提出推算勾股数的“罗士琳法则”,其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数,那么k,k的一半的平方减1,k的一半的平方加1是一组勾股数”.
(1)当k=14时,写出这一组勾股数 .
(2)证明“罗士琳法则”的正确性.
【举一反三】
观察以下几组勾股数,并寻找规律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…,请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 .
【技法点拨】
一组勾股数,都扩大相同倍数k(k为正整数),得到一组新数,这组新数同样是勾股数.
重点2 勾股定理以及逆定理的应用(运算能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P34T5拓展)
某校根据《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,注重“劳动+教育”深度融合,让学生在劳动教育中感受劳动之美,提升综合素养.如图是某班的劳动实践基地,经测量∠A=90°,AB=3 m,DA=4 m,BC=12 m,CD=13 m.
(1)求出空地ABCD的面积.
(2)若该班在此劳动实践基地上种植水稻,得到43.2 kg水稻,问:每平方米可以收割多少千克水稻
【举一反三】
某天,暴雨突然来袭,两艘搜救艇接到消息,在海面上有遇险船只从A,B两地发出求救信号.于是,第一艘搜救艇以40 km/h的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发,同时,第二艘搜救艇也从港口O出发,以30 km/h的速度向B地出发,2小时后,他们同时到达各自的目标位置.此时,他们相距100 km.
(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度 (求∠BOD的大小)
(2)由于B地需要被援救的人数较多,故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援,在从A地前往到B地的过程中,与港口O最近的距离是多少
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观)在△ABC中,点D在直线AB上,且AD2+CD2=AC2,则下列结论正确的是( )
A.∠ACB=90° B.∠BCD=90°
C.∠BDC=90° D.∠CAD=90°
2.(4分·运算能力)满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.三内角之比为1∶2∶3
B.三边长分别为5,12,14
C.三边长之比为3∶4∶5
D.三边长分别为1,,
3.(8分·应用意识)如图,在笔直的公路AB旁有一条河流,为方便运输货物,现要从公路AB上的D处建一座桥梁到达C处,已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为9 km,与公路上另一停靠站B的直线距离为12 km,公路AB的长度为15 km,且CD⊥AB.
(1)求证:AC⊥BC;
(2)求修建的桥梁CD的长.17.2 勾股定理的逆定理
课时学习目标 素养目标达成
1.理解勾股定理的逆定理,经历“实验测量-猜想-论证”的定理探究过程,体会“构造法”证明数学命题的基本思想;能够利用勾股定理的逆定理解决简单的问题. 推理能力、模型观念、运算能力
2.了解逆命题的概念,了解原命题为真命题,它的逆命题不一定为真命题. 推理能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2 ,那么这个三角形是 直角三角形 . 1.下列各组数中,能构成直角三角形的是(C) A.1,2,3 B.5,7,10 C.,, D.5,12,14
2.勾股数: 能够成为直角三角形三边长的三个 正整数 . 2.下列四组数据中,是勾股数的是(C) A.1,2,3 B.2,3,4 C.5,12,13 D.4,5,6
3.互逆命题与互逆定理: (1)两个命题的题设和结论正好相反,其中一个叫做原命题,另一个叫做它的逆命题. (2)如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理为互逆定理. 3.“同旁内角互补”的逆命题是 如果两个角互补,那么这两个角互为同旁内角 ,它是 假 命题(填“真”或“假”).
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 勾股数(运算能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P39T11拓展)(2024·沧州期中)清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理,提出推算勾股数的“罗士琳法则”,其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数,那么k,k的一半的平方减1,k的一半的平方加1是一组勾股数”.
(1)当k=14时,写出这一组勾股数 .
(2)证明“罗士琳法则”的正确性.
【自主解答】(1)当k=14时,
根据题意得-1=48,+1=50,
∴这一组勾股数为14,48,50;
答案:14,48,50
(2)∵k2+=k2+
=k2+k4+1-k2
=k4+k2+1.
==k4+k2+1,
∴当k大于2时,k2+
=,
∴如果k是大于2的偶数,那么k,k的一半的平方减1,k的一半的平方加1是一组勾股数.
【举一反三】
观察以下几组勾股数,并寻找规律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…,请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 13,84,85 .
【技法点拨】
一组勾股数,都扩大相同倍数k(k为正整数),得到一组新数,这组新数同样是勾股数.
重点2 勾股定理以及逆定理的应用(运算能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P34T5拓展)
某校根据《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,注重“劳动+教育”深度融合,让学生在劳动教育中感受劳动之美,提升综合素养.如图是某班的劳动实践基地,经测量∠A=90°,AB=3 m,DA=4 m,BC=12 m,CD=13 m.
(1)求出空地ABCD的面积.
(2)若该班在此劳动实践基地上种植水稻,得到43.2 kg水稻,问:每平方米可以收割多少千克水稻
【自主解答】(1)如图,连接BD,在Rt△ABD中,BD2=AD2+AB2=42+32=25,即BD=5,在△CBD中,CD2=132=169,BC2=122=144,
∵25+144=169,即CD2=BD2+BC2,
∴△BCD是直角三角形,且∠CBD=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·AD+BC·BD=36 m2.
(2)由题意可得,43.2÷36=1.2(kg),
答:每平方米可以收割1.2 kg水稻.
【举一反三】
某天,暴雨突然来袭,两艘搜救艇接到消息,在海面上有遇险船只从A,B两地发出求救信号.于是,第一艘搜救艇以40 km/h的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发,同时,第二艘搜救艇也从港口O出发,以30 km/h的速度向B地出发,2小时后,他们同时到达各自的目标位置.此时,他们相距100 km.
(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度 (求∠BOD的大小)
(2)由于B地需要被援救的人数较多,故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援,在从A地前往到B地的过程中,与港口O最近的距离是多少
【解析】(1)由题意得:OA=40×2=80(km);OB=30×2=60(km),
∵OB2+OA2=802+602=10 000,AB2=1002=10 000,
∴OB2+OA2=AB2,
∴△OAB为直角三角形,∴∠AOB=90°,
由题知∠AOD=40°,∴∠BOD=50°,
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50°.
(2)过点O作OE⊥AB,此时OE的长度即为最近距离,
由题意知OA=80 km,OB=60 km,AB=100 km,
在Rt△OAB中,S△OAB=OA·OB=AB·OE,即80×60=100×OE,
∴OE=48 km.
答:与港口O最近的距离是48 km.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观)在△ABC中,点D在直线AB上,且AD2+CD2=AC2,则下列结论正确的是(C)
A.∠ACB=90° B.∠BCD=90°
C.∠BDC=90° D.∠CAD=90°
2.(4分·运算能力)满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是(B)
A.三内角之比为1∶2∶3
B.三边长分别为5,12,14
C.三边长之比为3∶4∶5
D.三边长分别为1,,
3.(8分·应用意识)如图,在笔直的公路AB旁有一条河流,为方便运输货物,现要从公路AB上的D处建一座桥梁到达C处,已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为9 km,与公路上另一停靠站B的直线距离为12 km,公路AB的长度为15 km,且CD⊥AB.
(1)求证:AC⊥BC;
(2)求修建的桥梁CD的长.
【解析】(1)由题可知AC=9 km,BC=12 km,AB=15 km.
∵92+122=225=152,
即AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴AC⊥BC.
(2)∵S△ABC=AC·BC=AB·CD,
AC=9 km,BC=12 km,AB=15 km,
∴CD==(km).
答:修建的桥梁CD的长为 km.
