微专题2 题型应用 勾股定理在折叠中的应用
类型一 三角形中的折叠
1.如图所示,有一块直角三角形纸片,∠C=90°,BC=6 cm,AB=10 cm,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为AD,则CE的长为( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
2.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,将△ADE沿DE翻折,使点A与点B重合,则CE的长为( )
A. B.2 C. D.
3.如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点,沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕交BC于点F,已知EF=,则BC的长是( )
A. B.3 C.3 D.3
4.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=12,BC=16,将△ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为 .
已知OA=,OB=2,将△AOB沿着某直线CD折叠后如图所示,CD与x轴交于点C,与AB交于点D,则点C坐标是 .
6.在数学实验课上,李同学剪了两张直角三角形纸片,进行了如下的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠,使斜边两个端点A与B重合,折痕为DE.
(1)如果AC=5.5 cm,BC=6.5 cm,可得△ACD的周长为 ;
(2)如果∠CAD∶∠BAD=1∶2,可得∠B的度数为 ;
操作二:如图2,李同学拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线CD折叠,使点A与点E重合,若AB=10 cm,BC=8 cm,请求出BE的长度.
类型二 长方形中的折叠
7.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在CD上,把△ADE沿AE翻折,点D恰好落在BC边上的F处,则DE=( )
A.1 B. C. D.
8.如图,长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )
A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2
9.如图,在长方形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm.将长方形沿对角线AC折叠,点D落在D'位置,AD'与BC相交于点E.则BE=( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
10.如图,在长方形纸片ABCD中,AB=3,BC=4,点E在CD边上,将△ADE沿AE折叠,点D落在点G处,EG,AG分别交BC于点F,H,且FE=FH,则AH的长为( )
A. B. C. D.
11.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B'处,点A对应点为A',且B'C=3,则AM的长是( )
A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5
12.如图,四边形ABCD中,AB=AD,将△ABC沿着AC折叠,使点B恰好落在CD上的点B'处,若∠BAD=90°,B'D=6,AD=9,则CD=( )
A.6+3 B.6+3
C.5+4 D.5-4
13.如图,在长方形纸片ABCD中,AB=8,BC=10,E为CD边上一点.将长方形纸片ABCD沿AE折叠,BC的对应边B'C'恰好经过点D,则CE的长为 .
14.如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且BE=3.
(1)求CF的长;
(2)求AB的长.微专题2 题型应用 勾股定理在折叠中的应用
类型一 三角形中的折叠
1.如图所示,有一块直角三角形纸片,∠C=90°,BC=6 cm,AB=10 cm,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为AD,则CE的长为(A)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
2.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,将△ADE沿DE翻折,使点A与点B重合,则CE的长为(D)
A. B.2 C. D.
3.如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点,沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕交BC于点F,已知EF=,则BC的长是(B)
A. B.3 C.3 D.3
4.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=12,BC=16,将△ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为 6 .
5.已知OA=,OB=2,将△AOB沿着某直线CD折叠后如图所示,CD与x轴交于点C,与AB交于点D,则点C坐标是 (,0) .
6.在数学实验课上,李同学剪了两张直角三角形纸片,进行了如下的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠,使斜边两个端点A与B重合,折痕为DE.
(1)如果AC=5.5 cm,BC=6.5 cm,可得△ACD的周长为 ;
(2)如果∠CAD∶∠BAD=1∶2,可得∠B的度数为 ;
操作二:如图2,李同学拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线CD折叠,使点A与点E重合,若AB=10 cm,BC=8 cm,请求出BE的长度.
【解析】操作一:(1)由折叠的性质可得AD=BD,
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=12 cm;
答案:12 cm
(2)由折叠的性质可得AD=BD,
∴∠B=∠BAD,
∵∠B+∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD∶∠BAD=1∶2,
∴∠B=90°,
∴∠B=36°;
答案:36°
操作二:在Rt△ABC中,由勾股定理得
AC==6 cm,
由折叠的性质可得AD=DE,CD⊥AB,
∴S△ABC=AC·BC=AB·CD,
∴CD== cm,
∴AD== cm,
∴BE=AB-2AD= cm.
类型二 长方形中的折叠
7.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在CD上,把△ADE沿AE翻折,点D恰好落在BC边上的F处,则DE=(D)
A.1 B. C. D.
8.如图,长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为(C)
A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2
9.如图,在长方形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm.将长方形沿对角线AC折叠,点D落在D'位置,AD'与BC相交于点E.则BE=(A)
A. cm B. cm C. cm D. cm
10.如图,在长方形纸片ABCD中,AB=3,BC=4,点E在CD边上,将△ADE沿AE折叠,点D落在点G处,EG,AG分别交BC于点F,H,且FE=FH,则AH的长为(D)
A. B. C. D.
11.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B'处,点A对应点为A',且B'C=3,则AM的长是(B)
A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5
12.如图,四边形ABCD中,AB=AD,将△ABC沿着AC折叠,使点B恰好落在CD上的点B'处,若∠BAD=90°,B'D=6,AD=9,则CD=(B)
A.6+3 B.6+3
C.5+4 D.5-4
13.如图,在长方形纸片ABCD中,AB=8,BC=10,E为CD边上一点.将长方形纸片ABCD沿AE折叠,BC的对应边B'C'恰好经过点D,则CE的长为 3 .
14.如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且BE=3.
(1)求CF的长;
(2)求AB的长.
【解析】(1)∵长方形纸片ABCD中,AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,
∴BE=EF=3,∠AFE=∠B=90°,BC=AD=8,
∴∠EFC=90°,CE=BC-BE=5,
∴CF==4;
(2)由折叠的性质可得,AB=AF,
设AB=AF=x,则AC=AF+CF=x+4,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,
∴(x+4)2=x2+82,
解得x=6,∴AB=6.
