微专题3 模型构建 勾股定理在最短路径问题中的应用
类型一 平面中的最短路径问题
模型 图例 基本策略
模型 一 确定动点P所在的直线;利用对称性,将同侧的A,B两点转化为异侧A',B,则最短路径即为线段A'B; 构造直角三角形,利用勾股定理求解
模型 二 利用“垂线段最短”确定最短路径; 构造直角三角形,利用勾股定理求解
针对训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=6,点P是线段AC上的一动点,点M是线段AB上的一动点,则PB+PM的最小值为(A)
A.3 B.2
C.2+2 D.3+3
2.如图,A,B两个村子在笔直河岸的同侧,A,B两村到河岸的距离分别为AC=
2 km,BD=5 km,CD=6 km,现在要在河岸CD上建一水厂E向A,B两村输送自来水,要求水厂E到A,B两村的距离之和最短.
(1)在图中作出水厂E的位置(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)求水厂E到A,B两村的距离之和的最小值.
【解析】(1)如图所示,点E即为水厂的位置;
(2)如图,连接AE,作出以A'B为斜边的直角△A'BF,
由(1)可知:AE=A'E,
由题意可得:AC=2 km,BD=5 km,CD=6 km,
∴A'C=AC=2 km,BF=5+2=7(km),A'F=CD=6 km,
∴水厂E到A,B两村的距离之和的最小值为A'B==(km).
类型二 立体图形中的最短路径问题
几何体 模型 基本思路
圆 柱 化曲(折)为直:将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
棱 柱
阶 梯
针对训练
3.如图,圆柱高8 cm,底面半径为2 cm,一只壁虎从上底面的点A爬到下底面上与点A相对的点B处吃食,它爬行的最短路程(π取3)大约是(A)
A.10 cm B.14 cm
C.20 cm D.无法确定
4.如图,一只蚂蚁沿棱长为6的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为(A)
A.6 B.6(1+)
C.36 D.12
5.如图是楼梯的一部分,若AD=2,BE=1,AE=3,一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖,则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为(D)
A. B.3 C. D.2
6.如图,圆柱形玻璃杯,高为14 cm,底面周长为16 cm,在杯内离杯底3 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 17 cm.
7.问题情境:如图①,一只蚂蚁在一个长为100 cm,宽为50 cm的长方形地毯上爬行,地毯上堆放着一根正三棱柱木块,它的侧棱平行且等于宽AD,木块从正面看是一个边长为20 cm的等边三角形,求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程.
数学抽象:将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”,连接AC.
(1)线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程,依据是 ;
(2)问题解决:求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程.
【解析】(1)线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程,依据是两点之间线段最短;
答案:两点之间线段最短
(2)根据题意可得:展开图中的AB=100+20=120(cm),BC=50 cm.
在Rt△ABC中,由勾股定理可得:AC===130(cm),即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为130 cm.
8.【课本再现】
如图1,有一个圆柱,它的高为12 cm,底面圆的周长为18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物,蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
【方法探究】
(1)对于立体图形中求最短路程问题,应把立体图形展开成平面图形,再确定A,B两点的位置,依据“两点之间线段最短”,结合勾股定理,解决相应的问题.如图2,在圆柱的侧面展开图中,点A,B对应的位置如图所示,利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm.
【方法应用】
(2)如图3,直四棱柱的上下底面是正方形,底面边长为3 cm,高为10 cm.在其侧面从点A开始,绕侧面两周,嵌入装饰彩条至点B停止.求彩条的最短长度.
(3)如图4,圆柱形玻璃杯底面周长为30 cm,高为35 cm,杯底厚1 cm.在玻璃杯外壁距杯口2 cm的点A处有一只蚂蚁,蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜,蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜,求蚂蚁爬行的最短路径长.(玻璃杯的壁厚忽略不计)
【解析】(1)根据题意得出:蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长,由题意得:AC=9 cm,BC=12 cm.
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB===15(cm),所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.
答案:15
(2)如图所示,
∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,
∴展开后AC=3×8=24(cm),BC=10 cm,
由勾股定理得:AB===26(cm),
所以彩条的最短长度是26 cm.
(3)展开玻璃杯的侧面,如图,
作点A关于MN的对称点A',连接A'B,作BC⊥A'A于点C,
则BC=15 cm,A'M=AM=2 cm,CM=35-1=34(cm),CA'=CM+A'M=36 cm.
在Rt△A'BC中,A'B===39(cm),
所以蚂蚁爬行的最短路径长为39 cm.
综合与实践活动 知行合一 豁然贯通
勾股定理的证明及运用
【溯源寻踪】
教材P30【阅读与思考】“勾股定理的证明”
【描述定理】如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
【理论支撑】三角形面积公式、长方形面积公式、正方形面积公式,用不同的式子表示同一图形的面积.
【进程跟踪】勾股定理有多种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一,也是用代数方法解决几何问题的定理之一,我们在课本上学习的是利用赵爽的弦图进行证明.今天我们继续学习勾股定理的证明方法.
方法一:刘徽证明方法——青朱出入图
如图,
证法如下:c2+ab+ab=a2+b2+ab+ab.
化简得:a2+b2=c2.
可以看出刘徽用的方法是“等面积法”.
方法二:毕达哥拉斯证明方法
如图1,将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°,得到长方形A'BC'D'.
连接BD,BD',DD',其中:AB=a,AD=b,BD=c.
在△BAD和△BA'D'中,∵AB=A'B,∠A=∠BA'D'=90°, AD=A'D',
∴△ABD≌△A'BD' (SAS),
∴BD=BD' ,∠ADB=∠DBC=∠A'D'B,
∵∠A'BD'+∠A'D'B=90°,
∴∠DBD'=90°,
即△DBD'为等腰直角三角形.
S梯形DAC'D'=S△ABD+S△C'BD'+S△D'BD,
即×(a+b)2=ab+ab+c2,
化简得:a2+b2=c2.
毕达哥拉斯图形还有其他几种变形,如图2,图3所示.
请同学们利用图2自己证明勾股定理.
【解析】大正方形面积=四个直角三角形面积和+小正方形面积,
即(a+b)2=4×ab+c2,
化简得:a2+b2=c2.
方法三:美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的证明方法.
请同学们自己证明.
【解析】梯形的面积=(a+b)(a+b)=2×ab+c2,化简得a2+b2=c2,从而证明勾股定理.微专题3 模型构建 勾股定理在最短路径问题中的应用
类型一 平面中的最短路径问题
模型 图例 基本策略
模型 一 确定动点P所在的直线;利用对称性,将同侧的A,B两点转化为异侧A',B,则最短路径即为线段A'B; 构造直角三角形,利用勾股定理求解
模型 二 利用“垂线段最短”确定最短路径; 构造直角三角形,利用勾股定理求解
针对训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=6,点P是线段AC上的一动点,点M是线段AB上的一动点,则PB+PM的最小值为( )
A.3 B.2
C.2+2 D.3+3
2.如图,A,B两个村子在笔直河岸的同侧,A,B两村到河岸的距离分别为AC=
2 km,BD=5 km,CD=6 km,现在要在河岸CD上建一水厂E向A,B两村输送自来水,要求水厂E到A,B两村的距离之和最短.
(1)在图中作出水厂E的位置(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)求水厂E到A,B两村的距离之和的最小值.
类型二 立体图形中的最短路径问题
几何体 模型 基本思路
圆 柱 化曲(折)为直:将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
棱 柱
阶 梯
针对训练
3.如图,圆柱高8 cm,底面半径为2 cm,一只壁虎从上底面的点A爬到下底面上与点A相对的点B处吃食,它爬行的最短路程(π取3)大约是( )
A.10 cm B.14 cm
C.20 cm D.无法确定
4.如图,一只蚂蚁沿棱长为6的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为( )
A.6 B.6(1+)
C.36 D.12
5.如图是楼梯的一部分,若AD=2,BE=1,AE=3,一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖,则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为( )
A. B.3 C. D.2
6.如图,圆柱形玻璃杯,高为14 cm,底面周长为16 cm,在杯内离杯底3 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 cm.
7.问题情境:如图①,一只蚂蚁在一个长为100 cm,宽为50 cm的长方形地毯上爬行,地毯上堆放着一根正三棱柱木块,它的侧棱平行且等于宽AD,木块从正面看是一个边长为20 cm的等边三角形,求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程.
数学抽象:将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”,连接AC.
(1)线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程,依据是 ;
(2)问题解决:求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程.
8.【课本再现】
如图1,有一个圆柱,它的高为12 cm,底面圆的周长为18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物,蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
【方法探究】
(1)对于立体图形中求最短路程问题,应把立体图形展开成平面图形,再确定A,B两点的位置,依据“两点之间线段最短”,结合勾股定理,解决相应的问题.如图2,在圆柱的侧面展开图中,点A,B对应的位置如图所示,利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm.
【方法应用】
(2)如图3,直四棱柱的上下底面是正方形,底面边长为3 cm,高为10 cm.在其侧面从点A开始,绕侧面两周,嵌入装饰彩条至点B停止.求彩条的最短长度.
(3)如图4,圆柱形玻璃杯底面周长为30 cm,高为35 cm,杯底厚1 cm.在玻璃杯外壁距杯口2 cm的点A处有一只蚂蚁,蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜,蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜,求蚂蚁爬行的最短路径长.(玻璃杯的壁厚忽略不计)
综合与实践活动 知行合一 豁然贯通
勾股定理的证明及运用
【溯源寻踪】
教材P30【阅读与思考】“勾股定理的证明”
【描述定理】如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
【理论支撑】三角形面积公式、长方形面积公式、正方形面积公式,用不同的式子表示同一图形的面积.
【进程跟踪】勾股定理有多种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一,也是用代数方法解决几何问题的定理之一,我们在课本上学习的是利用赵爽的弦图进行证明.今天我们继续学习勾股定理的证明方法.
方法一:刘徽证明方法——青朱出入图
如图,
证法如下:c2+ab+ab=a2+b2+ab+ab.
化简得:a2+b2=c2.
可以看出刘徽用的方法是“等面积法”.
方法二:毕达哥拉斯证明方法
如图1,将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°,得到长方形A'BC'D'.
连接BD,BD',DD',其中:AB=a,AD=b,BD=c.
在△BAD和△BA'D'中,∵AB=A'B,∠A=∠BA'D'=90°, AD=A'D',
∴△ABD≌△A'BD' (SAS),
∴BD=BD' ,∠ADB=∠DBC=∠A'D'B,
∵∠A'BD'+∠A'D'B=90°,
∴∠DBD'=90°,
即△DBD'为等腰直角三角形.
S梯形DAC'D'=S△ABD+S△C'BD'+S△D'BD,
即×(a+b)2=ab+ab+c2,
化简得:a2+b2=c2.
毕达哥拉斯图形还有其他几种变形,如图2,图3所示.
请同学们利用图2自己证明勾股定理.
方法三:美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的证明方法.
请同学们自己证明.
