微专题6 模型构建 菱形和筝形的面积计算
图形 一般四边形 筝形 菱形
模型
基本 思路 ①化整为零:将四边形ABCD以对角线AC为界分成左右部分→S△ABC=AC·BO(左边),S△ACD=AC·DO(右边); ②化零为整:S△ABC+S△ACD=S四边形ABCD→AC·BO +AC·DO =AC·BD
结论 对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线乘积的一半
针对训练
类型一 菱形的面积计算
1.如图,菱形ABCD的边长为5 cm,∠DAB=60°,则此菱形ABCD的面积是( )
A.cm2 B.25cm2 C.25 cm2 D.20 cm2
2.(2024·十堰期中)如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于O,且AC∶BD=1∶,若AB=2.则菱形ABCD的面积是( )
A.2 B. C. D.
3.如图,在菱形ABCD中,若AB=5,BD=6,则菱形ABCD的面积是 .
4.如图,在菱形ABCD中,过点C分别作边AB,AD上的高CE,CF.若AF=2,CD=10,菱形ABCD的面积为 .
5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点G是AB的中点,若OG=2.5,BD=8,则菱形ABCD的面积是 .
6.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若OE=,BD=3,求菱形ABCD的面积.
类型二 筝形的面积计算
7.阅读下列材料:如图1,在四边形ABCD中,若AB=AD,BC=CD,则把这样的四边形称为筝形.
(1)如图2,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且AE=AF,∠AEC=∠AFC.求证:四边形AECF是筝形.
(2)如图3,在筝形ABCD中,AB=AD=15,BC=DC=13,AC=14.求筝形ABCD的面积.
8.问题提出:
我们知道菱形的面积不仅可以用底乘高来求,而且知道菱形的面积等于对角线乘积的一半.那么我们日常生活中常见的风筝的形状即“筝形”是不是也可以用这种方法求面积呢
如图1,四边形ABCD是我们常见的风筝的图案,其中对角线BD长为20 cm,AC长为40 cm,AC垂直平分BD,垂足为E,求:筝形ABCD的面积.
解:由已知:S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=×BD×AE+×BD×CE=×BD×(AE+CE)
=×BD×AC.
我们发现这个结论对于筝形依然成立.
类比探究:
满足什么条件的图形可以通过这种方法求面积呢 让我们先研究下面图形的面积:
如图2,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,其中对角线BD长为40 cm,AC长为30 cm,垂足为E,求四边形ABCD的面积.(请写出求解过程)
由此,我们可以得出一个结论:
结论1:对角线互相垂直的四边形的面积等于 .
拓展提高:
由上述的结论1给我们的启示:对于两条对角线不垂直的四边形的面积如何求解呢 下面让我们一起来研究.
如图3所示四边形ABCD的对角线BD长为40 cm,点A到BD的距离与点C到BD的距离之和为30 cm,求四边形ABCD的面积.(请写出求解过程)
结论2:任意四边形的面积等于 .
问题解决:
(1)如图4,在矩形ABCD中,AD=6 cm,AB=4 cm,EF∥AD,点G,H分别是BC,AD上任一点,则四边形EGFH的面积等于 cm2.
(2)如图5,四边形ABCD放在了一组平行线中,已知BD=6 cm,四边形ABCD的面积为24 cm2,则两条平行线间的距离为 cm. 微专题6 模型构建 菱形和筝形的面积计算
图形 一般四边形 筝形 菱形
模型
基本 思路 ①化整为零:将四边形ABCD以对角线AC为界分成左右部分→S△ABC=AC·BO(左边),S△ACD=AC·DO(右边); ②化零为整:S△ABC+S△ACD=S四边形ABCD→AC·BO +AC·DO =AC·BD
结论 对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线乘积的一半
针对训练
类型一 菱形的面积计算
1.如图,菱形ABCD的边长为5 cm,∠DAB=60°,则此菱形ABCD的面积是(A)
A.cm2 B.25cm2 C.25 cm2 D.20 cm2
2.(2024·十堰期中)如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于O,且AC∶BD=1∶,若AB=2.则菱形ABCD的面积是(A)
A.2 B. C. D.
3.如图,在菱形ABCD中,若AB=5,BD=6,则菱形ABCD的面积是 6 .
4.如图,在菱形ABCD中,过点C分别作边AB,AD上的高CE,CF.若AF=2,CD=10,菱形ABCD的面积为 60 .
5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点G是AB的中点,若OG=2.5,BD=8,则菱形ABCD的面积是 24 .
6.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若OE=,BD=3,求菱形ABCD的面积.
【解析】(1)∵AB∥DC,
∴∠OAB=∠DCA,
∵AC为∠DAB的平分线,
∴∠OAB=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴CD=AD,
又∵AD=AB,
∴CD=AB,
又∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵AD=AB,
∴ ABCD是菱形;
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,BD⊥AC,
∵CE⊥AB,
∴AC=2OE=2,
∵BD=3,
∴S菱形ABCD===3.
类型二 筝形的面积计算
7.阅读下列材料:如图1,在四边形ABCD中,若AB=AD,BC=CD,则把这样的四边形称为筝形.
(1)如图2,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且AE=AF,∠AEC=∠AFC.求证:四边形AECF是筝形.
(2)如图3,在筝形ABCD中,AB=AD=15,BC=DC=13,AC=14.求筝形ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,
∵∠AEC=∠AFC,∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°,
∴∠AEB=∠AFD,
∵AE=AF,
∴△AEB ≌△AFD(AAS),
∴AB=AD,BE=DF,
∴平行四边形ABCD是菱形,
∴BC=DC,
∴EC=FC,
∴四边形AECF是筝形.
(2)如图:
∵AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC ≌△ADC(SSS),
∴S△ABC=S△ADC,
过点B作BH⊥AC,垂足为H,
在Rt△ABH中,
BH2=AB2-AH2=152-AH2,
在Rt△CBH中,
BH2=CB2-CH2=132-(14-AH)2,
∴152-AH2=132-(14-AH)2,
∴AH=9,
∴BH==12,
∴S△ABC=×14×12=84.
∴筝形ABCD的面积=2S△ABC=168.
8.问题提出:
我们知道菱形的面积不仅可以用底乘高来求,而且知道菱形的面积等于对角线乘积的一半.那么我们日常生活中常见的风筝的形状即“筝形”是不是也可以用这种方法求面积呢
如图1,四边形ABCD是我们常见的风筝的图案,其中对角线BD长为20 cm,AC长为40 cm,AC垂直平分BD,垂足为E,求:筝形ABCD的面积.
解:由已知:S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=×BD×AE+×BD×CE=×BD×(AE+CE)
=×BD×AC.
我们发现这个结论对于筝形依然成立.
类比探究:
满足什么条件的图形可以通过这种方法求面积呢 让我们先研究下面图形的面积:
如图2,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,其中对角线BD长为40 cm,AC长为30 cm,垂足为E,求四边形ABCD的面积.(请写出求解过程)
由此,我们可以得出一个结论:
结论1:对角线互相垂直的四边形的面积等于 .
拓展提高:
由上述的结论1给我们的启示:对于两条对角线不垂直的四边形的面积如何求解呢 下面让我们一起来研究.
如图3所示四边形ABCD的对角线BD长为40 cm,点A到BD的距离与点C到BD的距离之和为30 cm,求四边形ABCD的面积.(请写出求解过程)
结论2:任意四边形的面积等于 .
问题解决:
(1)如图4,在矩形ABCD中,AD=6 cm,AB=4 cm,EF∥AD,点G,H分别是BC,AD上任一点,则四边形EGFH的面积等于 cm2.
(2)如图5,四边形ABCD放在了一组平行线中,已知BD=6 cm,四边形ABCD的面积为24 cm2,则两条平行线间的距离为 cm.
【解析】类比探究:如题图2,S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD
=×BD×AE+×BD×CE
=×BD×(AE+CE)
=×BD×AC
=×40×30
=600(cm2),
结论1:对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半.
答案:两对角线积的一半
拓展提高:如图,连接BD,过A作AN⊥BD于N,过C作CM⊥BD于M,
S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD
=BD×AN+BD×CM
=BD×(AN+CM)
=×40×30
=600(cm2),
结论2:任意四边形的面积等于一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的距离之和的积的一半.
答案:一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的距离之和的积的一半
问题解决:(1)如图,过H作HM⊥EF于M,过G作GN⊥EF于N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,AB=DC,∠A=∠B=90°,
∵EF∥AD,
∴四边形AEFD是平行四边形,EF∥BC,
∴EF=AD=6 cm,
∵HM⊥EF,
∴∠AEF=∠HMF=90°,
∴AE∥HM,
∵AH∥EM,∠A=90°,
∴四边形AEMH是矩形,
∴AE=HM,
同理BE=GN,
∴HM+GN=AB=4 cm,
∴S四边形EGFH=S△HEF+S△GEF
=EF×HM+EF×GN
=EF×(HM+GN)
=EF×AB
=×6×4
=12(cm2);
(2)如图,过A作AM⊥BD于M,过C作CN⊥BD于N,
S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD
=BD×AM+BD×CN
=BD×(AM+CN),
即×6×(AM+CN)=24(cm2),
解得:AM+CN=8(cm),8÷4=2(cm),
即两条平行线间的距离为2 cm.
答案:(1)12 (2)2
