微专题7 模型构建 正方形重点模型解读
类型一 半角模型
利用旋转构造三角形全等,把线段进行转化,得出线段之间的关系,进行有关的计算和证明.
针对训练
1.如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.
(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
①求证:△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的长.
(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么数量关系 并说明理由.
类型二 一线三垂直模型
先由正方形的性质得出边角相等,结合给出的条件得出三角形全等,把线段进行转化,得出线段之间的关系为“长=短+短”.
针对训练
2.【方法回顾】
如图1,过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P,BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F,猜想BE,DF,EF三条线段的数量关系: ,并证明你的猜想.
【问题解决】
如图2,菱形ABCD的边长为,过点A作一条直线l交边BC于点P,且∠DAP=90°,点F是AP上一点,且∠BAD+∠AFD=180°,过点B作BE⊥AB,与直线l交于点E,若EF=1,求BE的长.
类型三 手拉手模型
利用正方形的性质得出边和角相等,利用“SAS”证得三角形全等,再进行有关的计算和证明.
针对训练
3.如图,四边形ABCD是正方形,点E是平面内异于点A的任意一点,以线段AE为边作正方形AEFG,连接EB,GD.
(1)如图1,判断EB与GD的位置关系,并证明你的结论;
(2)如图2,若点E在线段DG上,∠DAE=15°,AG=4,求BE的长.
类型四 截长补短模型
利用截取相等的线段结合正方形的性质得出边和角相等,证得三角形全等,再进行有关的计算和证明.
针对训练
4.如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.
(1)求证:AE=EF;
(2)当点E是线段BC上(B,C除外)任意一点时(其他条件不变),结论AE=EF是否成立 微专题7 模型构建 正方形重点模型解读
类型一 半角模型
利用旋转构造三角形全等,把线段进行转化,得出线段之间的关系,进行有关的计算和证明.
针对训练
1.如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.
(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
①求证:△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的长.
(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么数量关系 并说明理由.
【解析】(1)①由旋转的性质可知,AF=AG,∠DAF=∠BAG.
∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°.
又∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°.
∴∠BAG+∠BAE=45°.∴∠GAE=∠FAE.
在△GAE和△FAE中,,
∴△GAE≌△FAE(SAS).
②∵△GAE≌△FAE,AB⊥GE,AH⊥EF,
∴AB=AH,GE=EF=5.
设正方形的边长为x,则EC=x-2,FC=x-3.在Rt△EFC中,由勾股定理得EF2=FC2+EC2,即(x-2)2+(x-3)2=25.
解得x=6.∴AB=6.∴AH=6.
(2)如图所示,将△ABM逆时针旋转90°得△ADM'.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABD=∠ADB=45°.
由旋转的性质可知,∠ABM=∠ADM'=45°,BM=DM'.
∴∠NDM'=90°.
∴在Rt△NM'D中根据勾股定理得NM'2=ND2+DM'2.
∵∠EAM'=90°,∠EAF=45°,
∴∠EAF=∠FAM'=45°.
在△AMN和△AM'N中,
,
∴△AMN≌△AM'N(SAS).
∴MN=M'N.
又∵BM=DM',
∴MN2=ND2+BM2.
类型二 一线三垂直模型
先由正方形的性质得出边角相等,结合给出的条件得出三角形全等,把线段进行转化,得出线段之间的关系为“长=短+短”.
针对训练
2.【方法回顾】
如图1,过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P,BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F,猜想BE,DF,EF三条线段的数量关系: ,并证明你的猜想.
【问题解决】
如图2,菱形ABCD的边长为,过点A作一条直线l交边BC于点P,且∠DAP=90°,点F是AP上一点,且∠BAD+∠AFD=180°,过点B作BE⊥AB,与直线l交于点E,若EF=1,求BE的长.
【解析】【方法回顾】DF-BE=EF.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵∠BAE+∠DAF=90°,∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠DAF,
又∵∠AFD=∠BEA=90°,
∴△ABE≌△DAF(AAS),
∴BE=AF,AE=DF,
∵EF=AE-AF,
∴DF-BE=EF.
【问题解决】
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD,
∵BE⊥AB,
∴∠ABE=∠DAF=90°,
∵∠BAD+∠AFD=180°,
∴∠BAP+∠FAD+∠AFD=180°,
∵∠ADF+∠FAD+∠AFD=180°,
∴∠BAP=∠ADF,
∴△ABE≌△DAF(ASA),
∴DF=AE=AF+EF=AF+1,AF=BE,
∵∠DAF=90°,
∴AF2+AD2=DF2,
∴AF2+()2=(AF+1)2,∴AF=,
∴BE=AF=.
类型三 手拉手模型
利用正方形的性质得出边和角相等,利用“SAS”证得三角形全等,再进行有关的计算和证明.
针对训练
3.如图,四边形ABCD是正方形,点E是平面内异于点A的任意一点,以线段AE为边作正方形AEFG,连接EB,GD.
(1)如图1,判断EB与GD的位置关系,并证明你的结论;
(2)如图2,若点E在线段DG上,∠DAE=15°,AG=4,求BE的长.
【解析】(1)BE⊥DG.
延长BE交DG于H,
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,∴AE=AG,AB=AD,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE=∠DAG,
∴△BAE≌△DAG(SAS),
∴BE=DG,∠ABE=∠ADG,
又∵∠ABE+∠BEA=90°,∠AEB=∠DEH,∴∠DEH+∠ADG=90°,
∴∠GHB=90°,
∴BE⊥DG;
(2)作AH⊥DG于H,
∵四边形AEFG是正方形,
∴∠GAE=90°,AG=AE,
∴∠AGE=∠AEG=45°,
∵AH⊥DG,
∴GH=HA=2,
∵∠DAE=15°,
∴∠HDA=∠HEA-∠DAE=30°,
∴DA=2HA=4,
∴HD==2,
由(1)易证BE=DG,
∴BE=DG=DH+GH=2+2.
类型四 截长补短模型
利用截取相等的线段结合正方形的性质得出边和角相等,证得三角形全等,再进行有关的计算和证明.
针对训练
4.如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.
(1)求证:AE=EF;
(2)当点E是线段BC上(B,C除外)任意一点时(其他条件不变),结论AE=EF是否成立
【解析】(1)取AB的中点H,连接EH,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABE=90°,AB=BC,∴∠1+∠AEB=90°,∵点E是BC的中点,∴AH=HB=BE=EC,
∴∠BHE=∠BEH==45°,
∴∠AHE=180°-∠BHE=135°,∵∠AEF=90°,
∴∠2+∠AEB=90°,∴∠1=∠2,
∵CF平分∠DCG,∴∠FCG=45°,
∴∠AHE=∠ECF=135°,又∵AH=CE,
∴△AHE≌△ECF(ASA),∴AE=EF;
(2)成立,
理由:在AB上取BH=BE,连接EH,
∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC,
∵BE=BH,∴AH=EC,
∵∠HAE=∠CEF,∠AHE=∠ECF=135°,
∴△AHE≌△ECF(ASA),∴AE=EF.
