微专题8 题型应用 平行四边形动点问题攻略
【典例】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24 cm,AB=8 cm,BC=
32 cm,动点P从A开始沿AD边向D以1 cm/s的速度运动;Q从点C开始沿CB边向B以3 cm/s的速度运动,P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)当运动时间为t s时,用含t的代数式表示以下线段的长:AP= cm,BQ= cm;
(2)当运动时间为多少秒时,四边形PQCD为平行四边形
(3)四边形ABQP有可能是正方形吗 若可能,求出此时点P的运动时长;若不可能,请说明理由.
【自主解答】(1)∵动点P从A开始沿AD边向D以1 cm/s的速度运动,∴AP=t×1=t,∵Q从点C开始沿CB边向B以3 cm/s的速度运动,BC=32 cm,
∴BQ=BC-CQ=32-3t.
答案:t (32-3t)
(2)由题意可得PD=AD-AP=24-t,QC=3t,
∵AD∥BC,
∴PD∥QC,
设当运动时间为t秒时,PD=QC,此时四边形PQCD为平行四边形.
由PD=QC得,24-t=3t,
解得t=6,
∴当运动时间为6 s时,四边形PQCD为平行四边形.
(3)四边形ABQP有可能是正方形,
∵AD∥BC,
∴AP∥BQ,
设当运动时间t s时,AP=BQ,
四边形ABQP为平行四边形.
由AP=BQ得t=32-3t,
解得t=8,即AP=8,
∴AB=AP,
∴平行四边形ABQP为菱形,
∵∠B=90°,
∴平行四边形ABQP为正方形,
∴当运动时间为8 s时,四边形ABQP为正方形.
【方法指导】解决平行四边形动点问题的步骤
1.审题:分清哪些量是变化的,哪些量是不变的;根据题目中设出的字母,用含此字母的式子表示出相关的量.
2.建模:将变化的量变为定量,转化成方程的问题.
3.结论:解出方程之后回到动点问题上,从而写出最终结论.
针对训练
1.(2024·济宁期末)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6 cm,AD=10 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动,同时点Q也停止运动.设运动时间为t s,开始运动以后,当t为何值时,以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形 (B)
A. B. C.或 D.或
2.如图,在菱形ABCD中,AB=5 cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1 cm/s,点F的速度为2 cm/s,经过t s△DEF为等边三角形,则t的值为 .
3.(2024·福州期中)如图,正方形ABCD的边长为4,点F从点B出发,沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度移动,点E从点D出发,向点A以每秒个单位长度的速度沿线段DA移动(不与点A重合),设点E,F同时出发移动t秒.
(1)当t=1时,求EF的长;
(2)在点E,F移动过程中,连接CE,CF,EF,请判断△CEF的形状并说明理由.
【解析】(1)根据题意当t=1时,DE=,BF=,∵正方形ABCD的边长为4,
∴AF=AB+BF=5,AE=AD-DE=3,在Rt△AFE中,∴EF==2;
(2)△CEF为等腰直角三角形.理由如下:
在正方形ABCD中,DC=BC,∠D=∠ABC=∠CBF=90°.
依题意得DE=BF=t.
在△CDE与△CBF中,,
∴△CDE≌△CBF(SAS),
∴CF=CE,∠DCE=∠BCF,
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°,∴△CEF是等腰直角三角形.
4.如图所示,A,B,C,D是矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=6 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动.
(1)P,Q两点从出发开始到几秒时,四边形PBCQ的面积为33 cm2
(2)P,Q两点从出发开始到几秒时,点P和点Q的距离第一次是10 cm
【解析】(1)当运动时间为t s时,PB=(16-3t)cm,CQ=2t cm,
依题意,得(16-3t+2t)×6=33,
解得t=5.
答:P,Q两点从出发开始到5 s时,四边形PBCQ的面积为33 cm2.
(2)过点Q作QM⊥AB于点M,如图所示.
∵PM=PB-CQ=|16-5t|cm,QM=6 cm,
∴PQ2=PM2+QM2,
即102=(16-5t)2+62,
解得t1=,t2=(不合题意,舍去).
答:P,Q两点从出发开始到 s时,点P和点Q的距离第一次是10 cm.
5.如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,点B的坐标为(11,4),点D的坐标为(5,0),动点P在线段CB上以每秒1个单位长度的速度由点C向B运动.设动点P的运动时间为t s.
(1)当t= s时,四边形PODB是平行四边形;
(2)在直线CB上是否存在一点Q,使得四边形ODPQ是菱形 若存在,求t的值,并求出Q点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在点P运动的过程中,线段PB上有一点M,且PM=5,求四边形OAMP的周长最小值.
【解析】(1)由题意得CP=t,则BP=BC-CP=11-t,
∵四边形PODB是平行四边形,
∴DO=PB,即5=11-t,解得t=6.
答案:6
(2)如图,连接PD,过点P作PH⊥AO于点H,
则PH=4,HD=|OD-OH|=|OD-CP|=|5-t|,PD==,
∵四边形ODPQ是菱形,∴PD=DO=PQ,
即=5,解得t=8或2,
故点P的坐标为(8,4)或(2,4),
当点P的坐标为(2,4)时,点Q在点P的左侧5个单位的位置,即点Q(-3,4);
当点P的坐标为(8,4)时,点Q在点P的左侧5个单位的位置,即点Q(3,4),故点Q的坐标为(-3,4)或(3,4).
(3)作点A关于直线BC的对称点A'(11,8),将点A'向左平移5个单位得到点A″(6,8),
连接A″O,交CB于点P,点P向右5个单位得到点M,此时,四边形OAMP的周长最小,
理由:四边形OAMP的周长=AM+PM+OP+OA=A'M+PM+OP+OA
=A″P+PM+OP+OA=A″O+5+11=A″O+16为最小,由点A″的坐标得,
OA″==10,
则四边形OAMP的周长最小为10+16=26.
综合与实践活动 静水流深 和光同尘
黄金矩形之美
【溯源寻踪】
教材P64【数学活动】活动2黄金矩形
【描述定义】宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.
【理论支撑】矩形的判定和性质,二次根式的有关计算
【进程跟踪】
一、观察现象,提出问题——发现美
观察上面的两张图片,哪张更美 (图①)
为什么图①更美 (比例更协调)
二、动手实践,折纸试验——实践美
1.拿出准备好的长方形纸片.
2.折叠纸片:
第一步,在矩形纸片的一端,利用图1折叠的方法折出一个正方形.
第二步,如图2,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图3中所示的AD处.
第四步,展平纸片(如图4),按照所得的点D折出DE,矩形BCDE就是黄金矩形.
你能说明为什么吗 (提示:设MN的长为2)
【解析】由题设知MN的长为2,
则BC=2,AC=NC=1,
在Rt△ABC中,AB==,
由折叠可知,AD=AB=,
∴CD=AD-AC=-1,在矩形BCDE中,宽与长的比为CD∶BC=(-1)∶2,
∴矩形BCDE是黄金矩形.
三、学以致用,解决问题——“欣赏美”
1.黄金螺旋线
2.美术专家认为,如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数(≈0.618),那么就非常美丽.已知一个女孩身高为155 cm,下半身为94 cm,请替她选一个高度最理想的高跟鞋,则高度应为(C)
A.2~3 cm B.3~4 cm
C.4~5 cm D.5~6 cm微专题8 题型应用 平行四边形动点问题攻略
【典例】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24 cm,AB=8 cm,BC=
32 cm,动点P从A开始沿AD边向D以1 cm/s的速度运动;Q从点C开始沿CB边向B以3 cm/s的速度运动,P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)当运动时间为t s时,用含t的代数式表示以下线段的长:AP= cm,BQ= cm;
(2)当运动时间为多少秒时,四边形PQCD为平行四边形
(3)四边形ABQP有可能是正方形吗 若可能,求出此时点P的运动时长;若不可能,请说明理由.
【方法指导】解决平行四边形动点问题的步骤
1.审题:分清哪些量是变化的,哪些量是不变的;根据题目中设出的字母,用含此字母的式子表示出相关的量.
2.建模:将变化的量变为定量,转化成方程的问题.
3.结论:解出方程之后回到动点问题上,从而写出最终结论.
针对训练
1.(2024·济宁期末)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6 cm,AD=10 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动,同时点Q也停止运动.设运动时间为t s,开始运动以后,当t为何值时,以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形 ( )
A. B. C.或 D.或
2.如图,在菱形ABCD中,AB=5 cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1 cm/s,点F的速度为2 cm/s,经过t s△DEF为等边三角形,则t的值为 .
3.(2024·福州期中)如图,正方形ABCD的边长为4,点F从点B出发,沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度移动,点E从点D出发,向点A以每秒个单位长度的速度沿线段DA移动(不与点A重合),设点E,F同时出发移动t秒.
(1)当t=1时,求EF的长;
(2)在点E,F移动过程中,连接CE,CF,EF,请判断△CEF的形状并说明理由.
4.如图所示,A,B,C,D是矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=6 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动.
(1)P,Q两点从出发开始到几秒时,四边形PBCQ的面积为33 cm2
(2)P,Q两点从出发开始到几秒时,点P和点Q的距离第一次是10 cm
5.如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,点B的坐标为(11,4),点D的坐标为(5,0),动点P在线段CB上以每秒1个单位长度的速度由点C向B运动.设动点P的运动时间为t s.
(1)当t= s时,四边形PODB是平行四边形;
(2)在直线CB上是否存在一点Q,使得四边形ODPQ是菱形 若存在,求t的值,并求出Q点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在点P运动的过程中,线段PB上有一点M,且PM=5,求四边形OAMP的周长最小值.
综合与实践活动 静水流深 和光同尘
黄金矩形之美
【溯源寻踪】
教材P64【数学活动】活动2黄金矩形
【描述定义】宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.
【理论支撑】矩形的判定和性质,二次根式的有关计算
【进程跟踪】
一、观察现象,提出问题——发现美
观察上面的两张图片,哪张更美 (图①)
为什么图①更美 (比例更协调)
二、动手实践,折纸试验——实践美
1.拿出准备好的长方形纸片.
2.折叠纸片:
第一步,在矩形纸片的一端,利用图1折叠的方法折出一个正方形.
第二步,如图2,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图3中所示的AD处.
第四步,展平纸片(如图4),按照所得的点D折出DE,矩形BCDE就是黄金矩形.
你能说明为什么吗 (提示:设MN的长为2)
三、学以致用,解决问题——“欣赏美”
1.黄金螺旋线
2.美术专家认为,如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数(≈0.618),那么就非常美丽.已知一个女孩身高为155 cm,下半身为94 cm,请替她选一个高度最理想的高跟鞋,则高度应为( )
A.2~3 cm B.3~4 cm
C.4~5 cm D.5~6 cm
