第21讲 直角三角形
A层·基础过关
1.下列命题正确的是(A)
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
2.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则下列结论不一定成立的是(B)
A.∠1+∠2=90° B.∠1=30°
C.∠1=∠4 D.∠2=∠3
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为(B)
A.2a B.2a C.3a D.a
4.在下列条件中:①∠A+∠B=∠C,②∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,③∠A=90°-∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图,△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线.则CD= 6.5 .
6.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.若AC⊥BD,AB=4,CD=,则BC2+AD2= 21 .
7.如图,已知锐角三角形ABC,用尺规作图法在BC上作一点P,使得∠B+∠PAB=90°.(保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图,点P即为所求.
理由:∵AP⊥BC,∴∠APB=90°,∴∠B+∠PAB=90°.
8.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A,B均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作△ABC,点C在格点上.
(1)在图①中,△ABC的面积为;
(2)在图②中,△ABC的面积为5;
(3)在图③中,△ABC是面积为的钝角三角形.
【解析】(1)如图所示,
以AB=3为底,设AB边上的高为h,
依题意得:S△ABC=AB·h=,解得h=3,
即点C在AB上方且到AB距离为3个单位长度的线段上的格点即可,答案不唯一;
(2)由图可知,AB==
以AB=为底,设AB边上的高为h,
依题意得:S△ABC=AB·h=5,
解得h=,
将AB绕A或B旋转90°,过线段的另一个端点作AB的平行线,与网格格点的交点即为点C,答案不唯一;
(3)如图所示,作BD=AB=,过点D作CD∥AB,交于格点C,
由网格可知,BD=AB==,AD=,
∴△ABD是直角三角形,且AB⊥BD
∵CD∥AB,∴S△ABC=AB·BD=.
B层·能力提升
9.数形结合是解决代数类问题的重要思想,在比较+1与的大小时,可以通过如图所示几何图形解决问题:若要比较+3与的大小,以下数形结合正确的是(D)
10.如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若AE=4,BE=3,则DE=(C)
A.5 B.2 C. D.4
11.如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF的长为(B)
A. cm B. cm C. cm D.8 cm
12.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD13.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(6,0),点B坐标为(2,-2),直线AB与y轴交于点C.
(1)求直线AB的函数解析式及线段AC的长;
(2)点B关于y轴的对称点为点D.
①点D的坐标为(2,-2);
②在直线BD上找点E,使△ACE是直角三角形,则点E的横坐标为3-或-或7或3+.
【解析】(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b,
∵点A坐标为(6,0),点B坐标为(2,-2),
∴,解得,即直线AB的函数解析式为y=x-3,
∴直线AB与y轴交于点C(0,-3),
∴AC==3;
(2)①点B(2,-2)关于y轴的对称点为点D(-2,-2);
②如图所示,分三种情况,利用勾股定理讨论:
(i)过C作AC的垂线,交BD于E,
∵直线BD的解析式为y=-2,可设E(m,-2),
∵A(6,0),C(0,-3),
在Rt△ACE中,∠ACE=90°,则AE2=CE2+AC2,即(m-6)2+(-2-0)2=m2+[-2-(-3)]2+(0-6)2+(-3-0)2,
整理得12m=-6,解得m=-,
即E(-,-2);
(ii)过A作AC的垂线,交BD于E,
∵直线BD的解析式为y=-2,
可设E(n,-2),
∵A(6,0),C(0,-3),
在Rt△ACE中,∠CAE=90°,则CE2=AE2+AC2,即n2+[-2-(-3)]2=(n-6)2+(-2-0)2+(0-6)2+(-3-0)2,
整理得12n=84,解得n=7,即E(7,-2);
(iii)以AC为直径作圆,交直线BD于点E,则AE⊥CE,
∵直线BD的解析式为y=-2,
设E(p,-2),
∵A(6,0),C(0,-3),
在Rt△ACE中,∠CEA=90°,则AC2=CE2+AE2,即(0-6)2+(-3-0)2=p2+[-2-(-3)]2+(p-6)2+(-2-0)2,
整理得p2-6p-2=0,解得p=3-或p=3+,即E(3-,-2)或(3+,-2),
综上所述,E的横坐标为3-或-或7或3+.
C层·素养挑战
14.如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程:如图①,一个边长为a的正方形,经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形,且三个正方形所围成的三角形是直角三角形;再经过一次“生长”后变成了图②;如此继续“生长”下去,则第2 025次“生长”后,这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为 2 026a2 . 第21讲 直角三角形
A层·基础过关
1.下列命题正确的是( )
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
2.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则下列结论不一定成立的是( )
A.∠1+∠2=90° B.∠1=30°
C.∠1=∠4 D.∠2=∠3
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为( )
A.2a B.2a C.3a D.a
4.在下列条件中:①∠A+∠B=∠C,②∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,③∠A=90°-∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图,△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线.则CD= .
6.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.若AC⊥BD,AB=4,CD=,则BC2+AD2= .
7.如图,已知锐角三角形ABC,用尺规作图法在BC上作一点P,使得∠B+∠PAB=90°.(保留作图痕迹,不写作法)
8.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A,B均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作△ABC,点C在格点上.
(1)在图①中,△ABC的面积为;
(2)在图②中,△ABC的面积为5;
(3)在图③中,△ABC是面积为的钝角三角形.
B层·能力提升
9.数形结合是解决代数类问题的重要思想,在比较+1与的大小时,可以通过如图所示几何图形解决问题:若要比较+3与的大小,以下数形结合正确的是( )
10.如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若AE=4,BE=3,则DE=( )
A.5 B.2 C. D.4
11.如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF的长为( )
A. cm B. cm C. cm D.8 cm
12.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD13.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(6,0),点B坐标为(2,-2),直线AB与y轴交于点C.
(1)求直线AB的函数解析式及线段AC的长;
(2)点B关于y轴的对称点为点D.
①点D的坐标为 ;
②在直线BD上找点E,使△ACE是直角三角形,则点E的横坐标为 .
C层·素养挑战
14.如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程:如图①,一个边长为a的正方形,经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形,且三个正方形所围成的三角形是直角三角形;再经过一次“生长”后变成了图②;如此继续“生长”下去,则第2 025次“生长”后,这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为 .
