第25讲 正方形
A层·基础过关
1.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BE=CF,则图中与∠AEB相等的角的个数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为(C)
A.1 B.2 C.5 D.10
3.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论:①当AB=BC时,它是菱形;②当AC⊥BD时,它是菱形;③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当AC=BD时,它是正方形,其中错误的有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是 8 .
5.如图,点E是正方形ABCD内的一点,将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBF.若∠ABE=55°,则∠EGC= 80 度.
6.如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
【解析】(1)在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,∴∠ADE=∠GEC=90°,
∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.
(2)AH⊥EF,理由如下.
连接GC交EF于点O,如图:∵BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠ADG=∠CDG=45°,
又∵DG=DG,AD=CD,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCG.
在正方形ABCD中,∠ECF=90°,
又∵GE⊥CD,GF⊥BC,
∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
7.如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF;
(2)若BC=8,DE=6,求EF的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADE=∠ABC=90°=∠ABF,AD=AB,
在△ADE和△ABF中,,
∴△ADE≌△ABF(SAS);
(2)∵△ADE≌△ABF,DE=6,∴BF=DE=6,∵BC=DC=8,∴CE=8-6=2,CF=8+6=14,在Rt△FCE中,EF===10.
B层·能力提升
8.如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,EF⊥AB于点F,连接DE并延长,交边BC于点M,交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=(B)
A.2 B. C.+1 D.
9.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是(A)
A.2 B.2+ C.4-2 D.
10.如图,正方形ABCD的边长为1,M,N是边BC,CD上的动点.若∠MAN=45°,则MN的最小值为 2-2 .
11.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,的值是 .
12.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为 (3,10) .
C层·素养挑战
13.【模型建立】
(1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由.
【模型应用】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
【模型迁移】
(3)如图3,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)DE+CD=AE,理由如下:
∵CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC,
∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°,
∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°,
∴∠ABE=∠C,∵AB=BC,
∴△ABE≌△BCD(AAS),
∴BE=CD,AE=BD,
∴DE=BD-BE=AE-CD,
∴DE+CD=AE;
(2)AD=BE+DF,理由如下:
过E点作EM⊥AD于点M,过E点作EN⊥CD于点N,如图,
∵四边形ABCD是正方形,BD是正方形的对角线,
∴∠ADB=∠CDB=45°,
BD平分∠ADC,∠ADC=90°,
∴AD=CD=BD,
∴DE=BD-BE=AD-BE,
∵EN⊥CD,EM⊥AD,
∴EM=EN,∵AE=EF,
∴Rt△AEM≌Rt△FEN(HL),∴AM=NF,
∵EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°,∴四边形EMDN是正方形,
∴ED是正方形EMDN的对角线,MD=ND,
∴MD=DN=DE,NF=ND-DF=MD-DF,
∴NF=AM=AD-MD=AD-DE,
NF=DE-DF,
∴AD-DE=DE-DF,
∴AD=DE-DF,
∵DE=AD-BE,
∴AD=(AD-BE)-DF,
∴AD=BE+DF;
(3)AD=BE-DF,理由如下:
过A点作AH⊥BD于点H,过F点作FG⊥BD,交BD的延长线于点G,如图,
∵AH⊥BD,FG⊥BD,AE⊥EF,
∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°,
∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°,
∴∠HAE=∠FEG,∵AE=EF,
∴△HAE≌△GEF(AAS),∴HE=FG,
∵在正方形ABCD中,∠BDC=45°,
∴∠FDG=∠BDC=45°,∴∠DFG=45°,
∴△DFG是等腰直角三角形,
∴FG=DF,∴HE=FG=DF,
∵∠ADB=45°,AH⊥HD,
∴△ADH是等腰直角三角形,
∴HD=AD,∴DE=HD-HE=AD-DF,∴BD-BE=DE=AD-DF,
∵BD=AD,
∴AD-BE=AD-DF,
∴AD=BE-DF.第25讲 正方形
A层·基础过关
1.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BE=CF,则图中与∠AEB相等的角的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为( )
A.1 B.2 C.5 D.10
3.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论:①当AB=BC时,它是菱形;②当AC⊥BD时,它是菱形;③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当AC=BD时,它是正方形,其中错误的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是 .
5.如图,点E是正方形ABCD内的一点,将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBF.若∠ABE=55°,则∠EGC= 度.
6.如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
7.如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF;
(2)若BC=8,DE=6,求EF的长.
B层·能力提升
8.如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,EF⊥AB于点F,连接DE并延长,交边BC于点M,交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=( )
A.2 B. C.+1 D.
9.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是( )
A.2 B.2+ C.4-2 D.
10.如图,正方形ABCD的边长为1,M,N是边BC,CD上的动点.若∠MAN=45°,则MN的最小值为 .
11.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,的值是 .
12.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为 .
C层·素养挑战
13.【模型建立】
(1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由.
【模型应用】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
【模型迁移】
(3)如图3,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
