第27讲 与圆有关的位置关系
A层·基础过关
1.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为(C)
A.35° B.45° C.55° D.65°
2.△ABC中,AB=AC=6,BC=4,以点A为圆心,5为半径画圆,那么该圆与BC的位置关系是(A)
A.相离 B.相切
C.相交 D.不能确定
3.如图,AD,BC是☉O的直径,点P在BC的延长线上,PA与☉O相切于点A,连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数为(A)
A.65° B.60° C.50° D.25°
4.如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,连接BC,与☉O交于点D,连接OD.若∠AOD=82°,则∠C= 49 °.
5.如图,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为 .
6.如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在上.已知∠A=50°,则∠D的度数是 65° .
7.如图,AD是☉O的切线,点C是☉O上的一点,连接CD,AC,AC交☉O于点B,若∠C=25°,则∠A的度数是 40° .
8.如图,AB为☉O的直径,AD,BC分别与☉O相切于点A,B,CD经过☉O上一点E,AD=DE,若AB=12,BC=4,则AD的长为 9 .
9.如图,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,E为的中点,点C在BA的延长线上,且∠CDA=∠B.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若DE=2,∠BDE=30°,求CD的长.
【解析】(1)连接OD,如图所示:
∵AB是直径,
∴∠BDA=90°,
∴∠BDO+∠ADO=90°,
又∵OB=OD,∠CDA=∠B,∴∠B=∠BDO=∠CDA,∴∠CDA+∠ADO=90°,∴OD⊥CD,且OD为☉O半径,∴CD是☉O的切线;
(2)连接OE,如图所示:
∵∠BDE=30°,
∴∠BOE=2∠BDE=60°,
又∵E为的中点,∴∠EOD=60°,
∴△EOD为等边三角形,
∴ED=EO=OD=2,
又∵∠BOD=∠BOE+∠EOD=120°,
∴∠DOC=180°-∠BOD=180°-120°=60°,
在Rt△DOC中,∠DOC=60°,OD=2,
∴tan∠DOC=tan60°===,∴CD=2.
B层·能力提升
10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E,若=,则sin C的值是(B)
A. B. C. D.
11.如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,BC∥OP交☉O于点C.若∠B=70°,则∠OPC的度数为(B)
A.10° B.20° C.30° D.40°
12.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为 105° .
13.如图,在△ABD中,AB=BD,☉O为△ABD的外接圆,BE为☉O的切线,AC为☉O的直径,连接DC并延长交BE于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
(2)若AB=5,BE=5,求☉O的半径.
【解析】(1)连接BO并延长交AD于H点,如图,
∵AB=BD,OA=OD,∴BO垂直平分AD,
∴∠BHD=90°,
∵BE为☉O的切线,∴OB⊥BE,
∴∠OBE=90°
∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=90°,
∴四边形BEDH为矩形,
∴∠E=90°,∴BE⊥DE;
(2)∵BO垂直平分AD,
∴AH=DH=AD,
∵四边形BEDH为矩形,∴DH=BE=5,
在Rt△BHD中,∵BD=AB=5,DH=5,
∴BH==5,
设☉O的半径为r,则OH=5-r,OD=r,
在Rt△OHD中,(5-r)2+52=r2,解得r=3,
即☉O的半径为3.
14.如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点E,AE平分∠BAC,过点E作ED⊥AC于点D,延长DE交AB的延长线于点P.
(1)求证:PE是☉O的切线;
(2)若sin P=,BP=4,求CD的长.
【解析】(1)如图,连接OE,
∵AE平分∠BAC,
∴∠OAE=∠DAE,∵OE=OA,∴∠OEA=∠OAE,∴∠DAE=∠OEA,∴OE∥AD,
∵ED⊥AC,∴OE⊥PD,
∵OE是☉O的半径,∴PE是☉O的切线;
(2)∵sin P==,BP=4,OB=OE,
∴=,∴OE=2,
∴AB=2OE=4,∴AP=AB+BP=8,
在Rt△APD中,sin P==,∴AD=AP=,
∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°=∠AEC,
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,
∵AE=AE,
∴△AEB≌△AEC(ASA),
∴AB=AC=4,∴CD=AC-AD=4-=,
∴CD的长为.
C层·素养挑战
15.如图,平面直角坐标系中三个点的坐标为A(1,1),B(2,4),C(3,1).则△ABC的内切圆半径长为 . 第27讲 与圆有关的位置关系
A层·基础过关
1.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
2.△ABC中,AB=AC=6,BC=4,以点A为圆心,5为半径画圆,那么该圆与BC的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.不能确定
3.如图,AD,BC是☉O的直径,点P在BC的延长线上,PA与☉O相切于点A,连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数为( )
A.65° B.60° C.50° D.25°
4.如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,连接BC,与☉O交于点D,连接OD.若∠AOD=82°,则∠C= °.
5.如图,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为 .
6.如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在上.已知∠A=50°,则∠D的度数是 .
7.如图,AD是☉O的切线,点C是☉O上的一点,连接CD,AC,AC交☉O于点B,若∠C=25°,则∠A的度数是 .
8.如图,AB为☉O的直径,AD,BC分别与☉O相切于点A,B,CD经过☉O上一点E,AD=DE,若AB=12,BC=4,则AD的长为 .
9.如图,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,E为的中点,点C在BA的延长线上,且∠CDA=∠B.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若DE=2,∠BDE=30°,求CD的长.
B层·能力提升
10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E,若=,则sin C的值是( )
A. B. C. D.
11.如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,BC∥OP交☉O于点C.若∠B=70°,则∠OPC的度数为( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
12.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为 .
13.如图,在△ABD中,AB=BD,☉O为△ABD的外接圆,BE为☉O的切线,AC为☉O的直径,连接DC并延长交BE于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
(2)若AB=5,BE=5,求☉O的半径.
14.如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点E,AE平分∠BAC,过点E作ED⊥AC于点D,延长DE交AB的延长线于点P.
(1)求证:PE是☉O的切线;
(2)若sin P=,BP=4,求CD的长.
C层·素养挑战
15.如图,平面直角坐标系中三个点的坐标为A(1,1),B(2,4),C(3,1).则△ABC的内切圆半径长为 .
