第31讲 相似与位似
A层·基础过关
1.如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若=,则=( )
A. B. C. D.1
2.如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是( )
A.(2,4) B.(4,2)
C.(6,4) D.(5,4)
3.若△ABC∽△DEF,BC=6,EF=4,则=( )
A. B. C. D.
4.如图,点E是 ABCD的边AD上的一点,且=,连接BE并延长交CD的延长线于点F,若DE=3,DF=4,则 ABCD的周长为( )
A.21 B.28 C.34 D.42
5.如图,线段AC,BD交于点O,请你添加一个条件: ,使△AOB∽△COD.
6.若=,则= .
7.如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC与△DEF的周长比是 .
8.如图,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM= .
9.如图,正方形ABCD边长为6 cm,点E为对角线AC上一点,CE=2AE,点P在AB边上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在BC边上以2 cm/s的速度由点C向点B运动,设运动时间为t秒(0(1)求证:△AEP∽△CEQ.
(2)当△EPQ是直角三角形时,求t的值.
B层·能力提升
10.△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的△DEF,其最长边为12,则△DEF的周长是( )
A.54 B.36 C.27 D.21
11.如图,在 ABCD中,点E在对角线BD上,EM∥AD,交AB于点M,EN∥AB,交AD于点N,则下列式子一定正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
12.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是( )
A. B. C. D.
13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△DEC位似,点C为位似中心,CD=3AC,若△ABC的面积是1,则△DEC的面积是( )
A.3 B.4 C.9 D.16
14.把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起,点E为AD的中点,连接BE交AC于点F,则= .
15.如图,矩形ABCD中,E,F在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在CD上,B的对称点为G,PG交BC于H.
(1)求证:△EDP∽△PCH.
(2)若P为CD中点,且AB=2,BC=3,求GH长.
(3)连接BG,若P为DC中点,H为BC中点,探究BG与AB大小关系并说明理由.
C层·素养挑战
16.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为S1,正方形MNPQ的面积为S2.若BE=kAE(k>1),则用含k的式子表示的值是 . 第31讲 相似与位似
A层·基础过关
1.如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若=,则=(B)
A. B. C. D.1
2.如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是(C)
A.(2,4) B.(4,2)
C.(6,4) D.(5,4)
3.若△ABC∽△DEF,BC=6,EF=4,则=(D)
A. B. C. D.
4.如图,点E是 ABCD的边AD上的一点,且=,连接BE并延长交CD的延长线于点F,若DE=3,DF=4,则 ABCD的周长为(C)
A.21 B.28 C.34 D.42
5.如图,线段AC,BD交于点O,请你添加一个条件: ∠A=∠C(答案不唯一) ,使△AOB∽△COD.
6.若=,则= .
7.如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC与△DEF的周长比是 2∶5 .
8.如图,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM= 3 .
9.如图,正方形ABCD边长为6 cm,点E为对角线AC上一点,CE=2AE,点P在AB边上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在BC边上以2 cm/s的速度由点C向点B运动,设运动时间为t秒(0(1)求证:△AEP∽△CEQ.
(2)当△EPQ是直角三角形时,求t的值.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠PAE=∠QCE=45°,
∵CE=2AE,AP=t,CQ=2t,
∴==,∴△AEP∽△CEQ;
(2)过点E作EM⊥AB于点M,过点E作EN⊥BC于点N.
由题意知AE=2,AM=ME=2,EN=CN=4,AP=t,
CQ=2t,BQ=6-2t,MP=|t-2|,BP=6-t,QN=|2t-4|,
∴EP2=EM2+MP2,即EP2=22+(t-2)2=t2-4t+8,
PQ2=BP2+BQ2,即PQ2=(6-t)2+(6-2t)2=5t2-36t+72,
EQ2=EN2+NQ2,即EQ2=42+(2t-4)2=4t2-16t+32,
①当∠EPQ=90°时,则EQ2=EP2+PQ2,
即4t2-16t+32=t2-4t+8+5t2-36t+72,
整理得t2-12t+24=0.
解得t1=6-2,t2=6+2(不符合题意,舍去),
②当∠PEQ=90°时,则PQ2=EP2+EQ2,
即5t2-36t+72=t2-4t+8+4t2-16t+32,
整理得t-2=0,解得t=2;
③当∠PQE=90°时,则EP2=PQ2+EQ2,
即t2-4t+8=5t2-36t+72+4t2-16t+32,
整理得t2-6t+12=0,该方程无实数解,
综上所述,当△EPQ是直角三角形时,t的值为6-2或2.
B层·能力提升
10.△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的△DEF,其最长边为12,则△DEF的周长是(C)
A.54 B.36 C.27 D.21
11.如图,在 ABCD中,点E在对角线BD上,EM∥AD,交AB于点M,EN∥AB,交AD于点N,则下列式子一定正确的是(D)
A.= B.=
C.= D.=
12.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是(C)
A. B. C. D.
13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△DEC位似,点C为位似中心,CD=3AC,若△ABC的面积是1,则△DEC的面积是(C)
A.3 B.4 C.9 D.16
14.把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起,点E为AD的中点,连接BE交AC于点F,则= .
15.如图,矩形ABCD中,E,F在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在CD上,B的对称点为G,PG交BC于H.
(1)求证:△EDP∽△PCH.
(2)若P为CD中点,且AB=2,BC=3,求GH长.
(3)连接BG,若P为DC中点,H为BC中点,探究BG与AB大小关系并说明理由.
【解析】(1)如图,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在DC上,
∴∠EPH=∠A=90°,
∴∠1+∠2=90°,∴∠3=∠2,
∴△EDP∽△PCH;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90°,
∵P为CD中点,∴DP=CP=×2=1,
设EP=AE=x,∴ED=AD-AE=3-x,
在Rt△EDP中,EP2=ED2+DP2,
即x2=(3-x)2+1,
解得x=,
∴EP=AE=,ED=,
∵△EDP∽△PCH,
∴=,
∴=,
解得PH=,
∵PG=AB=2,
∴GH=PG-PH=;
(3)如图,延长AB,PG交于一点M,连接AP,
∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在CD上,
∴AP⊥EF,BG⊥EF,∴BG∥AP,
∵AE=EP,∴∠EAP=∠EPA,
∴∠BAP=∠GPA,
∴△MAP是等腰三角形,∴MA=MP,
∵P为CD中点,∴设DP=CP=y,
∴AB=PG=CD=2y,
∵H为BC中点,∴BH=CH,
∵∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH,
∴△MBH≌△PCH(ASA),
∴BM=CP=y,HM=HP,
∴MP=MA=MB+AB=3y,
∴HP=PM=y,
在Rt△PCH中,CH==y,
∴BC=2CH=y,
∴AD=BC=y,
在Rt△APD中,AP==y,
∵BG∥AP,∴△BMG∽△AMP,
∴==,
∴BG=y,
∴==,
∴AB=BG.
C层·素养挑战
16.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为S1,正方形MNPQ的面积为S2.若BE=kAE(k>1),则用含k的式子表示的值是 .
