第8讲 一元二次方程
A层·基础过关
1.一元二次方程x2-3x+a=0的一个解为x=1,则a的值是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是( )
A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6
C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6
3.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确的是( )
A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60
C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60
4.若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是( )
A.36 B.-36
C.9 D.-9
5.一种药品原价每盒48元,经过两次降价后每盒27元,两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为( )
A.20% B.22% C.25% D.28%
6.若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a= .
7.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有实数根,则实数k的取值范围是 .
8.解方程:
(1)2x2-5x+3=0.
(2)x2+2x-2=0.
(3)3x2=4-2x.
9.已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k=1时,用配方法解方程.
10.山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售
B层·能力提升
11.等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为( )
A.17或13
B.13或21
C.17
D.13
12.如图,在长为100 m,宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3 600 m2,则小路的宽是( )
A.5 m
B.70 m
C.5 m或70 m
D.10 m
13.若实数a,b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠b,则+的值为 .
14.已知y2-x=0,x2-3y2+x-3=0,则x的值为 .
15.我们规定:对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,例如:[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.
(1)求[-4,3]*[2,-6]的值;
(2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,求m的取值范围.
C层·素养挑战
16.如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a(m),AD=b(m),面积为s(m2),现将边AB增加
1 m.
(1)如图1,若a=5,边AD减少1 m,得到的矩形面积不变,则b的值是 .
(2)如图2,若边AD增加2 m,有且只有一个a的值,使得到的矩形面积为2s(m2),求s的值.第8讲 一元二次方程
A层·基础过关
1.一元二次方程x2-3x+a=0的一个解为x=1,则a的值是(C)
A.0 B.1
C.2 D.3
2.用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是(C)
A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6
C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6
3.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确的是(B)
A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60
C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60
4.若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是(C)
A.36 B.-36
C.9 D.-9
5.一种药品原价每盒48元,经过两次降价后每盒27元,两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为(C)
A.20% B.22% C.25% D.28%
6.若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a= 1 .
7.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有实数根,则实数k的取值范围是 k≤1 .
8.解方程:
(1)2x2-5x+3=0.
【解析】(1)2x2-5x+3=0,(2x-3)(x-1)=0,
∴2x-3=0或x-1=0,解得x1=,x2=1.
(2)x2+2x-2=0.
【解析】(2)原方程化为:x2+2x=2,
x2+2x+1=3,(x+1)2=3,
x+1=±,
x1=-1+,x2=-1-.
(3)3x2=4-2x.
【解析】(3)方程化为3x2+2x-4=0,
Δ=22-4×3×(-4)=52,x=,
x1=,x2=.
9.已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
【解析】(1)∵关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(2k+4)2-4k(k-6)>0,且k≠0,
解得k>-且k≠0;
(2)当k=1时,用配方法解方程.
【解析】(2)当k=1时,
原方程为x2-(2×1+4)x+1-6=0,
即x2-6x-5=0,移项得x2-6x=5,
配方得x2-6x+9=5+9,
即(x-3)2=14,直接开平方得x-3=±,
解得x1=3+,x2=3-.
10.山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元
【解析】(1)设每千克核桃应降价x元,
根据题意,得(60-x-40) (100+×20)=2 240,
化简,得x2-10x+24=0,
解得x1=4,x2=6.
答:每千克核桃应降价4元或6元.
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售
【解析】(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客,∴每千克核桃应降价6元,此时,售价为:60-6=54(元),
×100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售.
B层·能力提升
11.等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为(C)
A.17或13
B.13或21
C.17
D.13
12.如图,在长为100 m,宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3 600 m2,则小路的宽是(A)
A.5 m
B.70 m
C.5 m或70 m
D.10 m
13.若实数a,b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠b,则+的值为 .
14.已知y2-x=0,x2-3y2+x-3=0,则x的值为 3 .
15.我们规定:对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,例如:[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.
(1)求[-4,3]*[2,-6]的值;
【解析】(1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10;
(2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,求m的取值范围.
【解析】 (2)根据题意得x(mx+1)-m(2x-1)=0,
整理得mx2+(1-2m)x+m=0,
∵关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,
∴Δ=(1-2m)2-4m·m≥0且m≠0,
解得m≤且m≠0.
C层·素养挑战
16.如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a(m),AD=b(m),面积为s(m2),现将边AB增加
1 m.
(1)如图1,若a=5,边AD减少1 m,得到的矩形面积不变,则b的值是 6 .
【解析】(1)∵边AD减少1 m,得到的矩形面积不变,∴5b=(5+1)×(b-1),解得b=6.
(2)如图2,若边AD增加2 m,有且只有一个a的值,使得到的矩形面积为2s(m2),求s的值.
【解析】(2)根据题意知b=,
∵边AB增加1 m,边AD增加2 m,得到的矩形面积为2s(m2),
∴(a+1)(b+2)=2s,
∴(a+1)(+2)=2s,
整理得2a++2-s=0,
∴2a2+(2-s)a+s=0,
∵有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s,
∴Δ=0,即(2-s)2-8s=0,
解得s=6-4(不符合题意舍去)或s=6+4.
