第11讲 一次函数的实际应用
A层·基础过关
1.一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示.如果这辆汽车每千米的耗油量相同,当油箱中剩余的油量为35 L时,那么该汽车已行驶的路程为(A)
A.150 km B.165 km C.125 km D.350 km
2.某物体在力F的作用下,沿力的方向移动的距离为s,力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示,则下列结论正确的是(C)
A.W=s B.W=20s
C.W=8s D.s=
3.铁的密度约为7.9 kg/m3,铁的质量m(kg)与体积V(m3)成正比例.一个体积为
10 m3的铁块,它的质量为 79 kg.
4.某市出租车计费方法为当行驶里程不超过3 km时,计价器保持在8.5元;当行驶里程超过3 km时,计价器开始变化,行驶里程x(km)与车费y(元)之间的关系如图所示.
(1)当行驶里程超过3 km时,求y与x之间的函数式;
(2)若某乘客一次乘出租车的车费为28.5元,求这位乘客乘车的里程.
【解析】(1)由题中图象得出租车的起步价是8.5元.
当x>3时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
由函数图象过点(3,8.5),(6,14.5),
得,解得
故当行驶里程超过3 km时,y与x之间的函数关系式为y=2x+2.5(x>3).
(2)∵28.5>8.5,∴令y=28.5,即28.5=2x+2.5,解得x=13.
答:这位乘客乘车的里程是13 km.
5.Ⅰ号无人机从海拔10 m处出发,以10 m/min的速度匀速上升,Ⅱ号无人机从海拔30 m处同时出发,以a(m/min)的速度匀速上升,经过5 min两架无人机位于同一海拔高度b(m).无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系如图.两架无人机都上升了15 min.
(1)求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系式;
(2)问无人机上升了多少时间,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米.
【解析】(1)b=10+10×5=60,设函数的关系式为y=kx+t,
将(0,30),(5,60)代入上式得,解得,
故函数关系式为y=6x+30(0≤x≤15);
(2)由题意得:(10x+10)-(6x+30)=28,
解得x=12,故无人机上升12 min,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米.
B层·能力提升
6.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,动点E,F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发,点E沿折线A→B→C方向运动,点F沿折线A→C→B方向运动,当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒,点E,F的距离为y.
(1)请直接写出y关于t的函数解析式并注明自变量t的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质;
(3)结合函数图象,写出点E,F相距3个单位长度时t的值.
【解析】(1)当点E,F分别在AB,AC上运动时,△AEF为边长等于t的等边三角形,
∴点E,F的距离等于AE,AF的长,
∴当0≤t≤4时,y关于t的函数解析式为y=t,
当点E,F都在BC上运动时,点E,F的距离等于4-2(t-4),
∴当4∴y关于t的函数解析式为;
(2)由(1)中得到的函数解析式可知:
当t=0时,y=0;当t=4时,y=4;当t=6时,y=0.
分别描出三个点(0,0),(4,4),(6,0),然后顺次连线,如图:
该函数的其中一个性质:当0≤t≤4时,y随t的增大而增大.(答案不唯一,正确即可)
(3)把y=3分别代入y=t和y=12-2t中,得3=t,3=12-2t,解得t=3或t=4.5,
∴点E,F相距3个单位长度时t的值为3或4.5.
7.6月份以来,猪肉价格一路上涨,为平抑猪肉价格,某省积极组织货源,计划由A,B,C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D,E两市运送猪肉,现决定派往D,E两地的运输分别是18辆、10辆.已知一辆运输车从A市到D,E两市的运费分别为200元和800元,从B市到D,E两市的运费分别为300元和700元,从C市到D,E两市的运费分别为400元和500元.若从A,B两市都派x辆车到D市,当这28辆运输车全部派出时,
(1)求总运费W(元)与x(辆)之间的关系式,并写出x的取值范围;
(2)求总运费W最低时的车辆派出方案.
【解析】(1)根据题意,A市派(10-x)辆到E市,B市派(10-x)辆到E市,C市派(18-2x)辆到D市,C市派(2x-10)辆到E市,
则W=200x+800(10-x)+300x+700(10-x)+400(18-2x)+500(2x-10)=-800x+17 200,
∵10-x≥0,18-2x≥0,2x-10≥0
∴x≤10,x≤9,x≥5.
∴5≤x≤9.
(2)由(1)W=-800x+17 200,
∵-800<0,
∴W随x增大而减小,
∴当x=9时,W最低,
W最低=-800×9+17 200=-7 200+17 200=10 000,
∴10-x=10-9=1,18-2x=18-2×9=0,2x-10=8,
∴总运费W最低时,A市派往D市9辆,E市1辆;B市派往D市9辆,E市1辆;C市派往E市8辆.
C层·素养挑战
8.定义:函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”.例如,点(0,1)是函数y=x+1图象的“近轴点”.
(1)下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 (填序号);
①y=-x+3;
②y=;
③y=-x2+2x-1.
(2)若一次函数y=mx-3m图象上存在“近轴点”,则m的取值范围为 .
【解析】(1)①当x=0时,y=3,当y=0时,x=3,
∴y=-x+3与两坐标轴的交点分别为(0,3)和(3,0),
∴函数y=-x+3的图象上不存在“近轴点”;
②∵y=在每一象限内y随x的增大而减小,当x=1时,y=2,当y=1时,x=2,
∴函数y=的图象上不存在“近轴点”;
③∵y=-x2+2x-1=-(x-1)2,
当x=1时,y=0;当x=0时,y=-1;
∴函数y=-x2+2x-1的图象上存在“近轴点”;
答案:③
(2)∵y=mx-3m=m(x-3),∴一次函数y=mx-3m经过(3,0),
分两种情况:①当m>0时,如图1,
当x=1时,y=m-3m=-2m,
∵一次函数y=mx-3m图象上存在“近轴点”,
∴-1≤-2m<0,
∴0②当m<0时,如图2,
由①知:点A的坐标为(1,-2m),
∵一次函数y=mx-3m图象上存在“近轴点”,
∴0<-2m≤1,
∴-≤m<0;
综上,m的取值范围为0答案:0A层·基础过关
1.一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示.如果这辆汽车每千米的耗油量相同,当油箱中剩余的油量为35 L时,那么该汽车已行驶的路程为( )
A.150 km B.165 km C.125 km D.350 km
2.某物体在力F的作用下,沿力的方向移动的距离为s,力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示,则下列结论正确的是( )
A.W=s B.W=20s
C.W=8s D.s=
3.铁的密度约为7.9 kg/m3,铁的质量m(kg)与体积V(m3)成正比例.一个体积为
10 m3的铁块,它的质量为 kg.
4.某市出租车计费方法为当行驶里程不超过3 km时,计价器保持在8.5元;当行驶里程超过3 km时,计价器开始变化,行驶里程x(km)与车费y(元)之间的关系如图所示.
(1)当行驶里程超过3 km时,求y与x之间的函数式;
(2)若某乘客一次乘出租车的车费为28.5元,求这位乘客乘车的里程.
5.Ⅰ号无人机从海拔10 m处出发,以10 m/min的速度匀速上升,Ⅱ号无人机从海拔30 m处同时出发,以a(m/min)的速度匀速上升,经过5 min两架无人机位于同一海拔高度b(m).无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系如图.两架无人机都上升了15 min.
(1)求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系式;
(2)问无人机上升了多少时间,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米.
B层·能力提升
6.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,动点E,F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发,点E沿折线A→B→C方向运动,点F沿折线A→C→B方向运动,当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒,点E,F的距离为y.
(1)请直接写出y关于t的函数解析式并注明自变量t的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质;
(3)结合函数图象,写出点E,F相距3个单位长度时t的值.
7.6月份以来,猪肉价格一路上涨,为平抑猪肉价格,某省积极组织货源,计划由A,B,C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D,E两市运送猪肉,现决定派往D,E两地的运输分别是18辆、10辆.已知一辆运输车从A市到D,E两市的运费分别为200元和800元,从B市到D,E两市的运费分别为300元和700元,从C市到D,E两市的运费分别为400元和500元.若从A,B两市都派x辆车到D市,当这28辆运输车全部派出时,
(1)求总运费W(元)与x(辆)之间的关系式,并写出x的取值范围;
(2)求总运费W最低时的车辆派出方案.
C层·素养挑战
8.定义:函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”.例如,点(0,1)是函数y=x+1图象的“近轴点”.
(1)下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 (填序号);
①y=-x+3;
②y=;
③y=-x2+2x-1.
(2)若一次函数y=mx-3m图象上存在“近轴点”,则m的取值范围为 .
