第13讲 反比例函数与一次函数的综合
A层·基础过关
1.已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根,则函数y=kx与函数y=的图象交点个数为(A)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知反比例函数y=(k≠0)的图象与正比例函数y=ax(a≠0)的图象相交于A,B两点,若点A的坐标是(1,2),则点B的坐标是(C)
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(-1,-2) D.(2,1)
3.在平面直角坐标系中,一次函数y=2x与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y1+y2的值是 0 .
4.如图,点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点,OM=4,则k的值为 4 .
5.如图,正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2=(k2≠0)的图象相交于A,B两点,其中点A的横坐标为1.当k1x<时,x的取值范围是 06.已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图象上,点A'与点A关于y轴对称.若点A'在正比例函数y=x的图象上,则这个反比例函数的解析式为 y=- .
7.反比例函数y=的一个分支与一次函数y=x+5的图象如图所示,若点A(a,1),点B(-2,b)都在函数y=x+5上,则整数k的值为 -5 .
8.如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)和反比例函数y2=(m≠0)的图象交于点A(-1,6),B(a,-2).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式.
(2)根据图象直接写出y1>y2时,x的取值范围.
【解析】(1)把点A(-1,6)代入反比例函数
y2=(m≠0)得m=-1×6=-6,∴y2=-.
将B(a,-2)代入y2=-,得-2=,a=3,∴B(3,-2),
将A(-1,6),B(3,-2)代入一次函数y1=kx+b得∴
∴y1=-2x+4.
(2)由题中函数图象可得:x<-1或0B层·能力提升
9.一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是(A)
10.已知点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在x轴正半轴上,若△OAB为等腰三角形,且腰长为5,则AB的长为 5或2或 .
11.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+b的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C.若点A坐标为(2,0),=,则k的值是 3 .
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上.
(1)分别求反比例函数的解析式和直线AB所对应的一次函数的解析式;
(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小.若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BD⊥x轴于点D,
则∠AEC=∠CDB=90°,
∵点C(3,0),B(6,m),∴OC=3,OD=6,BD=m,
∴CD=OD-OC=3,∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=BC,
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°,
∴∠ACE=∠CBD,
∴△ACE≌△CBD(AAS),
∴CD=AE=3,BD=EC=m,
∴OE=OC-EC=3-m,
∴点A的坐标是(3-m,3),
∵A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上.
∴3(3-m)=6m,解得m=1,
∴点A的坐标是(2,3),点B的坐标是(6,1),∴k=6m=6,
∴反比例函数的解析式是y=,
设直线AB所对应的一次函数的解析式为y=px+q,把点A和点B的坐标代入得,
,解得,
∴直线AB所对应的一次函数的解析式为y=-x+4;
(2)延长AE至点A',使得EA'=AE,连接A'B交x轴于点P,连接AP,
∴点A与点A'关于x轴对称,∴AP=A'P,A'(2,-3),
∵AP+PB=A'P+PB=A'B,
∴AP+PB的最小值是A'B的长度,
∵AB==2,即AB是定值,
∴△ABP的周长最小值为AP+PB+AB=AB+A'B,
设直线A'B的解析式是y=nx+t,
则,
解得,
∴直线A'B的解析式是y=x-5,
当y=0时,0=x-5,解得x=5,即点P的坐标是(5,0),
此时AP+PB+AB=AB+A'B=2+=2+4,
综上可知,在x轴上存在一点P(5,0),使△ABP周长的值最小,最小值是2+4.
C层·素养挑战
13.在平面直角坐标系中,对于点M(x1,y1),给出如下定义:当点N(x2,y2),满足x1+x2=y1+y2时,称点N是点M的等和点.
(1)已知点M(1,3),在N1(4,2),N2(3,-1),N3(0,-2)中,是点M等和点的有 ;
(2)若点M(3,-2)的等和点N在直线y=x+b上,求b的值;
(3)已知,双曲线y1=和直线y2=x-2满足y14或-2【解析】(1)由M(1,3),N1(4,2)得,x1+x2=y1+y2=5,
∴点N1(4,2)是点M的等和点;
由M(1,3),N2(3,-1)得,x1+x2=4,y1+y2=2,
∵x1+x2≠y1+y2,∴N2(3,-1)不是点M的等和点;
由M(1,3),N3(0,-2)得,x1+x2=y1+y2=1,∴N3(0,-2)是点M的等和点;
答案:N1(4,2)和N3(0,-2)
(2)设点N的横坐标为a,
∵点N是点M(3,-2)的等和点,
∴点N的纵坐标为3+a-(-2)=a+5,
∴点N的坐标为(a,a+5),
∵点N在直线y=x+b上,
∴a+5=a+b,∴b=5;
(3)由题意可得,k>0,双曲线分布在一、三象限内,设直线与双曲线的交点分别为点A,B,如图,由y14或-2把x=4代入y=x-2得,y=4-2=2,
∴A(4,2),
把A(4,2)代入y1=得,2=,∴k=8,
∴反比例函数的解析式为y1=,
设点P(m,),点Q的横坐标为n,
∵点Q是点P的等和点,
∴点Q的纵坐标为m+n-,
∴Q(n,m+n-),
∵点Q在直线y2=x-2上,
∴m+n-=n-2,
整理得,m-+2=0,
去分母得,m2+2m-8=0,
解得m1=-4,m2=2,
经检验,m=-4,m=2是原方程的解,
∴点P的坐标为(-4,-2)或(2,4).第13讲 反比例函数与一次函数的综合
A层·基础过关
1.已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根,则函数y=kx与函数y=的图象交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知反比例函数y=(k≠0)的图象与正比例函数y=ax(a≠0)的图象相交于A,B两点,若点A的坐标是(1,2),则点B的坐标是( )
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(-1,-2) D.(2,1)
3.在平面直角坐标系中,一次函数y=2x与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y1+y2的值是 .
4.如图,点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点,OM=4,则k的值为 .
5.如图,正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2=(k2≠0)的图象相交于A,B两点,其中点A的横坐标为1.当k1x<时,x的取值范围是 .
6.已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图象上,点A'与点A关于y轴对称.若点A'在正比例函数y=x的图象上,则这个反比例函数的解析式为 .
7.反比例函数y=的一个分支与一次函数y=x+5的图象如图所示,若点A(a,1),点B(-2,b)都在函数y=x+5上,则整数k的值为 .
8.如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)和反比例函数y2=(m≠0)的图象交于点A(-1,6),B(a,-2).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式.
(2)根据图象直接写出y1>y2时,x的取值范围.
B层·能力提升
9.一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是( )
10.已知点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在x轴正半轴上,若△OAB为等腰三角形,且腰长为5,则AB的长为 .
11.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+b的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C.若点A坐标为(2,0),=,则k的值是 .
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上.
(1)分别求反比例函数的解析式和直线AB所对应的一次函数的解析式;
(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小.若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
C层·素养挑战
13.在平面直角坐标系中,对于点M(x1,y1),给出如下定义:当点N(x2,y2),满足x1+x2=y1+y2时,称点N是点M的等和点.
(1)已知点M(1,3),在N1(4,2),N2(3,-1),N3(0,-2)中,是点M等和点的有 ;
(2)若点M(3,-2)的等和点N在直线y=x+b上,求b的值;
(3)已知,双曲线y1=和直线y2=x-2满足y14或-2
