第14讲 二次函数的图象与性质(二)
A层·基础过关
1.函数y1=ax2+bx+c与y2=的图象如图所示,当 时,y1,y2均随着x的增大而减小.( )
A.x<-1 B.-1
C.01
2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)和点(0,-3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是( )
A.a>0
B.a+b=3
C.抛物线经过点(-1,0)
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根
3.关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是( )
A.图象的对称轴在y轴的右侧
B.图象与y轴的交点坐标为(0,-9)
C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)
D.y的最小值为-9
4.如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
5.已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1=-1,x2=3,且abc>0,则下列结论中正确的有( )
①2a+b=0;②抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,);③a<0;④若m(am+b)<4a+2b,则0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.在直角坐标系中,设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a≠0).
(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的解析式,并写出函数图象的顶点坐标;
(2)已知a=b=1,当x=p,q(p,q是实数,p≠q)时,该函数对应的函数值分别为P,Q.若p+q=2,求证:P+Q>6.
7.在平面直角坐标系中,二次函数图象的解析式为y=ax2+(a+1)x+b,其中a-b=4.
(1)若此函数图象过点(1,3),求这个二次函数的解析式.
(2)若(x1,y1),(x2,y2)为此二次函数图象上两个不同点,当x1+x2=2时,y1=y2,求a的值.
(3)若点(-1,t)在此二次函数图象上,且当x≥-1时y随x的增大而增大,求t的范围.
B层·能力提升
8.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.已知二次函数y=2x2-4x-1在0≤x≤a时,y取得的最大值为15,则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为( )
A.y=-x2-4x+5 B.y=x2+4x+5
C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x-5
11.若a≥0,b≥0,且2a+b=2,2a2-4b的最小值为m,最大值为n,则m+n=( )
A.-14 B.-6 C.-8 D.2
12.在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与抛物线y=x2交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列结论正确的个数为( )
①x1·x2=-4.②y1+y2=4k2+2.③当线段AB长取最小值时,则△AOB的面积为2.④若点N(0,-1),则AN⊥BN.
A.1 B.2 C.3 D.4
13.点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=ax2-2ax-3(a≠0)上,存在正数m,使得-2A.1B.2C.0D.1C层·素养挑战
14.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).
(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围.
(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.第14讲 二次函数的图象与性质(二)
A层·基础过关
1.函数y1=ax2+bx+c与y2=的图象如图所示,当 时,y1,y2均随着x的增大而减小.(D)
A.x<-1 B.-1C.01
2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)和点(0,-3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是(C)
A.a>0
B.a+b=3
C.抛物线经过点(-1,0)
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根
3.关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是(D)
A.图象的对称轴在y轴的右侧
B.图象与y轴的交点坐标为(0,-9)
C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)
D.y的最小值为-9
4.如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为(B)
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
5.已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1=-1,x2=3,且abc>0,则下列结论中正确的有(B)
①2a+b=0;②抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,);③a<0;④若m(am+b)<4a+2b,则0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.在直角坐标系中,设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a≠0).
(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的解析式,并写出函数图象的顶点坐标;
(2)已知a=b=1,当x=p,q(p,q是实数,p≠q)时,该函数对应的函数值分别为P,Q.若p+q=2,求证:P+Q>6.
【解析】(1)由题意得,
解得,∴该函数解析式为y=x2-2x+1.并且该函数图象的顶点坐标为(1,0).
(2)由题意,得P=p2+p+1,Q=q2+q+1,
∴P+Q=p2+p+1+q2+q+1=p2+q2+4=(2-q)2+q2+4=2(q-1)2+6≥6,
由条件p≠q,知q≠1.∴P+Q>6,得证.
7.在平面直角坐标系中,二次函数图象的解析式为y=ax2+(a+1)x+b,其中a-b=4.
(1)若此函数图象过点(1,3),求这个二次函数的解析式.
(2)若(x1,y1),(x2,y2)为此二次函数图象上两个不同点,当x1+x2=2时,y1=y2,求a的值.
(3)若点(-1,t)在此二次函数图象上,且当x≥-1时y随x的增大而增大,求t的范围.
【解析】(1)将(1,3),a-b=4代入y=ax2+(a+1)x+b得:3=a+a+1+a-4,解得a=2,
∴b=a-4=-2,
∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x-2;
(2)∵y1=y2,
∴这两个点关于抛物线的对称轴对称,
∴-=,∴-=1,∴a=-;
(3)点(-1,t)在此二次函数图象上,
∴t=a-a-1+a-4=a-5,
∵当x≥-1时y随x的增大而增大,
当a>0时,有-≤-1,
∴0当a<0时,不符合题意舍去,∴-5B层·能力提升
8.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.已知二次函数y=2x2-4x-1在0≤x≤a时,y取得的最大值为15,则a的值为(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为(A)
A.y=-x2-4x+5 B.y=x2+4x+5
C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x-5
11.若a≥0,b≥0,且2a+b=2,2a2-4b的最小值为m,最大值为n,则m+n=(B)
A.-14 B.-6 C.-8 D.2
12.在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与抛物线y=x2交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列结论正确的个数为(C)
①x1·x2=-4.②y1+y2=4k2+2.③当线段AB长取最小值时,则△AOB的面积为2.④若点N(0,-1),则AN⊥BN.
A.1 B.2 C.3 D.4
13.点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=ax2-2ax-3(a≠0)上,存在正数m,使得-2A.1B.2C.0D.1C层·素养挑战
14.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).
(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围.
(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.
【解析】(1)令y=0,则-x2+2x+6=0,解得,x1=-2,x2=6,
∴A(-2,0),B(6,0),
由函数图象得,当y≥0时,-2≤x≤6;
(2)由题意得,B2(6-n,m),B3(-n,m),
函数图象的对称轴为直线x==2,
∵点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,
∴=2,
∴n=1,
∴m=-×(-1)2+2×(-1)+6=,
∴m,n的值分别为,1.