第14讲 二次函数的图象与性质(一)
A层·基础过关
1.二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是(A)
A.(1,3) B.(1,-3)
C.(-1,3) D.(-1,-3)
2.抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则(A)
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
4.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为(C)
5.下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是(D)
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与x轴没有交点
C.当x<2时,y随x增大而增大
D.图象的顶点坐标是(2,-3)
6.在平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点,则k= 1 .
7.将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为 (1,2) .
8.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°,再向下平移5个单位长度,所得到的抛物线的顶点坐标是 (1,-3) .
9.如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△BOC的面积.
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),
∴,解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)由(1)知,y=-x2-2x+3,
∴点C的坐标为(0,3),∴OC=3,
∵点B的坐标为(-3,0),∴OB=3,
∵∠BOC=90°,
∴S△BOC===.
10如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△APC的面积最大.若存在,请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)将B(1,0),C(0,3)代入抛物线y=-x2+bx+c中,,
解得,∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)令y=0,则0=-x2-2x+3,
解得x1=-3,x2=1,∴A(-3,0),
∴OA=3,∵C(0,3),∴OC=3,
过点P作PE⊥x轴于点E,
设P(x,-x2-2x+3),且在第二象限内,
∴OE=-x,AE=3+x,
∴S△APC=S△APE+-S△AOC
=×AE×PE+(OC+PE)×OE-×OA×OC
=×(3+x)(-x2-2x+3)+(3-x2-2x+3)(-x)-×3×3
=-(x+)2+,
∵-<0,∴S有最大值,
∴当x=-时,S取最大值,最大值为,此时点P的坐标为(-,).
B层·能力提升
11.若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是(D)
A.(m,n+1) B.(m+1,n)
C.(m,n-1) D.(m-1,n)
12.已知二次函数y=ax2+bx+c,函数y与自变量x的部分对应值如表所示:
x … -1 0 1 3 …
y … -2 3 6 6 …
当0A.3C.y<7 D.y>3
13.二次函数y=-x2-1的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法正确的是(B)
A.开口向上
B.当x=0时,函数的最大值是-1
C.对称轴是直线x=1
D.抛物线与x轴有两个交点
14.如果抛物线y=(3-m)x2-3有最高点,那么m的取值范围是 m>3 .
15.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下,过A(-1,0),B(m,0)两点,且1①b>0;
②若m=,则3a+2c<0;
③若点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,x11,则y1>y2;
④当a≤-1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根.
其中正确的是 ①③④ (填写序号).
16.已知抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)经过点(-2,0).
(1)求抛物线的函数解析式和顶点坐标.
(2)直线l交抛物线于点A(-4,m),B(n,7),n为正数.若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点A,B重合),分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围.
【解析】(1)把(-2,0)代入y=ax2-2ax-8得0=4a+4a-8,解得a=1,∴抛物线的函数解析式为y=x2-2x-8,∵y=x2-2x-8=(x-1)2-9,
∴抛物线顶点坐标为(1,-9).
(2)把x=-4代入y=x2-2x-8得y=(-4)2-2×(-4)-8=16,∴m=16,把y=7代入函数解析式得7=n2-2n-8,解得n=5或n=-3,
∵n为正数,∴n=5,∴点A坐标为(-4,16),点B坐标为(5,7).∵抛物线开口向上,顶点坐标为(1,-9),∴抛物线顶点在AB下方,
∴-4C层·素养挑战
17.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0),交y轴于点B(0,3).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设二次函数图象的顶点为P,对称轴与x轴交于点Q,求四边形AOBP的面积(请在图1中探索);
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M,使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形 若存在,请求出满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由(请在图2中探索).
【解析】(1)由题意得,,
∴,∴y=-x2-2x+3;
(2)如图,连接OP,
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴P(-1,4),∴PQ=4,OQ=1,
令-x2-2x+3=0,得x1=1,x2=-3,
∴OA=3,∴S四边形AOBP=S△AOP+S△BOP=OA·PQ+OB·OQ=×3×4+×3×1=;
(3)设点M的坐标为(-1,m),∵OA=3,
∴A(-3,0),
由AM2=BM2得[(-3)-(-1)]2+m2=(-1)2+(m-3)2,
∴m=1,∴点M的坐标为(-1,1).第14讲 二次函数的图象与性质(一)
A层·基础过关
1.二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是( )
A.(1,3) B.(1,-3)
C.(-1,3) D.(-1,-3)
2.抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则( )
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
4.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为( )
5.下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是( )
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与x轴没有交点
C.当x<2时,y随x增大而增大
D.图象的顶点坐标是(2,-3)
6.在平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点,则k= .
7.将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为 .
8.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°,再向下平移5个单位长度,所得到的抛物线的顶点坐标是 .
9.如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△BOC的面积.
10如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△APC的面积最大.若存在,请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值;若不存在,请说明理由.
B层·能力提升
11.若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是( )
A.(m,n+1) B.(m+1,n)
C.(m,n-1) D.(m-1,n)
12.已知二次函数y=ax2+bx+c,函数y与自变量x的部分对应值如表所示:
x … -1 0 1 3 …
y … -2 3 6 6 …
当0A.3C.y<7 D.y>3
13.二次函数y=-x2-1的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法正确的是( )
A.开口向上
B.当x=0时,函数的最大值是-1
C.对称轴是直线x=1
D.抛物线与x轴有两个交点
14.如果抛物线y=(3-m)x2-3有最高点,那么m的取值范围是 .
15.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下,过A(-1,0),B(m,0)两点,且1①b>0;
②若m=,则3a+2c<0;
③若点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,x11,则y1>y2;
④当a≤-1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根.
其中正确的是 (填写序号).
16.已知抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)经过点(-2,0).
(1)求抛物线的函数解析式和顶点坐标.
(2)直线l交抛物线于点A(-4,m),B(n,7),n为正数.若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点A,B重合),分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围.
C层·素养挑战
17.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0),交y轴于点B(0,3).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设二次函数图象的顶点为P,对称轴与x轴交于点Q,求四边形AOBP的面积(请在图1中探索);
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M,使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形 若存在,请求出满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由(请在图2中探索).
