第15讲 二次函数的应用
A层·基础过关
1.九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,如图所示,最佳方案是( )
A.方案1 B.方案2
C.方案3 D.面积都一样
2.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米,若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为( )
A.4米 B.5米
C.2米 D.7米
3.如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位: m)与水平距离x(单位: m)之间的关系是y=-(x-10)(x+4),则铅球推出的距离OA= m.
4.汽车刹车后行驶的距离s(单位:米)关于行驶时间t(单位:秒)的函数关系式是s=15t-6t2.则汽车从刹车到停止所用时间为 秒.
5.从喷水池喷头喷出的水柱,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水柱的竖直高度y(单位: m)与它距离喷头的水平距离x(单位: m)之间满足函数关系式y=-2x2+4x+1,喷出水柱的最大高度是 m.
6.某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y是销售价格x(单位:元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数解析式;
(2)当销售价格定为多少元时,每月获得的利润最大 并求此最大利润.
B层·能力提升
7.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数解析式y=-0.2x2+1.5x-2,则最佳加工时间为 min.
9.现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数解析式;
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6 m,求点A,B的坐标.
C层·素养挑战
10.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析.
如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,
CA=2 m,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8;若选择吊球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2.
(1)求点P的坐标和a的值.
(2)小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式.第15讲 二次函数的应用
A层·基础过关
1.九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,如图所示,最佳方案是(C)
A.方案1 B.方案2
C.方案3 D.面积都一样
2.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米,若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为(B)
A.4米 B.5米
C.2米 D.7米
3.如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位: m)与水平距离x(单位: m)之间的关系是y=-(x-10)(x+4),则铅球推出的距离OA= 10 m.
4.汽车刹车后行驶的距离s(单位:米)关于行驶时间t(单位:秒)的函数关系式是s=15t-6t2.则汽车从刹车到停止所用时间为 1.25 秒.
5.从喷水池喷头喷出的水柱,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水柱的竖直高度y(单位: m)与它距离喷头的水平距离x(单位: m)之间满足函数关系式y=-2x2+4x+1,喷出水柱的最大高度是 3 m.
6.某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y是销售价格x(单位:元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数解析式;
(2)当销售价格定为多少元时,每月获得的利润最大 并求此最大利润.
【解析】(1)设y=kx+b,把x=20,y=360和x=30,y=60代入,可得,
解得,
∴y=-30x+960(10≤x≤32);
(2)设每月所获的利润为W元,
∴W=(-30x+960)(x-10)
=-30(x-32)(x-10)
=-30(x2-42x+320)
=-30(x-21)2+3 630.
∴当销售价格定为21元时,每月获得的利润最大,最大值为3 630元.
B层·能力提升
7.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数解析式y=-0.2x2+1.5x-2,则最佳加工时间为 3.75 min.
9.现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数解析式;
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6 m,求点A,B的坐标.
【解析】(1)依题意,顶点P(5,9),设抛物线的函数解析式为y=a(x-5)2+9,将(0,0)代入,得0=a(0-5)2+9.解得a=-.
∴抛物线的函数解析式为y=-(x-5)2+9.
(2)令y=6,得-(x-5)2+9=6.
解得x1=+5,x2=-+5.
∴点A的坐标为(5-,6),点B的坐标为(5+,6).
C层·素养挑战
10.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析.
如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,
CA=2 m,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8;若选择吊球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2.
(1)求点P的坐标和a的值.
(2)小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式.
【解析】(1)在一次函数y=-0.4x+2.8中,
令x=0时,y=2.8,∴P(0,2.8),
将P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2中,可得a+3.2=2.8,解得a=-0.4;
(2)∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=5 m,
选择扣球,则令y=0,即-0.4x+2.8=0,解得x=7,即落地点距离点O距离为7 m,
∴落地点到C点的距离为7-5=2 m,
选择吊球,则令y=0,即-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x=2+1(负值舍去),
即落地点距离点O距离为(2+1)m,
∴落地点到C点的距离为5-(2+1)=(4-2)m,∵4-2<2,∴选择吊球,使球的落地点到C点的距离更近.
