第18讲 全等三角形
A层·基础过关
1.如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA',BB'的中点,只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
2.已知图中的两个三角形全等,则∠α等于( )
A.72° B.58° C.60° D.50°
3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
4.如图,△ABC≌△DEF.如果AE=10,BD=2,那么△ABC中,边AB的长是 .
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D,若BC=ED,求证:CE=DB.
6.如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF.
7.如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
B层·能力提升
8.如图△AOB≌△ADC,∠O=∠D=90°,记∠OAD=α,∠ABO=β,当AO∥BC时,α与β之间的数量关系为( )
A.α+β=90° B.α+2β=180°
C.α=β D.α=2β
9.如图,在△ABC中,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,AC于点D,E.分别以点D,E为圆心,大于DE长为半径画弧,交于∠BAC内一点F.连接AF并延长,交BC于点G.连接DG,EG.添加下列条件,不能使BG=CG成立的是( )
A.AB=AC B.AG⊥BC
C.∠DGB=∠EGC D.AG=AC
10.图中的小正方形边长都相等,若△MNP≌△MFQ,则点Q可能是图中的
.
11.如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求BD的长.
12.如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,CA平分∠BCD,∠CAD=∠BAE.
(1)求证:CD=BC+DE;
(2)若∠B=75°,求∠E的度数.
C层·素养挑战
13.如图,数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A,B之间的距离,由于条件限制无法直接测得,请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案.
(1)画出测量示意图;
(2)写出测量的数据,线段长度用a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;(不要求写出测量过程)
(3)根据你测量的数据,计算A,B之间的距离.(用含a,b,c…或α,β,γ…的式子表示)第18讲 全等三角形
A层·基础过关
1.如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA',BB'的中点,只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是(A)
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
2.已知图中的两个三角形全等,则∠α等于(D)
A.72° B.58° C.60° D.50°
3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有(C)
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
4.如图,△ABC≌△DEF.如果AE=10,BD=2,那么△ABC中,边AB的长是 6 .
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D,若BC=ED,求证:CE=DB.
【证明】∵ED⊥AB,∴∠ADE=∠ACB=90°,∠A=∠A,BC=DE,
∴△ABC≌△AED(AAS),
∴AE=AB,AC=AD,∴CE=BD.
6.如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF.
【证明】∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE(两直线平行,同位角相等),
又∵BC∥EF,∴∠CBA=∠FED(两直线平行,同位角相等).
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
7.如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
【解析】(1)∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE,
在△ABC和△DEF中,,
△ABC≌△DEF(SSS);
(2)∵∠A=55°,∠E=45°,
由(1)可知:△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE=55°,∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
B层·能力提升
8.如图△AOB≌△ADC,∠O=∠D=90°,记∠OAD=α,∠ABO=β,当AO∥BC时,α与β之间的数量关系为(D)
A.α+β=90° B.α+2β=180°
C.α=β D.α=2β
9.如图,在△ABC中,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,AC于点D,E.分别以点D,E为圆心,大于DE长为半径画弧,交于∠BAC内一点F.连接AF并延长,交BC于点G.连接DG,EG.添加下列条件,不能使BG=CG成立的是(D)
A.AB=AC B.AG⊥BC
C.∠DGB=∠EGC D.AG=AC
10.图中的小正方形边长都相等,若△MNP≌△MFQ,则点Q可能是图中的
点D .
11.如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求BD的长.
【解析】(1)∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠CAD,
∵CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
在△ABC和△ADC中,,
∴△ABC≌△ADC(AAS).
(2)∵△ABC≌△ADC,∴BC=DC=3,
S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2S△ABC=2××AB×BC=2××4×3=12.
∵在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,
∴AC===5,
∵△ABC≌△ADC,∴AB=AD,BC=DC,
∴AC垂直平分BD,∴S四边形ABCD=AC·BD,∴×5·BD=12,∴BD=.
12.如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,CA平分∠BCD,∠CAD=∠BAE.
(1)求证:CD=BC+DE;
(2)若∠B=75°,求∠E的度数.
【解析】(1)在CD上截取CF=CB,连接AF.
∵CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠FCA.
在△BCA和△FCA中,,
∴△BCA≌△FCA(SAS),
∴AB=AF,∠BAC=∠FAC.
又∵AB=AE,∴AF=AE.
又∵∠CAD=∠BAE,
∴∠BAC+∠EAD=∠FAC+∠FAD,
∴∠FAD=∠EAD.
在△ADF和△ADE中,,
∴△ADF≌△ADE(SAS)
∴DF=DE.
∴CD=CF+FD=BC+DE.
(2)∵△BCA≌△FCA,
∴∠B=∠CFA.
∵△ADF≌△ADE,
∴∠E=∠AFD.
∴∠B+∠E=∠CFA+∠AFD=180°.
∴∠E=180°-∠B=180°-75°=105°.
C层·素养挑战
13.如图,数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A,B之间的距离,由于条件限制无法直接测得,请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案.
(1)画出测量示意图;
(2)写出测量的数据,线段长度用a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;(不要求写出测量过程)
(3)根据你测量的数据,计算A,B之间的距离.(用含a,b,c…或α,β,γ…的式子表示)
【解析】(1)测量示意图如图所示;
(2)在湖岸上找可以直接到达A,B的一点O,连接AO并延长到C使OC=OA,连接BO并延长到点D使OD=OB,连接CD,则AB=CD.测量DC的长度a,即为AB的长度为a;
(3)设DC=a,由测量方案可得AO=CO,BO=DO,
在△AOB和△COD中,,
∴△AOB≌△COD(SAS),∴AB=CD=a.
