27. 2. 1. 3 相似三角形的判定(3) 同步练习（同步练习）2024-2025学年九年级下册数学人教版

27. 2. 1. 3 相似三角形的判定(3)
(1) 如图 27. 2. 1 98 所示，△ABC 中，点 D 在 AB 上，如果 AC2 = AD ·AB , 那么 ∠ACD = ∠B 吗？ 说说你 的理由.
图 27. 2. 1 98
(2) △ABC 中，点 D 在 AB 上，如果∠ACD = ∠B , 那么 AC2 = AD ·AB 吗？
(1) 判断题.
①两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形. ( )
②两个等腰直角三角形是相似三角形. ( )
③底角相等的两个等腰三角形是相似三角形. ( )
④两个直角三角形一定是相似三角形. ( )
⑤一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似. ( )
⑥有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形. ( )
⑦有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形. ( )
⑧所有的正三角形都相似. ( )
(2) 如图 27. 2. 1 99 , 弦 AB 和 CD 相交于☉O 内一点 P , 求证：PA ·PB = PC ·PD.
讲评：欲证 PA ·PB = PC ·PD , 只需欲证 只需△PAC ∽ △PDB , 欲证△PAC ∽ △PDB ,
只需∠A = ∠D , ∠C = ∠B. 因此连接 AC、DB , 如图 27. 2. 1 100 所示，根据同弧所对的圆周角相等，证出 △ACP ∽ △DBP, 然后根据相似三角形的性质得出结论.
(3) 如图 27. 2. 1 101 , 已知，∠ACB = ∠ADC =90° ,BC =3 ,AC =4,要使△ABC∽△ACD,只要 CD = .
1
图 27. 2. 1 99
图 27. 2. 1 100
图 27. 2. 1 101
基础训练
(1) 下列四个命题中，假命题是( ) .
A. 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 B. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似
C. 底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似
D. 斜边和直角对应成比例的两个直角三角形相似
(2) 下列条件中，能判定△ABC ∽ △A ′B ′C ′ 的是( ) .
(
,
,
,
)A. ∠A = 50 ° ∠B = 40 ° ∠A ′ = 40 ° ∠C ′ = 80 °
B. ∠A = ∠A ′ = 130 ° ,AB = 4 ,AC = 10 ,A ′B ′ = 10 ,A ′C ′ = 24 C. AB = 48 ,BC = 80 , CA = 60 ,A ′B ′ = 24 , C ′A ′ = 30 ,B ′C ′ = 40 D. ∠A = ∠A ′ = 90 ° ,AB = 1 ,AC = 2 ,A ′C ′ = 3 ,B ′C ′ = 6
(3) 如图 27. 2. 1 102 , 在 Rt△ACB 中，∠ACB = 90 ° , CD⊥AB 于 D , 则图中相似的三角形有( ) . A. 4 对 B. 3 对 C. 2 对 D. 1 对
(4) 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90 ° , 当 AC = 3 ,AB = 5 , DE = 10 , EF = 8 时，Rt△ABC和 Rt △DEF 是 的．（填“相似”或者“ 不相似”）
(5) 如图 27. 2. 1 103 ,若∠B = ∠C , 则图中的相似三角形有 . 拓展提高
(1) 如图 27. 2. 1 104 , ∠1 = ∠2 = ∠3 , 有几对三角形相似，请写出其中的两对 .
(2) 如图 27. 2. 1 105 , 在 ABCD 中，AD = 10 cm , CD = 6 cm ,E 为 AD 上一点，且 BE = BC , CE = CD , 则 DE
= cm.
2
图 27. 2. 1 102
图 27. 2. 1 103
图 27. 2. 1 104
图 27. 2. 1 105
发散思维
如图 27. 2. 1 106 所示，在矩形 ABCD 中，AD = a ,AB = b , 问：能否在 AB 边上找一点 E , 使 E 点与 C、D 的 连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形？ 若能找到，这样的 E 点有几个？ 若不能找到，请说明理由.
图 27. 2. 1 106