华师大版八上14.1.1勾股定理
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(共26张PPT)
授课人 郭雪
勾 股 定 理
经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，
会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想。（重点也是难点）
1
会用勾股定理进行简单的计算 。（重点）
2
学习目标
小小数学家之旅
小小数学家之旅
小小数学家之旅
第一站
观察
第三站
验证
第二站
猜想
第四站
归纳
毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
A
B
C
情境导入
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？
一直角边2
+
另一直角边2
=
斜边2
总结
等腰直角三角形三边的关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
等腰直角三角形是特殊的直角三角形，那么一般的直角三角形是否也具有这样的规律呢？
问题3 网格中为一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)：
正方形的面积
A面积 4
B面积 9
C面积
观察
割
补
方法1：补形法(把正方形C补成各边都在网格线上的正方形）：
补
方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面积的三角形和四边形）：
割
补
问题3 网格中为一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)：
A面积
B面积
C面积
面积等式
边长等式
4
9
13
总结
由这三个正方形围成的直角三角形的三边
也满足两直角边的平方和等于斜边的平方这种关系。
小小数学家之旅
小小数学家之旅
小小数学家之旅
第一站
观察
第三站
验证
第二站
猜想
第四站
归纳
由上面的几个例子，我们不难得到这样的猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）
a
b
c
我们的猜想该如何证明呢？
猜想
小小数学家之旅
小小数学家之旅
小小数学家之旅
第一站
观察
第三站
验证
第二站
猜想
第四站
归纳
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
验证
a
b
c
赵爽弦图
b-a
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
拼
一
拼
∵S大正方形＝c2，
又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
证明：
妙解归纳：两种方法计算一个图形的面积，得到一个等量关系，从而解决问题.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
证法2 毕达哥拉斯证法
如图，图中的四个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
据不完全统计，验证的方法有 400多种，你有自己的方法吗？
公式变形：
勾股定理: 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）.
a
b
c
A
B
C
现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以我们刚刚猜想的命题1在我国叫做勾股定理.
归纳
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∴ a2 + b2 = c2
几何语言：
小小数学家之旅
小小数学家之旅
小小数学家之旅
第一站
观察
第三站
验证
第二站
猜想
第四站
归纳
为什么叫勾股定理这个名称呢？
小贴士
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90°
C
A
B
a
b
c
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
2.规范书写格式
典例精析
【变式】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
归纳
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
当堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长
的平方为_________.
17
5
74或24
当堂练习
结论:
S1+S2+S3+S4
=S5+S6
=S7
变式训练
美丽的勾股树
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干
个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一
棵美丽的勾股树．
1.内容及方法
本节课学习了著名的勾股定理并会运用勾股定理求直角三角形的边长，还知道从特殊到一般的探索方法.
2.数学思想
借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。
通过本节课的学习你有哪些收获呢？
课堂小结
基础题：1.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
能力题：2.已知：Rt△ＡBC中，AB＝4，AC＝３,则BC的长为多少？
综合题：3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求
△ABC的周长．
作业布置
下节课再见
授课人 郭雪
勾 股 定 理
经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，
会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想。（重点也是难点）
1
会用勾股定理进行简单的计算 。（重点）
2
学习目标
小小数学家之旅
小小数学家之旅
小小数学家之旅
第一站
观察
第三站
验证
第二站
猜想
第四站
归纳
毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
A
B
C
情境导入
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？
一直角边2
+
另一直角边2
=
斜边2
总结
等腰直角三角形三边的关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
等腰直角三角形是特殊的直角三角形，那么一般的直角三角形是否也具有这样的规律呢？
问题3 网格中为一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)：
正方形的面积
A面积 4
B面积 9
C面积
观察
割
补
方法1：补形法(把正方形C补成各边都在网格线上的正方形）：
补
方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面积的三角形和四边形）：
割
补
问题3 网格中为一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)：
A面积
B面积
C面积
面积等式
边长等式
4
9
13
总结
由这三个正方形围成的直角三角形的三边
也满足两直角边的平方和等于斜边的平方这种关系。
小小数学家之旅
小小数学家之旅
小小数学家之旅
第一站
观察
第三站
验证
第二站
猜想
第四站
归纳
由上面的几个例子，我们不难得到这样的猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）
a
b
c
我们的猜想该如何证明呢？
猜想
小小数学家之旅
小小数学家之旅
小小数学家之旅
第一站
观察
第三站
验证
第二站
猜想
第四站
归纳
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
验证
a
b
c
赵爽弦图
b-a
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
拼
一
拼
∵S大正方形＝c2，
又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
证明：
妙解归纳：两种方法计算一个图形的面积，得到一个等量关系，从而解决问题.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
证法2 毕达哥拉斯证法
如图，图中的四个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
据不完全统计，验证的方法有 400多种，你有自己的方法吗？
公式变形：
勾股定理: 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）.
a
b
c
A
B
C
现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以我们刚刚猜想的命题1在我国叫做勾股定理.
归纳
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∴ a2 + b2 = c2
几何语言：
小小数学家之旅
小小数学家之旅
小小数学家之旅
第一站
观察
第三站
验证
第二站
猜想
第四站
归纳
为什么叫勾股定理这个名称呢？
小贴士
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90°
C
A
B
a
b
c
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
2.规范书写格式
典例精析
【变式】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
归纳
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
当堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长
的平方为_________.
17
5
74或24
当堂练习
结论:
S1+S2+S3+S4
=S5+S6
=S7
变式训练
美丽的勾股树
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干
个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一
棵美丽的勾股树．
1.内容及方法
本节课学习了著名的勾股定理并会运用勾股定理求直角三角形的边长，还知道从特殊到一般的探索方法.
2.数学思想
借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。
通过本节课的学习你有哪些收获呢？
课堂小结
基础题：1.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
能力题：2.已知：Rt△ＡBC中，AB＝4，AC＝３,则BC的长为多少？
综合题：3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求
△ABC的周长．
作业布置
下节课再见