2024-2025学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高二下学期开学考试数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽师范大学附属中学高二下学期开学考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
2.中，，，点在轴上，若边上的中线也是边上的高，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
3.在数列中，若，则( )
A. B. C. D.
4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆若用矩形截某圆锥得到的椭圆与该矩形的四边相切，且该矩形的长：宽为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知数列的前项和为，满足，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在如图所示的试验装置中，正方形框的边长为，长方形框的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子，分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时的取值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足：，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
11.已知，分别为椭圆：的左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，直线，分别与轴交于点，，则下列结论正确的是( )
A. 若是的中点，则
B. 若是的左焦点，则是的中点
C.
D. 若是的中点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则 ．
13.已知圆，，，，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为 ．
14.设，是平面直角坐标系上的两点，为坐标原点，定义点到点的一种折线距离已知，是曲线上一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，，．
求；
若，求实数，的值．
16.本小题分
已知圆过点，，且直线平分圆的周长．
求圆的方程；
过点的直线和圆交于，两点，若，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四面体中，平面，，分别是线段，的中点，点在线段上，且．
求证：平面；
当，时，求平面与平面夹角的余弦值；
在的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点的位置．
18.本小题分
已知，，动点满足，
求动点的轨迹的方程
设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，．
(ⅰ)证明：点在定直线上，并求出定直线方程
(ⅱ)是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标若不存在，请说明理由．
19.本小题分
对于各项均为正数的无穷数列，若，都有，其中为非零常数，则称数列是数列．
判断无穷数列和是不是数列？若是，求出相应的常数的值；若不是，请说明理由；
若是数列，且．
记的前项和为，求证：；
对任意的正整数，设，求数列的前项和．
参考答案
1.
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14.
15.，，
，，
；
因为，所以设，
即，故，解得．

16.由，为线段的垂直平分线的方程．
由，即圆心．
又
所以圆的标准方程为．
过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得弦长为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，过点的直线的斜率为，则直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
因为直线和圆交于，两点．
若，由圆的弦长公式，可得，
解得或，
所以直线的方程为或．

17. 解：取中点，连接，
是的中点，，且，
在线段上取点，使，连接，，
，，且，
，四边形为平行四边形，，
又平面平面，平面．
，则，，
取中点，则，又平面，平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
则，，，
，所以，
故，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即
取，则，，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
由知为中点，为中点，连接，
，
点为内动点且平面，
又平面，平面平面，
，故点在上，
设，又，，，
则，
，
易知平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，则最大时，最大，
，
所以当时，最大，此时最大，
即当点位于中位线靠近的八等分点的第个点处时，与平面所成角最大．

18.解：根据题意有，
所以点一定在是以，为焦点，实轴长为的双曲线上，
且，，所以，
又因为，可知，因此点横坐标大于零，
点轨迹方程为
联立，得，
因为与曲线相切，所以，即，；
此时点坐标为，设，
，，因为，
，
，又，
，整理得，
所以，点在定直线上；
由，，
因为，所以，
，
解得：或，又因为，不符合题意，所以舍，
联立，解得．
点横坐标，
存在点使成立，此时点横坐标为．
19.解：是数列，不是数列，理由如下：
令，则，，
因为为非零常数，
所以无穷数列是数列，相应的常数的值为．
令，则，，，
因为不是非零常数，
所以无穷数列不是数列．
证明：因为是数列，且，
所以，是首项与公差都是的等差数列，
所以，
．
，等号仅当时成立．
所以，即．
解：由知，
当为奇数时，；
当为偶数时，，
对任意的正整数，有
，
，
，
两式相减得
，
所以，
因此，．
所以数列的前项和为．

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