期中巩固卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版（含解析）

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期中巩固卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
5．下列结果计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　）
A． B．
C． D．
8．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，四边形和四边形都是正方形，如果，，那么等于（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．若实数满足，则的值为 ．
11．在平行四边形中，，则的度数为 ．
12．如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ．

13．如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．

14．如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是 米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为 秒（，结果精确到秒）．
15．2024年9月22日是第七个中国农民丰收节。小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为 ．
16．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，
三、解答题
17．化简
(1)
(2)
18．先化简，再求值：，其中．
19．某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用．
20．如图，与的边，在同一条直线上，，且，求证：四边形是平行四边形．
21．已知，是从点D出发的三条线段，且．
(1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由．
(2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长．
22．如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A立即停止；同时点Q从点B 出发向点C运动，运动到点C立即停止，点P，Q的速度都是，连接，，，设点P，Q运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是菱形？
(2)求（1）中菱形的周长和面积．
23．【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
请你用“双求法”解决下面两个问题：
(1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度；
(2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值；
24．阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
如：，
请你解决如下问题：
(1)的有理化因式是____________，____________．
(2)化简．
(3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为 所以．
所以，所以，所以，所以，所以
利用上述方法：若，求的值．
25．综合与实践
在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接并延长交于点Q，连接．
(1)数学思考：
如图1，当点M在上时，与的数量关系是_______．
(2)拓展再探：
如图2，当改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在上时，判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)迁移应用：
在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，的长为多少？
《期中巩固卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D C D A A C
1．B
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的计算是解题的关键．
运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法计算即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意；
B、∵，
∴不能构成直角三角形，故B选项符合题意；
C、∵，
∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、∵，
∴能构成直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：B ．
2．B
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
【详解】解：A、平行四边形中，本来就有，故本选项错误；
B、平行四边形中，，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误；
C、平行四边形中，，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误；
D、平行四边形中，，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定，故本选项正确．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了勾股定理．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【详解】解：字母B所代表的正方形的面积，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．根据二次根式的加减乘除混合运算法则计算即可求解．
【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项正确，符合题意；
故选：D ．
6．A
【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质以及正方形的性质，根据题意求得的长，再根据勾股定理即可求．
【详解】，四边形和四边形都是正方形
四个直角三角形都是全等的
故选：C．
9．2
【分析】此题考查了二次根式的乘法，利用二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】
．
故答案为：2．
10．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，代入求值，掌握二次根式有意义的条件得到的值是解题的关键．
根据题意得到，得到，则，代入计算即可求解．
【详解】解：实数满足，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
11．/80度
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，由四边形为平行四边形得，，根据平行线的性质可得，再由即可求解，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，由的周长为14，可求．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
的周长为，
，
故答案为：．
13．
【分析】如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，利用轴对称和平行四边形的性质得出为四边形周长的最小值，据此解答即可得解．
【详解】解：如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，

，
，
，的中点为，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形周长，
由两点之间线段最短知，此时四边形周长最小，
在中，，
四边形周长最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称—最短距离，勾股定理，垂直平线的性质，平行四边形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正添加辅助线是解决此题的关键．
14． 400
【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作交于点，则，利用含的直角三角形的性质得到，结合题意可得到当米时，居民楼不会受到噪音的影响，即可求出的最小值；在上取一点，使得米，利用勾股定理求出米，结合题意即可求出居民楼受噪音的影响时间．
【详解】解：如图，作交于点，则，
在中，，
，
由题意得，当米时，居民楼不会受到噪音的影响，
即当米时，居民楼不会受到噪音的影响，
居民楼A离点O的距离至少是400米时，居民楼不会受到噪音的影响；
如图，在上取一点，使得米，
当米时，米，
米，
居民楼受噪音的影响时，火车行驶的距离为米，
72千米/小时20米/秒，
居民楼受噪音的影响时间约为（秒）．
故答案为：400；．
15．15
【分析】本题考查圆柱的侧面展开图、利用勾股定理求解最短路径问题，先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接，则的长为装饰带的最短长度，
在中，，，，
∴，
∴装饰带的长度最短为，
故答案为：15．
16．或
【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可．
【详解】解∶∵，，
∴，
∵，
∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，，
当F在M的右侧时，，
又，
∴，
∴；
当F在M的左侧时，，
又，
∴，
∴；
综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或，
故答案为：或．
17．(1)1
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算除法，再进行加减计算；
（2）先由平方差公式展开，并且化简二次根式，再进行加减计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．，
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，化简后代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
19．元
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是证明．先求出米，再证明，则四边形的空地转化为两个三角形，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，米，米，
∴米
∵米，米，
∴，
∴，
∴（米）
所以需费用（元）．
20．见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质．根据平行线的性质推出，再证出，由即可得出，由全等三角形的性质得出，结合，即可得出结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
，
，
，
在和中，
；
，
，
四边形是平行四边形．
21．(1)直角三角形，见解析；
(2)4
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定定理，勾股定理：
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，于是得出是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：是直角三角形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)时，四边形是菱形
(2)菱形的周长为，菱形的面积
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，菱形的判定及性质以及矩形的性质，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键．
（1）由矩形的性质得，，进而证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定及勾股定理即可得解；
（2）首先求出，根据菱形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，
∴，
由已知可得，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
∵，
∴，
∴时，四边形为菱形，
解得，
故当时，四边形为菱形；
（2）解：当时，，
∴菱形的周长为；
菱形的面积为．
23．(1)
(2)9
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
（1）由勾股定理得到，根据等面积法即可求解；
（2）在中，由勾股定理，得 ，在中，由勾股定理，得，由此列式即可求解．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，
解得，；
（2）解：在中，由勾股定理，得 ，
在中，由勾股定理，得，
∴，
整理得，，
解得，．
24．(1)，
(2)
(3)7
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可．
【详解】（1）解：的有理化因式是，
，
故答案为：，；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
∴
．
25．(1)；
(2)成立，理由见解析；
(3)当的周长最小时，的长为
【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识：
（1）由折叠得，证明，得到，再根据平角定义和三角形内角和定理可得结论；
（2）方法同（1）；
（3）的周长表示为，，当取最小值时，的周长最小，设，则，由勾股定理列方程求解即可
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：成立，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：由折叠得，，
∴的周长为，
当取最小值时，的周长最小，
∵点的轨迹是以点为圆心，的长为半径的圆弧；
以点为圆心，的长为半径画圆，当点D，M，B共线时，最小，
设，则，
由折叠得，，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴
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