5 一元一次不等式与一次函数
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
能合理选择一元一次方程、一元一次不等式、一次函数模型解决实际问题,并会对实际问题中的方案设计做出分析决策. 模型观念、几何直观、应用意识
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点】一元一次不等式与一次函数的应用(几何直观、模型观念、应用意识)
【典例】(教材再开发·P52例题强化)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出300元之后,超出部分按原价八折优惠;在乙超市累计购买商品超出200元之后,超出部分按原价八五折优惠.设顾客预计累计购物x元(x>300).
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用:
甲超市购物所付的费用为_______元;乙超市购物所付的费用为_______元;
(2)李明准备购买500元的商品,你认为他应该去哪家超市 若购买700元的商品,应该去哪家超市
(3)李明该如何选择购买会更省钱
【举一反三】
1.如图,是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象.
下列说法:
①售2件时甲、乙两家售价一样;
②买1件时买乙家的合算;
③买3件时买甲家的合算;
④买乙家的1件售价约为3元.
其中正确的说法是 .(填序号)
2.为促进新能源车的稳定发展,各地推出新能源车停车优惠政策,某商场附近有甲、乙两个停车场,停车不超过24 h的收费标准均为6元/h(不足1 h按1 h计).新能源车停放时优惠如下:甲是按收费标准的60%计费;乙是前1 h(含1 h)免费停放,1 h后按收费标准的80%计费.李老师计划自驾新能源车去该商场购物,设她的停车时间为x h(1(1)请分别写出新能源车在甲、乙两个停车场的停车费y(元)与停车时间x(h)之间的函数关系式;
(2)求x在什么范围内时,李老师在甲停车场停车费较少
【技法点拨】
解答方案决策问题的一般步骤
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(5分·应用意识、模型观念)一家电信公司给顾客提供两种上网计费方式:方式A:以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费;方式B:除收每月基本费用20元外,再以每分钟0.05元的价格按上网所用的时间计费.设上网所用时间为x分钟,计费为y元,如图所示的是在同一直角坐标系中,分别描述两种计费方式的函数图象,有下列结论:①图象甲描述的是方式A;②图象乙描述的是方式B;③当上网所用时间为500分钟时,选择方式B省钱.其中正确的结论是 .(填序号)
2.(10分·应用意识、模型观念)实验学校八年级2班学生要去实验基地进行实践活动,估计乘车人数在10与30之间,现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆.已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同.且报价都是每人100元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位学生六折优惠、乙旅行社表示可先免去两位同学的车费,然后给予其他同学七折优惠.
(1)若用x表示乘车人数,请用x表示选择甲、乙旅行社的费用y甲与y乙;
(2)请你帮助学校确认选择哪一家旅行社费用合算.5 一元一次不等式与一次函数
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
能合理选择一元一次方程、一元一次不等式、一次函数模型解决实际问题,并会对实际问题中的方案设计做出分析决策. 模型观念、几何直观、应用意识
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点】一元一次不等式与一次函数的应用(几何直观、模型观念、应用意识)
【典例】(教材再开发·P52例题强化)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出300元之后,超出部分按原价八折优惠;在乙超市累计购买商品超出200元之后,超出部分按原价八五折优惠.设顾客预计累计购物x元(x>300).
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用:
甲超市购物所付的费用为_______元;乙超市购物所付的费用为_______元;
(2)李明准备购买500元的商品,你认为他应该去哪家超市 若购买700元的商品,应该去哪家超市
(3)李明该如何选择购买会更省钱
【自主解答】(1)甲超市购物所付的费用为300+0.8(x-300)=(0.8x+60)元;
乙超市购物所付的费用为200+0.85(x-200)=(0.85x+30)元.
答案:(0.8x+60) (0.85x+30)
(2)购买500元的商品,他应该去乙超市,理由如下:
当x=500时,甲超市购物所付的费用为0.8×500+60=460元,乙超市购物所付的费用为0.85×500+30=455元,
∵460>455,∴他去乙超市划算;
购买700元的商品,他应该去甲超市,理由如下:
当x=700时,甲超市购物所付的费用为0.8×700+60=620元,乙超市购物所付的费用为0.85×700+30=625元,
∵620<625,∴他去甲超市划算.
(3)依题意有0.8x+60=0.85x+30,解得x=600;0.8x+60>0.85x+30,解得x<600;
0.8x+60<0.85x+30,
解得x>600.
答:李明购买少于600元的商品时,去乙超市划算;李明购买600元的商品时,到两家超市购物所付的费用一样;李明购买多于600元的商品时,去甲超市划算.
【举一反三】
1.如图,是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象.
下列说法:
①售2件时甲、乙两家售价一样;
②买1件时买乙家的合算;
③买3件时买甲家的合算;
④买乙家的1件售价约为3元.
其中正确的说法是 ①②③ .(填序号)
2.为促进新能源车的稳定发展,各地推出新能源车停车优惠政策,某商场附近有甲、乙两个停车场,停车不超过24 h的收费标准均为6元/h(不足1 h按1 h计).新能源车停放时优惠如下:甲是按收费标准的60%计费;乙是前1 h(含1 h)免费停放,1 h后按收费标准的80%计费.李老师计划自驾新能源车去该商场购物,设她的停车时间为x h(1(1)请分别写出新能源车在甲、乙两个停车场的停车费y(元)与停车时间x(h)之间的函数关系式;
(2)求x在什么范围内时,李老师在甲停车场停车费较少
【解析】(1)甲停车场:y=6×60%x=3.6x,
乙停车场:y=6×80%(x-1)=4.8x-4.8,
∴甲停车场的停车费y与停车时间x之间的函数关系式是y=3.6x,乙停车场的停车费y与停车时间x之间的函数关系式是y=4.8x-4.8;
(2)∵在甲停车场停车费较少,
∴3.6x<4.8x-4.8,解得x>4,
∴当4【技法点拨】
解答方案决策问题的一般步骤
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(5分·应用意识、模型观念)一家电信公司给顾客提供两种上网计费方式:方式A:以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费;方式B:除收每月基本费用20元外,再以每分钟0.05元的价格按上网所用的时间计费.设上网所用时间为x分钟,计费为y元,如图所示的是在同一直角坐标系中,分别描述两种计费方式的函数图象,有下列结论:①图象甲描述的是方式A;②图象乙描述的是方式B;③当上网所用时间为500分钟时,选择方式B省钱.其中正确的结论是 ①②③ .(填序号)
2.(10分·应用意识、模型观念)实验学校八年级2班学生要去实验基地进行实践活动,估计乘车人数在10与30之间,现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆.已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同.且报价都是每人100元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位学生六折优惠、乙旅行社表示可先免去两位同学的车费,然后给予其他同学七折优惠.
(1)若用x表示乘车人数,请用x表示选择甲、乙旅行社的费用y甲与y乙;
(2)请你帮助学校确认选择哪一家旅行社费用合算.
【解析】(1)由题意可得,
y甲=100x×0.6=60x,
y乙=100(x-2)×0.7=70x-140,
即y甲=60x,y乙=70x-140;
(2)当y甲14,即当乘车人数超过14时,选择甲旅行社比较合算;
当y甲=y乙时,60x=70x-140,得x=14,即当乘车人数为14时,选择甲旅行社和乙旅行社花费一样;
当y甲>y乙时,60x>70x-140,得x<14,即当乘车人数少于14时,选择乙旅行社比较合算.5 一元一次不等式与一次函数
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过观察一次函数的图象、求方程的解和不等式的解集体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系 几何直观、模型观念
2.能合理选择一元一次方程、一元一次不等式、一次函数模型解决实际问题 几何直观、模型观念、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
一元一次不等式与一次函数的关系 一次函数方程或不等式一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标一元一次方程kx+b=0的解一次函数y=kx+b的函数值大于(或小于)m的自变量的取值范围一元一次不等式kx+b>m(或kx+b如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则不等式kx+b>0的解集是(B) A.x>-2 B.x>-1 C.x>0 D.x>1
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】利用一次函数解一元一次不等式(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P51习题T1拓展)一次函数y1=kx+b和y2=-4x+a的图象如图所示,且A(0,4),C(-2,0).
(1)由图象可知不等式kx+b<0的解集是_______;
(2)若不等式kx+b>-4x+a的解集是x>1,求点B的坐标.
【自主解答】(1)∵A(0,4),C(-2,0)在一次函数y1=kx+b上,
∴不等式kx+b<0的解集是x<-2.
答案:x<-2
(2)∵A(0,4),C(-2,0)在一次函数y1=kx+b上,∴,解得,
∴一次函数y1=2x+4,
∵不等式kx+b>-4x+a的解集是x>1,
∴点B的横坐标是x=1,
当x=1时,y1=2×1+4=6,
∴点B的坐标为(1,6).
【举一反三】
1.如图,直线y=kx+3经过点(2,0),则关于x的不等式kx+3<0的解集是(A)
A.x>2 B.x<2
C.x≤2 D.x≥2
2.(2024·宁波期末)如图,函数y=-2x和y=kx+4的图象相交于点A(m,3),则关于x的不等式kx+4+2x≥0的解集为 x≥-1.5 .
【技法点拨】
一次函数与不等式的关系
(1)直线y=kx+b在x轴上方的点的横坐标就是不等式kx+b>0的解集.
(2)直线y=kx+b在x轴下方的点的横坐标就是不等式kx+b<0的解集.
(3)直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2,
当直线l1在直线l2上方时,y1>y2;
当直线l1在直线l2下方时,y1【重点2】利用一元一次不等式与一次函数图象的关系解决实际问题(应用意识、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P51习题T3强化)受特大暴雨的影响,南方某镇受灾严重.广大党员干部闻“汛”而动,组建A,B两个团队冲锋在灾后重建的第一线.该镇有两段长度相等的河渠挖掘任务,分别交给A,B两个团队同时进行挖掘,如图所示的是所挖掘的路程y(m)与挖掘时间x(h)之间关系的部分函数图象,根据图中的信息回答下列问题:
(1)在挖掘过程中,B队前2 h挖了_______m,当挖掘8 h时,A队比B队多挖了_______m.
(2)在这8 h内,A队施工的平均速度是_______m/h.
(3)开挖几h后,A队所挖掘的河渠长度开始超过B队
【自主解答】(1)由题图可知,B队前2 h挖了30 m;
当挖掘8 h的时候,A队比B队多挖了80-60=20(m);
答案:30 20
(2)A队在8 h一共挖了80 m,
∴A队施工的平均速度为80÷8=10(m/h).
答案:10
(3)2 h以后,B队挖掘速度为(60-30)÷(8-2)=5(m/h),
设开挖m小时后,A队所挖掘的河渠长度开始超过B队,
10m=30+5(m-2),
解得m=4,
答:开挖4小时后,A队所挖掘的河渠长度开始超过B队.
【举一反三】
如图,甲、乙两名同学均沿同一方向在同一直线上行走,OA,BA分别表示甲、乙两名同学在行走过程中离出发点的距离s(米)与行走时间t(秒)之间的函数关系图象.试根据图象回答下列问题:
(1)甲、乙两名同学中,谁的速度较快
(2)在什么时间段内,甲在乙的前面 在什么时间段内,甲在乙的后面 在什么时间,甲、乙两人相遇
【解析】(1)甲的速度为64÷8=8(米/秒),
乙的速度为(64-12)÷8=6.5(米/秒),所以甲的速度较快.
(2)由题中图象知,当s甲>s乙时,t>8;
当s甲8时,甲在乙的前面;当0【技法点拨】
解决图象信息题目的方法
1.找出图象中给出的交点情况,变化趋势等;
2.运用一次函数与一元一次不等式解决实际问题.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、模型观念)如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点坐标为(0,1),则关于x的不等式kx+b>1的解集是(B)
A.x>0 B.x<0 C.x>1 D.x<1
2.(4分·几何直观、模型观念)如图,直线y=-2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数,k≠0)相交于点A(m,4),则关于x的不等式-2x+2A.x>-1 B.x<-2
C.x<-1 D.x>-2
3.(4分·应用意识、模型观念)小菲受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如图所示的操作,则根据图中给出的信息可知量筒中至少放入 10 个小球时有水溢出.
4.(8分·应用意识、模型观念)为积极推进创建全国文明典范城市工作,某社区计划购买A,B两种型号的垃圾分装桶共120个,其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半.根据市场调查,A型垃圾分装桶的价格为每个400元,B型垃圾分装桶的价格为每个100元.
(1)设购买A型垃圾分装桶x个,求x的取值范围;
(2)某企业为了更好地服务社区,打算捐赠这批垃圾分装桶,试问:该企业最少需要花费多少元
【解析】(1)根据题意得,x≥(120-x),
解得x≥40,
∴x的取值范围为40≤x≤120;
(2)设该企业需要花费y元,
根据题意得y=400x+100(120-x)=300x+12 000(40≤x≤120),
∵k=300>0,
∴y随x的增大而增大,
∴当x=40时,y取最小值,y=24 000,
答:企业最少需要花费24 000元.5 一元一次不等式与一次函数
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过观察一次函数的图象、求方程的解和不等式的解集体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系 几何直观、模型观念
2.能合理选择一元一次方程、一元一次不等式、一次函数模型解决实际问题 几何直观、模型观念、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
一元一次不等式与一次函数的关系 一次函数方程或不等式一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标一元一次方程kx+b=0的解一次函数y=kx+b的函数值大于(或小于)m的自变量的取值范围一元一次不等式 (或 )的解集
如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则不等式kx+b>0的解集是( ) A.x>-2 B.x>-1 C.x>0 D.x>1
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】利用一次函数解一元一次不等式(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P51习题T1拓展)一次函数y1=kx+b和y2=-4x+a的图象如图所示,且A(0,4),C(-2,0).
(1)由图象可知不等式kx+b<0的解集是_______;
(2)若不等式kx+b>-4x+a的解集是x>1,求点B的坐标.
【举一反三】
1.如图,直线y=kx+3经过点(2,0),则关于x的不等式kx+3<0的解集是( )
A.x>2 B.x<2
C.x≤2 D.x≥2
2.(2024·宁波期末)如图,函数y=-2x和y=kx+4的图象相交于点A(m,3),则关于x的不等式kx+4+2x≥0的解集为 .
【技法点拨】
一次函数与不等式的关系
(1)直线y=kx+b在x轴上方的点的横坐标就是不等式kx+b>0的解集.
(2)直线y=kx+b在x轴下方的点的横坐标就是不等式kx+b<0的解集.
(3)直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2,
当直线l1在直线l2上方时,y1>y2;
当直线l1在直线l2下方时,y1【重点2】利用一元一次不等式与一次函数图象的关系解决实际问题(应用意识、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P51习题T3强化)受特大暴雨的影响,南方某镇受灾严重.广大党员干部闻“汛”而动,组建A,B两个团队冲锋在灾后重建的第一线.该镇有两段长度相等的河渠挖掘任务,分别交给A,B两个团队同时进行挖掘,如图所示的是所挖掘的路程y(m)与挖掘时间x(h)之间关系的部分函数图象,根据图中的信息回答下列问题:
(1)在挖掘过程中,B队前2 h挖了_______m,当挖掘8 h时,A队比B队多挖了_______m.
(2)在这8 h内,A队施工的平均速度是_______m/h.
(3)开挖几h后,A队所挖掘的河渠长度开始超过B队
【举一反三】
如图,甲、乙两名同学均沿同一方向在同一直线上行走,OA,BA分别表示甲、乙两名同学在行走过程中离出发点的距离s(米)与行走时间t(秒)之间的函数关系图象.试根据图象回答下列问题:
(1)甲、乙两名同学中,谁的速度较快
(2)在什么时间段内,甲在乙的前面 在什么时间段内,甲在乙的后面 在什么时间,甲、乙两人相遇
【技法点拨】
解决图象信息题目的方法
1.找出图象中给出的交点情况,变化趋势等;
2.运用一次函数与一元一次不等式解决实际问题.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、模型观念)如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点坐标为(0,1),则关于x的不等式kx+b>1的解集是( )
A.x>0 B.x<0 C.x>1 D.x<1
2.(4分·几何直观、模型观念)如图,直线y=-2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数,k≠0)相交于点A(m,4),则关于x的不等式-2x+2A.x>-1 B.x<-2
C.x<-1 D.x>-2
3.(4分·应用意识、模型观念)小菲受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如图所示的操作,则根据图中给出的信息可知量筒中至少放入 个小球时有水溢出.
4.(8分·应用意识、模型观念)为积极推进创建全国文明典范城市工作,某社区计划购买A,B两种型号的垃圾分装桶共120个,其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半.根据市场调查,A型垃圾分装桶的价格为每个400元,B型垃圾分装桶的价格为每个100元.
(1)设购买A型垃圾分装桶x个,求x的取值范围;
(2)某企业为了更好地服务社区,打算捐赠这批垃圾分装桶,试问:该企业最少需要花费多少元
