1 平行四边形的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握平行四边形对角线的性质 运算能力、推理能力
2.熟练应用平行四边形对角线的性质 模型观念、应用意识
基础主干落实
新知要点
平行四边形对角线的性质
(1)文字叙述:对角线互相平分.
(2)符号语言:∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OC,OB=OD.
对点小练
1.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=8,则OC=( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2.下列说法正确的是( )
A.平行四边形是轴对称图形
B.平行四边形的邻边相等
C.平行四边形的对角线互相垂直
D.平行四边形的对角线互相平分
重点典例研析
重点1 平行四边形的性质——对角线(运算能力、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P138例2·2023·南京中考)如图,在 ABCD中,点M,N分别在边BC,AD上,且AM∥CN,对角线BD分别交AM,CN于点E,F.求证:BE=DF.
【举一反三】
1.(2023·成都中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.(2024·温州期中)如图, ABCD的周长为16,对角线AC,BD交于点O,且△ABO的周长比△BCO的周长多2,则AB=( )
A.3 B.5
C.7 D.9
3.(2024·雅安中考节选)如图,点O是 ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.求证:△ODE≌△OBF.
【技法点拨】
平行四边形对角线性质的拓展
1.由任意一条对角线分割成的两个三角形全等;
2.由两条对角线分割成的四个小三角形:
(1)面积都相等;
(2)相对的两个三角形全等;
(3)相邻两个三角形的周长之差为平行四边形两邻边的差;
3.过平行四边形两条对角线的交点的直线平分这个平行四边形的周长和面积.
重点2 平行四边形性质的综合运用(运算能力、推理能力)
【典例2】如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,求 ABCD的周长.
【举一反三】
1.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E,且
∠ADC=60°,AD=2AB,连接OE.结论:①∠CAD=30°;②OD=AB;③S ABCD=AC·CD;
④S四边形OECD=S△AOD;⑤OA=OB.其中成立的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD上一点,将△DEC沿CE翻折得到△FEC,点F在AC上,且满足AF=EF,若∠D=48°,则∠ACE的度数为 .
【技法点拨】
平行四边形的综合——折叠问题
1.折叠性质:
(1)翻折前后两个图形全等,对应边相等,对应角相等.
(2)对应点连线被对称轴垂直平分.
2.结合平行四边形的性质可以证明相等的线段或求角的度数.
3.运用勾股定理或者全等三角形证明线段相等或求角的度数.
特别提醒:折叠是一种对称变换,它属于轴对称图形.1 平行四边形的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握平行四边形对角线的性质 运算能力、推理能力
2.熟练应用平行四边形对角线的性质 模型观念、应用意识
基础主干落实
新知要点
平行四边形对角线的性质
(1)文字叙述:对角线互相平分.
(2)符号语言:∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OC,OB=OD.
对点小练
1.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=8,则OC=(A)
A.4 B.5 C.6 D.8
2.下列说法正确的是(D)
A.平行四边形是轴对称图形
B.平行四边形的邻边相等
C.平行四边形的对角线互相垂直
D.平行四边形的对角线互相平分
重点典例研析
重点1 平行四边形的性质——对角线(运算能力、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P138例2·2023·南京中考)如图,在 ABCD中,点M,N分别在边BC,AD上,且AM∥CN,对角线BD分别交AM,CN于点E,F.求证:BE=DF.
【自主解答】连接AC交BD于O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,BO=DO.
∵AM∥CN,∴∠EAC=∠FCA,
在△AEO与△CFO中,,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
∴BO-OE=OD-OF,
∴BE=DF.
【举一反三】
1.(2023·成都中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(B)
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.(2024·温州期中)如图, ABCD的周长为16,对角线AC,BD交于点O,且△ABO的周长比△BCO的周长多2,则AB=(B)
A.3 B.5
C.7 D.9
3.(2024·雅安中考节选)如图,点O是 ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.求证:△ODE≌△OBF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,∴∠OED=∠OFB,
∵点O是 ABCD对角线的交点,∴OD=OB,
在△ODE和△OBF中,,
∴△ODE≌△OBF(AAS).
【技法点拨】
平行四边形对角线性质的拓展
1.由任意一条对角线分割成的两个三角形全等;
2.由两条对角线分割成的四个小三角形:
(1)面积都相等;
(2)相对的两个三角形全等;
(3)相邻两个三角形的周长之差为平行四边形两邻边的差;
3.过平行四边形两条对角线的交点的直线平分这个平行四边形的周长和面积.
重点2 平行四边形性质的综合运用(运算能力、推理能力)
【典例2】如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,求 ABCD的周长.
【自主解答】∵∠B=80°,四边形ABCD为平行四边形,
∴∠D=80°.由折叠可知∠ACB=∠ACE,
又AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,
∴∠ACE=∠DAC,∴△AFC为等腰三角形.∴AF=FC=a.
设∠ECD=x,则∠ACE=2x,∴∠DAC=2x,
在△ADC中,由三角形内角和定理可知,2x+2x+x+80°=180°,
解得x=20°.
由三角形外角定理可得∠DFC=4x=80°,
故△DFC为等腰三角形,∴DC=FC=a,
∴AD=AF+FD=a+b,
故 ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b.
【举一反三】
1.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E,且
∠ADC=60°,AD=2AB,连接OE.结论:①∠CAD=30°;②OD=AB;③S ABCD=AC·CD;
④S四边形OECD=S△AOD;⑤OA=OB.其中成立的有(C)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD上一点,将△DEC沿CE翻折得到△FEC,点F在AC上,且满足AF=EF,若∠D=48°,则∠ACE的度数为 54° .
【技法点拨】
平行四边形的综合——折叠问题
1.折叠性质:
(1)翻折前后两个图形全等,对应边相等,对应角相等.
(2)对应点连线被对称轴垂直平分.
2.结合平行四边形的性质可以证明相等的线段或求角的度数.
3.运用勾股定理或者全等三角形证明线段相等或求角的度数.
特别提醒:折叠是一种对称变换,它属于轴对称图形.1 平行四边形的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握平行四边形及其有关概念 几何直观
2.掌握平行四边形的性质 运算能力、推理能力
3.能综合运用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并能进行有关证明 应用意识、模型观念
基础主干落实
新知要点
1.平行四边形的定义
(1)文字叙述:两组对边分别平行的四边形
记作: ABCD
读作:平行四边形ABCD
(2)符号语言:∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.性质
(1)边:对边平行且相等.
(2)角:对角相等,邻角互补.
(3)对称性:中心对称图形,对称中心是对角线的交点.
3.有关计算
(1)周长:邻边和×2; (2)面积:底×高.
对点小练
1.在四边形ABCD中,若AB∥CD,AD ∥ BC,则四边形ABCD为平行四边形.
2.(1)如图,在 ABCD中,一定正确的是(C)
A.AD=CD
B.AC=BD
C.AB=CD
D.CD=BC
(2)在 ABCD中,∠A=40°,∠C的度数是(B)
A.20° B.40° C.80° D.140°
3.在 ABCD中,周长为10,AB=4,BC= 1 .
重点典例研析
重点1 利用平行四边形的性质进行证明(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P136例1·2024吉林中考)如图,在 ABCD中,点O是AB的中点,连接CO并延长,交DA的延长线于点E.
求证:AE=BC.
【自主解答】∵点O是AB的中点,∴AO=OB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠E=∠BCO,
又∠AOE=∠BOC,
∴△AOE≌△BOC(AAS),∴AE=BC.
【举一反三】
1.(2023·随州中考)如图,在 ABCD中,分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线交BD于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不正确的是(D)
A.AE=CF B.DE=BF
C.OE=OF D.DE=DC
2.(2024·泸州中考)如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.
求证:∠1=∠2.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,,
∴△ADE≌△CBF(SAS),∴∠1=∠2.
【技法点拨】
平行四边形中的证明策略
结论 步骤或策略
证明线段相等或平行 (1)根据平行四边形的性质得到对角相等、对边平行且相等; (2)再利用这些条件证明三角形全等,进而证明线段之间的关系.
证明角相等 (1)平行四边形的对角相等; (2)对顶角相等; (3)等边对等角; (4)两直线平行,同位(内错)角相等; (5)全等三角形对应角相等; (6)同角(等角)的补角或余角相等.
重点2利用平行四边形的性质进行计算(几何直观、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P137习题6.1T1补充)如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F.
(1)若AB=4,AD=6,求CE的长;
(2)若∠F=62°,求∠BAE和∠D的度数.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,AD=BC=6,
∴∠FAD=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAF,
∴∠BEA=∠BAE,∴BA=BE.
∵AB=4,∴BE=4,∴CE=BC-BE=2.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,∠B=∠D,∴∠BAE=∠F.
∵∠F=62°,
∴∠BEA=∠BAE=62°,
∴∠B=56°,∴∠D=56°.
【举一反三】
1.(2024·合肥期末)如图,在 ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=(B)
A.71° B.61° C.29° D.51°
2.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F,若AB=3,AD=4,则EF的长是(B)
A.1 B.2 C.2.5 D.3
3.(2024·宿迁期中)如图,在 ABCD中,AC⊥BC,BC=5,AC=3,则CD的长为 .
【技法点拨】
平行四边形中的计算技巧
1.平行四边形中求角度:利用平行四边形对角相等,邻角互补.
2.平行四边形中求线段长度:(1)利用平行四边形对边相等;(2)在平行四边形中,对边平行+角平分线→等腰三角形;(3)在平行四边形中出现直角三角形时,利用勾股定理求长度;
(4)等面积法求长度.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、运算能力)已知在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=130°,则∠D的度数是(C)
A.50° B.65° C.115° D.130°
2.(3分·几何直观、运算能力)如图,四边形ABCD为平行四边形,过点D分别作AB,BC的垂线,垂足分别为E,F,若AB=12,DE=6,BE=4,则DF的长为(B)
A.7 B.7.2 C.8 D.8.8
3.(3分·运算能力、模型观念·2023·株洲中考)如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段CD于点E,则EC= 2 .
4.(3分·几何直观、应用意识)如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别为(0,0),(5,0),(3,2),则顶点C的坐标是 (8,2) .
5.(8分·应用意识、模型观念)如图,在平行四边形ABCD中,点E在BC边上,
且AD=DE,点F为线段DE上一点,且∠AFD=∠C.求证:AF=DC.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠ADF=∠CED,
在△FDA和△CED中,,
∴△FDA≌△CED(AAS),∴AF=CD.1 平行四边形的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握平行四边形及其有关概念 几何直观
2.掌握平行四边形的性质 运算能力、推理能力
3.能综合运用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并能进行有关证明 应用意识、模型观念
基础主干落实
新知要点
1.平行四边形的定义
(1)文字叙述:两组对边分别 的四边形
记作: 读作:平行四边形ABCD
(2)符号语言:∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.性质
(1)边:对边平行且相等.
(2)角:对角相等,邻角互补.
(3)对称性:中心对称图形,对称中心是对角线的交点.
3.有关计算
(1)周长: ; (2)面积: .
对点小练
1.在四边形ABCD中,若AB∥CD,AD BC,则四边形ABCD为平行四边形.
2.(1)如图,在 ABCD中,一定正确的是( )
A.AD=CD
B.AC=BD
C.AB=CD
D.CD=BC
(2)在 ABCD中,∠A=40°,∠C的度数是( )
A.20° B.40° C.80° D.140°
3.在 ABCD中,周长为10,AB=4,BC= .
重点典例研析
重点1 利用平行四边形的性质进行证明(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P136例1·2024吉林中考)如图,在 ABCD中,点O是AB的中点,连接CO并延长,交DA的延长线于点E.
求证:AE=BC.
【举一反三】
1.(2023·随州中考)如图,在 ABCD中,分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线交BD于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不正确的是( )
A.AE=CF B.DE=BF
C.OE=OF D.DE=DC
2.(2024·泸州中考)如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.
求证:∠1=∠2.
【技法点拨】
平行四边形中的证明策略
结论 步骤或策略
证明线段相等或平行 (1)根据平行四边形的性质得到对角相等、对边平行且相等; (2)再利用这些条件证明三角形全等,进而证明线段之间的关系.
证明角相等 (1)平行四边形的对角相等; (2)对顶角相等; (3)等边对等角; (4)两直线平行,同位(内错)角相等; (5)全等三角形对应角相等; (6)同角(等角)的补角或余角相等.
重点2利用平行四边形的性质进行计算(几何直观、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P137习题6.1T1补充)如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F.
(1)若AB=4,AD=6,求CE的长;
(2)若∠F=62°,求∠BAE和∠D的度数.
【举一反三】
1.(2024·合肥期末)如图,在 ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=( )
A.71° B.61° C.29° D.51°
2.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F,若AB=3,AD=4,则EF的长是( )
A.1 B.2 C.2.5 D.3
3.(2024·宿迁期中)如图,在 ABCD中,AC⊥BC,BC=5,AC=3,则CD的长为 .
【技法点拨】
平行四边形中的计算技巧
1.平行四边形中求角度:利用平行四边形对角相等,邻角互补.
2.平行四边形中求线段长度:(1)利用平行四边形对边相等;(2)在平行四边形中,对边平行+角平分线→等腰三角形;(3)在平行四边形中出现直角三角形时,利用勾股定理求长度;
(4)等面积法求长度.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、运算能力)已知在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=130°,则∠D的度数是( )
A.50° B.65° C.115° D.130°
2.(3分·几何直观、运算能力)如图,四边形ABCD为平行四边形,过点D分别作AB,BC的垂线,垂足分别为E,F,若AB=12,DE=6,BE=4,则DF的长为( )
A.7 B.7.2 C.8 D.8.8
3.(3分·运算能力、模型观念·2023·株洲中考)如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段CD于点E,则EC= .
4.(3分·几何直观、应用意识)如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别为(0,0),(5,0),(3,2),则顶点C的坐标是 .
5.(8分·应用意识、模型观念)如图,在平行四边形ABCD中,点E在BC边上,
且AD=DE,点F为线段DE上一点,且∠AFD=∠C.求证:AF=DC.
