2 平行四边形的判定
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能证明对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何直观、推理能力
2.理解平行四边形的判定定理,并学会简单运用 应用意识、模型观念
基础主干落实
新知要点
平行四边形的判定定理3
(1)文字叙述:对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(2)符号语言:∵AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.
对点小练
在四边形ABCD中,已知OA=OC,再添加一个条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A.AB=CD
B.AD=BC
C.OB=OD
D.∠BAD+∠ADC=180°
重点典例研析
重点1对角线互相平分的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材溯源·P144例2·2023·杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,
∵BE=DF,∴EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形;
(2)∵BE=EF,∴S△ABE=S△AEF=2,
∵四边形AECF是平行四边形,
∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO,∴S△CFO=1.
【举一反三】
已知,如图所示,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点.
求证:四边形AFBE是平行四边形.
【证明】因为AC∥BD,所以∠C=∠D.
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(AAS),
∴CO=DO.
∵E,F分别是OC,OD的中点,
∴OF=OD,OE=OC,∴EO=FO,
又∵AO=BO,
∴四边形AFBE是平行四边形.
【技法点拨】
用对角线互相平分判定平行四边形的几种情况
1.当出现线段的中点时;
2.当出现两条线段互相平分时;
3.当要证的平行四边形与已知的平行四边形有一条公共对角线,而另一条对角线在一条直线上时.
重点2 平行四边形判定方法的选择(几何直观、模型观念)
【典例2】(2024·吉安期末)如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点.
(1)若AB=CD,只添加一个条件: ,使四边形ABCD为平行四边形;
(2)在(1)的条件下,若BE⊥AC,DF⊥AC,求证:四边形BEDF是平行四边形.
【自主解答】(1)只添加一个条件:AB∥CD(答案不唯一),
∵AB=CD,AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形;
答案:AB∥CD(答案不唯一)
(2)如图所示,连接BF,DE,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥DF,∠BEA=∠DFC=90°,
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF,
在△BAE和△DCF中,,
∴△BAE≌△DCF(AAS),
∴BE=DF,
又∵BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
【举一反三】
如图所示,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)
关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四边形ABCD中, , ,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
【解析】已知:①③,①④,②④,③④均可,其余均不可以.
方法一:
已知:在四边形ABCD中,①AD∥BC,③∠A=∠C,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=∠C,
∴∠C+∠B=180°.
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
方法二:
已知:在四边形ABCD中,①AD∥BC,④∠B+∠C=180°,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形;
方法三:
已知:在四边形ABCD中,②AB=CD,④∠B+∠C=180°,求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形;
方法四:
已知:在四边形ABCD中,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,
又∵∠A=∠C,
∴∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【技法点拨】
判定平行四边形的方法选择
已知条件 证明思路
一组对边相等 另一组对边也相等
相等的边也平行
一组对边平行 另一组对边也平行
平行的边也相等
一组对角相等 另一组对角也相等
一组对边平行
对角线相交 对角线互相平分
素养当堂测评
1.(4分·几何直观、模型观念·2024·乐山中考)如图所示,下列条件中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(D)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
2.(4分·几何直观、模型观念)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在下列条件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD=∠BCD,能判定四边形ABCD为平行四边形的有 ①②④⑤ (填序号).
3.(7分·几何直观、推理能力)如图所示,在四边形ABCD中,M,N分别是BD上两点,AM∥CN,AN∥CM.若BM=DN,求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】如图,连接AC交BD于点O,
∵AM∥CN,AN∥CM,
∴四边形AMCN是平行四边形,
∴OM=ON,OA=OC,
∵BM=DN,
∴OM+BM=ON+DN,
即OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.2 平行四边形的判定
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能证明对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何直观、推理能力
2.理解平行四边形的判定定理,并学会简单运用 应用意识、模型观念
基础主干落实
新知要点
平行四边形的判定定理3
(1)文字叙述:对角线 的四边形是平行四边形;
(2)符号语言:∵AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.
对点小练
在四边形ABCD中,已知OA=OC,再添加一个条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD
B.AD=BC
C.OB=OD
D.∠BAD+∠ADC=180°
重点典例研析
重点1对角线互相平分的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材溯源·P144例2·2023·杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
【举一反三】
已知,如图所示,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点.
求证:四边形AFBE是平行四边形.
【技法点拨】
用对角线互相平分判定平行四边形的几种情况
1.当出现线段的中点时;
2.当出现两条线段互相平分时;
3.当要证的平行四边形与已知的平行四边形有一条公共对角线,而另一条对角线在一条直线上时.
重点2 平行四边形判定方法的选择(几何直观、模型观念)
【典例2】(2024·吉安期末)如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点.
(1)若AB=CD,只添加一个条件: ,使四边形ABCD为平行四边形;
(2)在(1)的条件下,若BE⊥AC,DF⊥AC,求证:四边形BEDF是平行四边形.
【举一反三】
如图所示,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)
关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四边形ABCD中, , ,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
.
【技法点拨】
判定平行四边形的方法选择
已知条件 证明思路
一组对边相等 另一组对边也相等
相等的边也平行
一组对边平行 另一组对边也平行
平行的边也相等
一组对角相等 另一组对角也相等
一组对边平行
对角线相交 对角线互相平分
素养当堂测评
1.(4分·几何直观、模型观念·2024·乐山中考)如图所示,下列条件中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
2.(4分·几何直观、模型观念)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在下列条件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD=∠BCD,能判定四边形ABCD为平行四边形的有 (填序号).
3.(7分·几何直观、推理能力)如图所示,在四边形ABCD中,M,N分别是BD上两点,AM∥CN,AN∥CM.若BM=DN,求证:四边形ABCD是平行四边形.2 平行四边形的判定
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.利用平行四边形的判定定理探索平行线间的关系 几何直观、运算能力
2.熟练应用平行四边形的性质与判定定理 推理能力、模型观念、应用意识
基础主干落实
新知要点
1.平行线之间的距离的定义
如果两条直线互相平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等,这个距离称为平行线之间的距离.
对点小练
1.如图所示,直线l1∥l2,其中P在l1上,A,B,C,D在l2上,且PB⊥l2,则l1与l2间的距离是(B)
A.线段PA 的长度
B.线段 PB 的长度
C.线段PC 的长度
D.线段 PD 的长度
新知要点
2.性质:(1)两条平行线之间的距离处处相等;
(2)夹在两条平行线间的平行线段相等.
对点小练
2.如图所示,将一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间,三角尺最短边长为
24 cm,三角尺最短边和平行线成45°角,则平行线间的距离为(B)
A.12 cm B.12 cm
C.24 cm D.24 cm
重点典例研析
重点1 平行线间的距离(几何直观、运算能力)
【典例1】如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=2AD,点E是OD的中点,连接AE.
(1)求证:AE⊥BD;
(2)若BD=8,AC=12,求 ABCD的面积以及AB,CD两条平行线间的距离.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO,∵AC=2AD,∴AO=AD,
又∵E为OD的中点,∴AE⊥BD;
(2)∵BD=8,∴OE=2,BE=6,
∵AC=12,∴AO=6,
∴AE===4,
∴S ABCD=2S△ABD=2××BD·AE
=8×4=32,∴S△ABD=16.
设AB,CD两条平行线间的距离为x,
AB===2,
则x·AB=16,即x=16,
∴x=,即AB,CD两条平行线间的距离为.
【举一反三】
1. (2024·永州期末)如图所示,直线l1∥l2,△ABC的面积为10,则△DBC的面积(C)
A.大于10 B.小于10
C.等于10 D.不确定
2.如图所示,在 ABCD中,过对角线BD上任意一点P作EF∥BC,GH∥AB,且AH=2HD,若△HDP的面积为1,则 ABCD的面积为(D)
A.9 B.6
C.12 D.18
重点2平行四边形的性质和判定定理的综合运用(推理能力、应用意识)
【典例2】(教材溯源·P146例4·2023·绵阳中考)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且AE=CF.
(1)求证:BE∥DF;
(2)过点O作OM⊥BD,垂足为O,交DF于点M,若△BFM的周长为12,求四边形BEDF的周长.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE与△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠AEB=∠CFD,
∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF;
(2)由(1)知,△ABE≌△CDF,BE∥DF,∴BE=DF,
∴四边形BEDF是平行四边形,∴DO=BO,
∵OM⊥BD,∴DM=BM,
∵△BFM的周长为12,
∴BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12,
∴四边形BEDF的周长为24.
【举一反三】
(2024·北京期中)已知:如图所示,四边形ABCD为平行四边形,点E,A,C,F在同一直线上,AE=CF.求证:四边形BFDE为平行四边形.
【证明】连接BE,DF,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAF=∠DCE,
∵AE=CF,
∴AF=CE,
∴△CDE≌△ABF(SAS),
∴DE=BF,∠DEC=∠BFA,
∴DE∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形.
【技法点拨】
平行四边形性质和判定定理的综合应用
素养当堂测评
1.(3分·几何直观、推理能力)如图所示,是由小正方形组成的3×3的网格,每个小正方形的顶点称为格点,线段AB的两个端点都是格点,以AB为对角线作平行四边形,使另两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多可以作 个.(C)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(3分·几何直观、推理能力)如图所示,点E,F分别是 ABCD边AD,BC的中点,G,H是对角线BD上的两点,且BG=DH.则下列结论中,不正确的是(D)
A.GF=EH
B.四边形EGFH是平行四边形
C.EG=FH
D.EH⊥BD
3.(4分·几何直观,模型观念)设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于 7或17 cm.
4.(10分·应用意识、模型观念)如图所示,在 ABCD中,点E,点F分别是AD,BC的中点,连接BE,DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,AB=3,求平行四边形ABCD的周长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵点E,点F分别是AD,BC的中点,
∴AE=DE=AD,BF=CF=BC,
∴DE=BF,
又∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形;
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
又∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AE=AB=3,
∴AD=2AE=6,
∴平行四边形ABCD的周长=2×(3+6)=18.2 平行四边形的判定
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能证明平行四边形关于边的两种判定定理 几何直观、推理能力
2.理解平行四边形的这两种判定定理,并学会简单运用 应用意识、模型观念
基础主干落实
新知要点
1.判定定理1
(1)文字叙述:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(2)符号语言:∵AD=BC, ,
∴四边形ABCD是平行四边形.
对点小练
1.在四边形ABCD中,AB=4,BC=5,当CD= ,DA= 时,四边形ABCD是平行四边形.
新知要点
2.判定定理2
(1)文字叙述:一组对边 的四边形是平行四边形.
(2)符号语言:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
对点小练
2.如图,已知AB∥CD,添加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是( )
A.∠1=∠2
B.AD=BC
C.AB=CD
D.AD=AB
重点典例研析
重点1两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P142习题6.3T2变式)如图,E,F是 ABCD对角线AC上的两点,AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接DE,BF,求证:四边形DEBF是平行四边形.
【举一反三】
(2023·宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形.
【技法点拨】
平行四边形判定的方法
1.定义法:两组对边分别平行(无需证明).
2.判定1:两组对边分别相等(利用三角形全等证明).
重点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例2】(教材溯源·P141例1·2023·广安中考)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【举一反三】
(2024·盐城期中)在平面直角坐标系中,有四个点O(0,0),A(4,0),B(1,3),C(x,3),若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x= .
素养当堂测评
1. (3分·几何直观、模型观念)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD=BC B.AB=BC,AD=CD
C.AB∥DC,AB=DC D.AD=BC,AO=CO
2.(3分·几何直观、模型观念)已知四边形ABCD,有以下四个条件:①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(4分·模型观念、推理能力)如图,△ABC,△ACE,△ECD都是等边三角形,则图中的平行四边形有 个.
4.(10分·几何直观、模型观念)(2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.2 平行四边形的判定
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能证明平行四边形关于边的两种判定定理 几何直观、推理能力
2.理解平行四边形的这两种判定定理,并学会简单运用 应用意识、模型观念
基础主干落实
新知要点
1.判定定理1
(1)文字叙述:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(2)符号语言:∵AD=BC,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
对点小练
1.在四边形ABCD中,AB=4,BC=5,当CD= 4 ,DA= 5 时,四边形ABCD是平行四边形.
新知要点
2.判定定理2
(1)文字叙述:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(2)符号语言:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
对点小练
2.如图,已知AB∥CD,添加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是(C)
A.∠1=∠2
B.AD=BC
C.AB=CD
D.AD=AB
重点典例研析
重点1两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P142习题6.3T2变式)如图,E,F是 ABCD对角线AC上的两点,AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接DE,BF,求证:四边形DEBF是平行四边形.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)连接DE,BF,如图所示,
由(1)得:△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,同理:DE=BF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
【举一反三】
(2023·宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形.
【证明】∵EF∥AC,∴∠EDC+∠C=180°.
又∵∠EDC=∠CBE,
∴∠CBE+∠C=180°,∴EB∥DC,
∴四边形BCDE是平行四边形.
【技法点拨】
平行四边形判定的方法
1.定义法:两组对边分别平行(无需证明).
2.判定1:两组对边分别相等(利用三角形全等证明).
重点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例2】(教材溯源·P141例1·2023·广安中考)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【自主解答】∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,
∴AE=CF.
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD.
在△ABE与△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【举一反三】
(2024·盐城期中)在平面直角坐标系中,有四个点O(0,0),A(4,0),B(1,3),C(x,3),若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x= -3或5 .
素养当堂测评
1. (3分·几何直观、模型观念)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是(C)
A.AB∥DC,AD=BC B.AB=BC,AD=CD
C.AB∥DC,AB=DC D.AD=BC,AO=CO
2.(3分·几何直观、模型观念)已知四边形ABCD,有以下四个条件:①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数为(C)
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(4分·模型观念、推理能力)如图,△ABC,△ACE,△ECD都是等边三角形,则图中的平行四边形有 2 个.
4.(10分·几何直观、模型观念)(2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
【解析】(1)选择①,∵∠B=∠AED,∴BC∥DE,
又∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②,∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD,
又∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,∴DE=BC=10,
∵AD⊥AB,∴∠A=90°,
∴AE===6,
即线段AE的长为6.2 平行四边形的判定
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.利用平行四边形的判定定理探索平行线间的关系 几何直观、运算能力
2.熟练应用平行四边形的性质与判定定理 推理能力、模型观念、应用意识
基础主干落实
新知要点
1.平行线之间的距离的定义
如果两条直线 ,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的 都相等,这个距离称为平行线之间的距离.
对点小练
1.如图所示,直线l1∥l2,其中P在l1上,A,B,C,D在l2上,且PB⊥l2,则l1与l2间的距离是( )
A.线段PA 的长度
B.线段 PB 的长度
C.线段PC 的长度
D.线段 PD 的长度
新知要点
2.性质:(1)两条平行线之间的距离处处 ;
(2)夹在两条平行线间的 相等.
对点小练
2.如图所示,将一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间,三角尺最短边长为
24 cm,三角尺最短边和平行线成45°角,则平行线间的距离为( )
A.12 cm B.12 cm
C.24 cm D.24 cm
重点典例研析
重点1 平行线间的距离(几何直观、运算能力)
【典例1】如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=2AD,点E是OD的中点,连接AE.
(1)求证:AE⊥BD;
(2)若BD=8,AC=12,求 ABCD的面积以及AB,CD两条平行线间的距离.
【举一反三】
1. (2024·永州期末)如图所示,直线l1∥l2,△ABC的面积为10,则△DBC的面积( )
A.大于10 B.小于10
C.等于10 D.不确定
2.如图所示,在 ABCD中,过对角线BD上任意一点P作EF∥BC,GH∥AB,且AH=2HD,若△HDP的面积为1,则 ABCD的面积为( )
A.9 B.6
C.12 D.18
重点2平行四边形的性质和判定定理的综合运用(推理能力、应用意识)
【典例2】(教材溯源·P146例4·2023·绵阳中考)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且AE=CF.
(1)求证:BE∥DF;
(2)过点O作OM⊥BD,垂足为O,交DF于点M,若△BFM的周长为12,求四边形BEDF的周长.
【举一反三】
(2024·北京期中)已知:如图所示,四边形ABCD为平行四边形,点E,A,C,F在同一直线上,AE=CF.求证:四边形BFDE为平行四边形.
【技法点拨】
平行四边形性质和判定定理的综合应用
素养当堂测评
1.(3分·几何直观、推理能力)如图所示,是由小正方形组成的3×3的网格,每个小正方形的顶点称为格点,线段AB的两个端点都是格点,以AB为对角线作平行四边形,使另两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多可以作 个.( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(3分·几何直观、推理能力)如图所示,点E,F分别是 ABCD边AD,BC的中点,G,H是对角线BD上的两点,且BG=DH.则下列结论中,不正确的是( )
A.GF=EH
B.四边形EGFH是平行四边形
C.EG=FH
D.EH⊥BD
3.(4分·几何直观,模型观念)设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于 cm.
4.(10分·应用意识、模型观念)如图所示,在 ABCD中,点E,点F分别是AD,BC的中点,连接BE,DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,AB=3,求平行四边形ABCD的周长.
