3 三角形的中位线
课时学习目标 素养目标达成
1.理解三角形中位线的定义,会证明三角形的中位线定理 几何直观、推理能力
2.能应用三角形中位线定理解决相关的问题 运算能力、应用意识、模型观念
基础主干落实
新知要点
1.三角形中位线的定义
(1)文字叙述:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;
(2)符号语言:
∵AD=BD,AE=CE,
∴DE是△ABC的中位线.
2.中位线定理:
(1)文字叙述:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;
(2)符号语言:∵DE为△ABC的中位线,
∴DE∥BC,且DE=BC.
对点小练
1.如图所示,线段DE是△ABC的中位线,若BC=20 cm,则DE= 10 cm ;
若∠ADE=32°,则∠B= 32 °.
2.如图所示,点D,E分别是△ABC的边BA,BC的中点,DE=6,则AC的长为 12 .
重点典例研析
重点1三角形中位线定理(几何直观、模型观念)
【典例1】(2024·北京中考节选)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.求证:四边形AFCD为平行四边形.
【自主解答】∵E是AB的中点,∴AE=BE,
∵DF=BF,∴EF是△ABD的中位线,
∴EF∥AD,∴CF∥AD,
∵AF∥CD,∴四边形AFCD为平行四边形.
【举一反三】
1.(2024·浙江中考)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.
若∠AED=∠BEC, DE=2,则BE的长为 4 .
2.(2024·济宁期末)如图所示,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,BC=10,CD=6,EF=4,∠AFE=52°,则∠ADC的度数为 142° .
重点2 中点四边形(推理能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P152习题6.6T3变式)
如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
【自主解答】连接AC,如图所示,∵点E是AB的中点,点F是BC的中点,
∴EF∥AC,EF=AC.
同理,可得出:HG∥AC,HG=AC,
∴EF∥HG,EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
【举一反三】
1.如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,AD=4,BC=5,则四边形EFGH的周长是 9 .
2.如图所示,△ABC的中线BE,CF相交于点G,已知P,Q分别是BG,CG的中点.求证:四边形EFPQ是平行四边形.
【证明】∵BE,CF是△ABC的中线,∴AF=BF,AE=CE,∴EF=BC,EF∥BC,
∵P,Q分别是BG,CG的中点,∴PQ=BC,PQ∥BC,∴PQ=EF,PQ∥EF,
∴四边形EFPQ是平行四边形.
【技法点拨】
中点四边形规律小结
(1)当原四边形是一般四边形时,它的中点四边形是平行四边形;
(2)中点四边形的形状与原四边形对角线互相平分无关;
(3)中点四边形的周长等于原四边形对角线之和;
(4)中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.
素养当堂测评
1.(4分·几何直观、运算能力)如图所示,在△ABC中,AB=BC=7,BD平分∠ABC交AC于点D,点F在BC上,且BF=1,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(4分·几何直观、运算能力)如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,点P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,若∠EPF=130°,则∠PEF的度数为(A)
A.25° B.30° C.35° D.50°
3.(4分·几何直观、模型观念)如图所示,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,连接AC,点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,若BC=GC=2,AC=2,则四边形EFGH的周长为 4 . 3 三角形的中位线
课时学习目标 素养目标达成
1.理解三角形中位线的定义,会证明三角形的中位线定理 几何直观、推理能力
2.能应用三角形中位线定理解决相关的问题 运算能力、应用意识、模型观念
基础主干落实
新知要点
1.三角形中位线的定义
(1)文字叙述:连接三角形 叫做三角形的中位线;
(2)符号语言:
∵AD=BD,AE=CE,
∴DE是△ABC的中位线.
2.中位线定理:
(1)文字叙述:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;
(2)符号语言:∵DE为△ABC的中位线,
∴DE∥BC,且DE=BC.
对点小练
1.如图所示,线段DE是△ABC的中位线,若BC=20 cm,则DE= ;
若∠ADE=32°,则∠B= °.
2.如图所示,点D,E分别是△ABC的边BA,BC的中点,DE=6,则AC的长为 .
重点典例研析
重点1三角形中位线定理(几何直观、模型观念)
【典例1】(2024·北京中考节选)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.求证:四边形AFCD为平行四边形.
【举一反三】
1.(2024·浙江中考)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.
若∠AED=∠BEC, DE=2,则BE的长为 .
2.(2024·济宁期末)如图所示,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,BC=10,CD=6,EF=4,∠AFE=52°,则∠ADC的度数为 .
重点2 中点四边形(推理能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P152习题6.6T3变式)
如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
【举一反三】
1.如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,AD=4,BC=5,则四边形EFGH的周长是 .
2.如图所示,△ABC的中线BE,CF相交于点G,已知P,Q分别是BG,CG的中点.求证:四边形EFPQ是平行四边形.
【技法点拨】
中点四边形规律小结
(1)当原四边形是一般四边形时,它的中点四边形是平行四边形;
(2)中点四边形的形状与原四边形对角线互相平分无关;
(3)中点四边形的周长等于原四边形对角线之和;
(4)中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.
素养当堂测评
1.(4分·几何直观、运算能力)如图所示,在△ABC中,AB=BC=7,BD平分∠ABC交AC于点D,点F在BC上,且BF=1,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(4分·几何直观、运算能力)如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,点P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,若∠EPF=130°,则∠PEF的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.50°
3.(4分·几何直观、模型观念)如图所示,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,连接AC,点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,若BC=GC=2,AC=2,则四边形EFGH的周长为 .
