4 多边形的内角和与外角和
课时学习目标 素养目标达成
掌握多边形的内角和与外角和定理 运算能力、几何直观、应用意识
基础主干落实
新知要点
1.多边形的内角和定理
(1)多边形的内角和:从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,这些对角线把n边形分割成(n-2)个三角形,因此n边形的内角和为(n-2)·180°.
(2)正n边形的每个内角是.
对点小练
1.(1)从五边形的一个顶点出发,可以画出 两 条对角线.
(2)从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成 5 个三角形.
(3)正七边形的内角和为 900° .
新知要点
2.多边形的外角和定理
(1)多边形的外角:多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角.
(2)多边形的外角和都等于360°.
(3)正n边形的每个外角等于.
对点小练
2.(1)七边形的外角和为(C)
A.1260° B.900°
C.360° D.180°
(2)正六边形的一个外角的度数为 60 °.
重点典例研析
重点1 多边形的内角和定理(运算能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P153例1变式)如图,在正五边形ABCDE中,AF∥CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G,求∠G的度数.
【自主解答】方法1:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠C=∠CDE==108°,CD=CB,
∴∠CDB=36°,
∴∠GDF=108°-36°=72°,
∵AF∥CD,
∴∠F=∠CDB=36°,
∴∠G=180°-∠GDF-∠F=72°;
方法2:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠CDG==108°.
∵AF∥CD,
∴∠G=180°-∠CDG=72°.
【举一反三】
1.(2024·威海中考)如图,在正六边形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为点I.
若∠EFG=20°,则∠ABI= 50° .
2.如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是
540°或360°或180° .
【技法点拨】
多边形内角和的三点注意
(1)多边形的内角和是指n个内角的度数之和.
(2)多边形的内角和为(n-2)·180°,且内角和为180°的整数倍.
(3)由多边形的边数可以求出其内角和,由多边形的内角和也可以求出多边形的边数.
重点2多边形的外角和定理(几何直观、模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P156例2拓展)若BP,CP分别平分△ABC的内角∠ABC和∠ACB,那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系
【自主解答】∠P=90°+∠A,理由如下:
∵BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(180°-∠A)=90°-∠A,
∴∠P=180°-∠PCB-∠PBC=180°-(90°-∠A)=90°+∠A.
【举一反三】
1.如图,若BP,CP分别平分△ABC的外角∠DBC和∠BCE,那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系
【解析】∠P=90°-∠A,理由如下:
∵BP,CP分别平分∠DBC和∠BCE,
∴∠PBC=∠DBC,∠PCB=∠ECB,
∴∠PBC+∠PCB=∠DBC+∠ECB=(180°+∠A)=90°+∠A,
∴∠P=180°-∠PCB-∠PBC=180°-(90°+∠A)=90°-∠A.
2.如图,若BP,CP分别平分△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF,那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系
【解析】∠P=∠A,理由如下:
∵BP,CP分别平分∠ABC和∠ACF,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCF=∠ACF,
∴∠P=∠PCF-∠PBC=∠ACF-∠ABC=(∠ACF-∠ABC)=∠A,∴∠P=∠A.
素养当堂测评
1.(4分·几何直观)从六边形的一个顶点出发,可以画m条对角线,它们将六边形分成n个三角形,则m+n=(C)
A.5 B.6 C.7 D.8
2.(4分·运算能力)一个多边形的内角和等于外角和的两倍,那么这个多边形是(D)
A.三边形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
3.(4分·运算能力、几何直观·2024·赤峰中考)如图是正n边形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l,m所在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是(B)
A.5 B.6 C.8 D.10
4.(8分·几何直观、运算能力)如图,在四边形ABCD中,BP,CP分别平分∠ABC,
∠BCD.
(1)若∠A=100°,∠D=130°,∠ABC=∠BCD,求∠ABC的度数;
(2)若∠A=α,∠D=β,求∠BPC.(用含α,β的式子表示)
【解析】(1)∵∠A=100°,∠D=130°,
∴∠ABC+∠BCD=(4-2)×180°-100°-130°=360°-100°-130°=130°,
∵∠ABC=∠BCD,∴∠ABC=65°;
(2)∵BP,CP分别平分∠ABC,∠BCD,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠BCD,
∵∠A=α,∠D=β,∴∠ABC+∠BCD=360°-α-β,
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠BCD)
=(360°-α-β)=180°-(α+β),
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)
=180°-[180°-(α+β)]=180°-180°+(α+β)=(α+β).4 多边形的内角和与外角和
课时学习目标 素养目标达成
掌握多边形的内角和与外角和定理 运算能力、几何直观、应用意识
基础主干落实
新知要点
1.多边形的内角和定理
(1)多边形的内角和:从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线,这些对角线把n边形分割成 个三角形,因此n边形的内角和为 .
(2)正n边形的每个内角是.
对点小练
1.(1)从五边形的一个顶点出发,可以画出 条对角线.
(2)从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成 个三角形.
(3)正七边形的内角和为 .
新知要点
2.多边形的外角和定理
(1)多边形的外角:多边形内角的一边与另一边的 所组成的角.
(2)多边形的外角和都等于 .
(3)正n边形的每个外角等于.
对点小练
2.(1)七边形的外角和为( )
A.1260° B.900°
C.360° D.180°
(2)正六边形的一个外角的度数为 °.
重点典例研析
重点1 多边形的内角和定理(运算能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P153例1变式)如图,在正五边形ABCDE中,AF∥CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G,求∠G的度数.
【举一反三】
1.(2024·威海中考)如图,在正六边形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为点I.
若∠EFG=20°,则∠ABI= .
2.如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是
.
【技法点拨】
多边形内角和的三点注意
(1)多边形的内角和是指n个内角的度数之和.
(2)多边形的内角和为(n-2)·180°,且内角和为180°的整数倍.
(3)由多边形的边数可以求出其内角和,由多边形的内角和也可以求出多边形的边数.
重点2多边形的外角和定理(几何直观、模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P156例2拓展)若BP,CP分别平分△ABC的内角∠ABC和∠ACB,那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系
【举一反三】
1.如图,若BP,CP分别平分△ABC的外角∠DBC和∠BCE,那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系
2.如图,若BP,CP分别平分△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF,那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系
素养当堂测评
1.(4分·几何直观)从六边形的一个顶点出发,可以画m条对角线,它们将六边形分成n个三角形,则m+n=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.(4分·运算能力)一个多边形的内角和等于外角和的两倍,那么这个多边形是( )
A.三边形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
3.(4分·运算能力、几何直观·2024·赤峰中考)如图是正n边形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l,m所在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是( )
A.5 B.6 C.8 D.10
4.(8分·几何直观、运算能力)如图,在四边形ABCD中,BP,CP分别平分∠ABC,
∠BCD.
(1)若∠A=100°,∠D=130°,∠ABC=∠BCD,求∠ABC的度数;
(2)若∠A=α,∠D=β,求∠BPC.(用含α,β的式子表示)
