1 图形的平移
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系. 几何直观、运算能力
2.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形沿两个坐标轴方向平移后所得的图形与原来图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化. 几何直观
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
设(x,y)是原图形上的一点,经过平移,其坐标变化规律如下: 平移方向平移 距离对应点 的坐标规律沿x轴 平移向右平移a个 单位 长度 (a>0) 左右平移,横坐标右加左减,纵坐标不变向左平移 沿y轴 平移向上平移 上下平移,纵坐标上加下减,横坐标不变向下平移
在平面直角坐标系中,将点P(1,2)向上平移3个单位长度后得到点P1的坐标为 ;将点P(1,2)向右平移4个单位长度后得到点P2的坐标为 ;将点P(1,2)先向右平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度后得到点P3,则点P3的坐标为 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】坐标系内图形沿坐标轴平移变换(几何直观)
【典例1】(教材再开发·P69“议一议”拓展)如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1个单位长度,已知△ABC的顶点A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1),将△ABC先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1.
(1)画出△A1B1C1;
(2)点P(a,b)在△ABC内,则点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 ;
(3)S△ABC= .
【举一反三】
1.(2023·金华中考)如图,两盏灯笼的位置A,B的坐标分别是(-3,3),(1,2),将点B向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点B',则关于点A,B'的位置描述正确的是( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点O对称
D.关于直线y=x对称
2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,3),将线段AB平移后得线段CD,若点A的对应点C的坐标为(1,-2),则点B的对应点D的坐标为 .
【技法点拨】
已知原图形上一点(x,y),当图形先沿x轴平移,再沿y轴平移后,其对应点的坐标变化如下:
平移方向和平移距离(a≥0,b≥0) 对应点的坐标
向右平移a个单位长度,向上平移b个单位长度 (x+a,y+b)
向右平移a个单位长度,向下平移b个单位长度 (x+a,y-b)
向左平移a个单位长度,向上平移b个单位长度 (x-a,y+b)
向左平移a个单位长度,向下平移b个单位长度 (x-a,y-b)
【重点2】坐标系内图形沿线段方向平移(运算能力、空间观念)
【典例2】(教材再开发·P72例2强化)在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐标为(4,0),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O'A'B'的位置,此时点A'的横坐标为5,则点B'的坐标为( )
A.(6,2)
B.(7,2)
C.(6,3)
D.(7,3)
【举一反三】
(2024·西安质检)如图,△ABC的顶点A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1).若△ABC向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A'B'C',且点C的对应点坐标是C'.
(1)画出△A'B'C',并直接写出点C'的坐标;
(2)若△ABC内有一点P(a,b)经过以上平移后的对应点为P',则点P'的坐标为 ;
(3)若将△A'B'C'看成是由△ABC经过一次平移得到的,则平移的方向是 ,平移的距离是 .
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·抽象能力)在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移2个单位长度后,得到的点的坐标是( )
A.(3,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(1,-1)
2.(4分·运算能力、几何直观)如图,在平面直角坐标系中,A,B的坐标分别为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为 .
3.(8分·运算能力、空间观念)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点的位置如图所示,点A'的坐标是(-2,2).现将△ABC平移,使点A与点A'重合,点B,C的对应点分别是点B',C'.
(1)请画出平移后的△A'B'C',则点B'的坐标为 ;
(2)点P是△ABC内的一点,当△ABC平移到△A'B'C'后,若点P的对应点P'的坐标为(a,b),则点P的坐标为 . 1 图形的平移
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过具体实例认识平面图形的平移,探索它的基本性质,会进行简单的平移画图. 抽象能力、几何直观
2.经历有关平移的观察、操作、分析及抽象概括等过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念. 空间观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.平移 定义在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离的图形运动两要素方向与距离性质(1)平移不改变物体的形状与大小,平移只改变物体的位置. (2)平移前后对应点所连的线段的位置关系是平行(或在一条直线上),大小关系是相等. (3)对应线段平行(或在一条直线上)且相等;对应角相等
1.(1)下列现象不属于平移的是(A) A.足球在操场上沿直线滚动 B.平移推拉大铁门 C.一个铁球从高处自由落下 D.汽车沿平直公路由A地到B地 (2)如图,将△ABC沿OM方向平移一定的距离得到△A'B'C',则下列结论不正确的是(C) A.AA'∥BB' B.AA'=BB' C.∠ACB=∠A'B'C' D.BC=B'C'
2.平移作图的一般步骤 (1)确定平移的方向,平移的距离; (2)找出图形的关键点; (3)依次找出各关键点的对应点,并标上相应的字母; (4)顺次连接各对应点. 2.下列平移作图不正确的是(C)
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】图形的平移及性质的应用(抽象能力)
【典例1】如图,将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,已知AB=6,HD=2,CF=3,则图中阴影部分的面积为(B)
A.12 B.15
C.18 D.24
【举一反三】
1.如图,将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC,若△DEF的周长为20 cm,则四边形ABFD的周长为(A)
A.26 cm B.25 cm C.23 cm D.20 cm
2.如图,△ABC沿直线l向右平移4 cm,得到△FDE,且BC=6 cm,∠ABC=45°.
(1)求BE的长.
(2)求∠FDB的度数.
【解析】(1)由平移知,BD=CE=4 cm.
∵BC=6 cm,
∴BE=BC+CE=6+4=10 cm.
(2)由平移知,∠FDE=∠ABC=45°,
∴∠FDB=180°-∠FDE=135°.
【技法点拨】
平移性质理解的两个角度
1.位置:对应线段平行或在同一条直线上;对应点的连线平行或在同一条直线上;
2.数量:对应线段相等;对应角相等;对应点的连线相等.
【重点2】平移作图(几何直观)
【典例2】(教材再开发·P66例1强化)如图,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C',图中标出了点B的对应点B',利用网格点和直尺,完成下列各题:
(1)补全△A'B'C';
(2)连接AA',BB',则这两条线段之间的关系是 ;
(3)在BB'上找到一点Q,使得△BCQ与△ABC的面积相等;
(4)如果B(-1,5),C(-1,1),请建立合适的平面直角坐标系并写出A'点的坐标.
【解析】(1)如图所示,△A'B'C'即为所求;
(2)连接AA',BB',则这两条线段之间的关系是平行且相等.
答案:平行且相等
(3)如图所示,作AQ∥BC,交BB'于Q点,点Q即为所求;
(4)如图,A'(-11,-2).
【举一反三】
1.(2024·烟台期末)如图,△ABC平移到△DEF的位置,则下列说法:①AB∥DE,AD=CF=BE;②∠ACB=∠DEF;③平移的方向是点C到点F的方向;④平移距离为线段BD的长.其中说法正确的有(B)
A.①② B.①③
C.①④ D.②④
2.平移△ABC,使点A移动到点A',画出平移后的△A'B'C'(不写作法,保留作图痕迹).
【解析】如图,△A'B'C'为所作.
【技法点拨】
平移作图的四个步骤
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力·2023·郴州中考)下列图形中,能由图形a通过平移得到的是(B)
2.(4分·应用意识)在下列现象中,属于平移的是(B)
A.小亮荡秋千
B.升降电梯由一楼升到八楼
C.时针的运行过程
D.卫星绕地球运动
3.(4分·几何直观、抽象能力·2023·淄博中考)在边长为1的正方形网格中,右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的,则平移的距离是 6 .
4.(8分·运算能力、几何直观、应用意识)如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,每个格子的边长为1个单位长度,将△ABC向上平移3个单位长度,得到△A'B'C'.
(1)在图中作出△ABC边AB上的高CD;
(2)在图中画出平移后的△A'B'C';
(3)△ABC的面积为 ;
(4)若连接AA',CC',则这两条线段的关系是 .
【解析】(1)如图,线段CD即为所求;
(2)如图,△A'B'C'即为所求;
(3)S△ABC=AB·CD=×4×4=8.
答案:8
(4)AA'=CC',AA'∥CC'.
答案:AA'=CC',AA'∥CC'
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十”1 图形的平移
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过具体实例认识平面图形的平移,探索它的基本性质,会进行简单的平移画图. 抽象能力、几何直观
2.经历有关平移的观察、操作、分析及抽象概括等过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念. 空间观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.平移 定义在平面内,将一个图形沿某个 移动一定的 的图形运动两要素 与 性质(1)平移不改变物体的 与 ,平移只改变物体的 . (2)平移前后对应点所连的线段的位置关系是 (或在一条直线上),大小关系是 . (3)对应线段 (或在一条直线上)且相等;对应角
1.(1)下列现象不属于平移的是( ) A.足球在操场上沿直线滚动 B.平移推拉大铁门 C.一个铁球从高处自由落下 D.汽车沿平直公路由A地到B地 (2)如图,将△ABC沿OM方向平移一定的距离得到△A'B'C',则下列结论不正确的是( ) A.AA'∥BB' B.AA'=BB' C.∠ACB=∠A'B'C' D.BC=B'C'
2.平移作图的一般步骤 (1)确定平移的 ,平移的 ; (2)找出图形的 ; (3)依次找出各关键点的 ,并标上相应的 ; (4)顺次连接各 . 2.下列平移作图不正确的是( )
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】图形的平移及性质的应用(抽象能力)
【典例1】如图,将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,已知AB=6,HD=2,CF=3,则图中阴影部分的面积为( )
A.12 B.15
C.18 D.24
【举一反三】
1.如图,将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC,若△DEF的周长为20 cm,则四边形ABFD的周长为( )
A.26 cm B.25 cm C.23 cm D.20 cm
2.如图,△ABC沿直线l向右平移4 cm,得到△FDE,且BC=6 cm,∠ABC=45°.
(1)求BE的长.
(2)求∠FDB的度数.
【技法点拨】
平移性质理解的两个角度
1.位置:对应线段平行或在同一条直线上;对应点的连线平行或在同一条直线上;
2.数量:对应线段相等;对应角相等;对应点的连线相等.
【重点2】平移作图(几何直观)
【典例2】(教材再开发·P66例1强化)如图,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C',图中标出了点B的对应点B',利用网格点和直尺,完成下列各题:
(1)补全△A'B'C';
(2)连接AA',BB',则这两条线段之间的关系是 ;
(3)在BB'上找到一点Q,使得△BCQ与△ABC的面积相等;
(4)如果B(-1,5),C(-1,1),请建立合适的平面直角坐标系并写出A'点的坐标.
【举一反三】
1.(2024·烟台期末)如图,△ABC平移到△DEF的位置,则下列说法:①AB∥DE,AD=CF=BE;②∠ACB=∠DEF;③平移的方向是点C到点F的方向;④平移距离为线段BD的长.其中说法正确的有( )
A.①② B.①③
C.①④ D.②④
2.平移△ABC,使点A移动到点A',画出平移后的△A'B'C'(不写作法,保留作图痕迹).
【技法点拨】
平移作图的四个步骤
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力·2023·郴州中考)下列图形中,能由图形a通过平移得到的是( )
2.(4分·应用意识)在下列现象中,属于平移的是( )
A.小亮荡秋千
B.升降电梯由一楼升到八楼
C.时针的运行过程
D.卫星绕地球运动
3.(4分·几何直观、抽象能力·2023·淄博中考)在边长为1的正方形网格中,右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的,则平移的距离是 .
4.(8分·运算能力、几何直观、应用意识)如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,每个格子的边长为1个单位长度,将△ABC向上平移3个单位长度,得到△A'B'C'.
(1)在图中作出△ABC边AB上的高CD;
(2)在图中画出平移后的△A'B'C';
(3)△ABC的面积为 ;
(4)若连接AA',CC',则这两条线段的关系是 . 1 图形的平移
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系. 几何直观、运算能力
2.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形沿两个坐标轴方向平移后所得的图形与原来图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化. 几何直观
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
设(x,y)是原图形上的一点,经过平移,其坐标变化规律如下: 平移方向平移 距离对应点 的坐标规律沿x轴 平移向右平移a个 单位 长度 (a>0)(x+a,y)左右平移,横坐标右加左减,纵坐标不变向左平移(x-a,y)沿y轴 平移向上平移(x,y+a)上下平移,纵坐标上加下减,横坐标不变向下平移(x,y-a)
在平面直角坐标系中,将点P(1,2)向上平移3个单位长度后得到点P1的坐标为 (1,5) ;将点P(1,2)向右平移4个单位长度后得到点P2的坐标为 (5,2) ;将点P(1,2)先向右平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度后得到点P3,则点P3的坐标为 (5,5) .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】坐标系内图形沿坐标轴平移变换(几何直观)
【典例1】(教材再开发·P69“议一议”拓展)如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1个单位长度,已知△ABC的顶点A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1),将△ABC先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1.
(1)画出△A1B1C1;
(2)点P(a,b)在△ABC内,则点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 ;
(3)S△ABC= .
【解析】(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)由题意得,△ABC先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1,
∴点P(a,b)平移后的坐标为P1(a+3,b-2).
答案:(a+3,b-2)
(3)由题意得,A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1),
∴BG=5,BE=5,∴S四边形BEFG=5×5=25.
∵AE=3,∴S△ABE=×5×3=.
∵AF=2,CF=3,∴S△ACF=×2×3=3.
∵CG=2,∴S△BCG=×2×5=5.∴S△ABC=S四边形BEFG-S△ABE-S△ACF-S△BCG=25--3-5=.
答案:
【举一反三】
1.(2023·金华中考)如图,两盏灯笼的位置A,B的坐标分别是(-3,3),(1,2),将点B向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点B',则关于点A,B'的位置描述正确的是(B)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点O对称
D.关于直线y=x对称
2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,3),将线段AB平移后得线段CD,若点A的对应点C的坐标为(1,-2),则点B的对应点D的坐标为 (3,1) .
【技法点拨】
已知原图形上一点(x,y),当图形先沿x轴平移,再沿y轴平移后,其对应点的坐标变化如下:
平移方向和平移距离(a≥0,b≥0) 对应点的坐标
向右平移a个单位长度,向上平移b个单位长度 (x+a,y+b)
向右平移a个单位长度,向下平移b个单位长度 (x+a,y-b)
向左平移a个单位长度,向上平移b个单位长度 (x-a,y+b)
向左平移a个单位长度,向下平移b个单位长度 (x-a,y-b)
【重点2】坐标系内图形沿线段方向平移(运算能力、空间观念)
【典例2】(教材再开发·P72例2强化)在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐标为(4,0),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O'A'B'的位置,此时点A'的横坐标为5,则点B'的坐标为(D)
A.(6,2)
B.(7,2)
C.(6,3)
D.(7,3)
【举一反三】
(2024·西安质检)如图,△ABC的顶点A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1).若△ABC向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A'B'C',且点C的对应点坐标是C'.
(1)画出△A'B'C',并直接写出点C'的坐标;
(2)若△ABC内有一点P(a,b)经过以上平移后的对应点为P',则点P'的坐标为 ;
(3)若将△A'B'C'看成是由△ABC经过一次平移得到的,则平移的方向是 ,平移的距离是 .
【解析】(1)如图,△A'B'C'即为所求;
由图可知C'(5,-2);
(2)∵P(a,b)向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度得到P',
∴P'(a+4,b-3);
答案:(a+4,b-3)
(3)由勾股定理,得:AA'==5,
∴将△A'B'C'看成是由△ABC经过一次平移得到的,则平移的方向为沿着直线AA'的方向,平移5个单位长度得到.
答案:沿直线AA'的方向(答案不唯一) 5个单位长度
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·抽象能力)在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移2个单位长度后,得到的点的坐标是(A)
A.(3,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(1,-1)
2.(4分·运算能力、几何直观)如图,在平面直角坐标系中,A,B的坐标分别为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为 2 .
3.(8分·运算能力、空间观念)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点的位置如图所示,点A'的坐标是(-2,2).现将△ABC平移,使点A与点A'重合,点B,C的对应点分别是点B',C'.
(1)请画出平移后的△A'B'C',则点B'的坐标为 ;
(2)点P是△ABC内的一点,当△ABC平移到△A'B'C'后,若点P的对应点P'的坐标为(a,b),则点P的坐标为 .
【解析】(1)∵点A'的坐标是(-2,2),点A的坐标是(3,4),
∴平移方向是先向左平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度,
∵点B的坐标是(1,3),点C的坐标是(4,1),
∴点B'的坐标是(-4,1),点C'的坐标是(-1,-1),
∴平移后的△A'B'C'如图所示:
答案:(-4,1)
(2)由(1)得,平移方向是先向左平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度,
∵点P的对应点P'的坐标为(a,b),
∴点P的坐标为(a+5,b+2).
答案:(a+5,b+2)
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十一”
