1 因式分解
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索因式分解方法的过程,体会数学知识的整体联系 推理能力
2.了解因式分解的意义,以及与整式乘法的互逆关系 抽象能力、推理能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.因式分解:把一个多项式化成 的形式,这种变形叫做因式分解. 1.下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A.(a+b)·(a+b)=(a+b)2 B.x2-4x+4=(x-2)2 C.x2+2x+2=(x+1)2+1 D.(x-y)2=x2-2xy+y2
2.因式分解与整式乘法的关系:整式乘法与多项式的因式分解是 的过程. 2.对于①(x+1)(x-1)=x2-1,②x-2xy=x(1-2y),从左到右的变形,表述正确的是( ) A.都是乘法运算 B.①是乘法运算,②是因式分解 C.都是因式分解 D.①是因式分解,②是乘法运算
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 因式分解的概念(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P93随堂练习T2)下列从左边到右边的变形中,哪些是因式分解 哪些不是因式分解 如果不是,请说明理由.
(1)(x+4)(x-4)=x2-16;
(2)x2-4=(x+2)(x-2);
(3)x4-y4+1=(x2+y2)(x+y)(x-y)+1;
(4)x2-2x+1=x(x-2)+1;
(5)x2-4xy+4y2=(x-2y)2;
(6)-a2-2ab-b2=-(a+b)2.
【举一反三】
1.下列从左到右的变形中,是因式分解的是( )
A.(m-3)(m+3)=m2-9
B.m2-m+1=m(m-1)+1
C.(m+1)2=m2+2m+1
D.m2+2m=m(m+2)
2.学完因式分解后,李老师在黑板上写下了3个等式:①15x2y=3x·5xy;②(x+y)(x-y) =x2-y2;③4x2-4x+1=(2x-1)2.其中是因式分解的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
【技法点拨】
因式分解的四点注意
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
4.分解后的括号内有同类项要合并.
重点2 因式分解与整式乘法的关系(推理能力)
【典例2】仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为(x+n),则x2-4x+m
=(x+3)·(x+n)=x2+(n+3)x+3n,
∴n+3=-4,m=3n,解得n=-7,m=-21,∴另一个因式为(x-7),m的值为-21.
问题:
(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),则a= ;
(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+5),则b= ;
(3)仿照上面的方法解答下面的问题:已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是2x-3,求另一个因式以及k的值.
【举一反三】
1.已知多项式x4+mx+n能分解为(x2+px+q)·(x2+2x-3),则p= ,q= .
2.分解因式x2+ax+b,甲看错了a的值,分解的结果是(x-3)(x+2),乙看错了b的值,分解的结果是(x-2)(x-3),求a+b的值.
【技法点拨】
因式分解与整式乘法的区别和联系
项目 因式分解 整式乘法
区别 (1)把一个多项式化成几个整式的积的形式; (2)是多项式的恒等变形 (1)把几个整式相乘的形式化为一个整式的形式; (2)是一种运算
联系 互逆的恒等变形:多项式几个整式的积
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)下列等式,从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.6x2y3=2x2·3y3 B.a(a+1)(a-1)=a3-a
C.a2-2a+1=(a-1)2 D.x2+1=x(x+)
2.(3分·运算能力、推理能力)因式分解“16m2- ”得(4m+5n)(4m-5n),则“ ”是( )
A.5n2 B.25n2 C.75n2 D.125n2
3.(4分·几何直观)根据如图所示的拼图过程,写出一个多项式的因式分解:
.
4.(4分·推理能力、运算能力)如果x2+Ax+B=(x-3)(x+5),则3A-B= .
5.(6分·运算能力、应用意识)利用因式分解说明:32 025-4×32 024+10×32 023能被21整除.1 因式分解
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索因式分解方法的过程,体会数学知识的整体联系 推理能力
2.了解因式分解的意义,以及与整式乘法的互逆关系 抽象能力、推理能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解. 1.下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是(B) A.(a+b)·(a+b)=(a+b)2 B.x2-4x+4=(x-2)2 C.x2+2x+2=(x+1)2+1 D.(x-y)2=x2-2xy+y2
2.因式分解与整式乘法的关系:整式乘法与多项式的因式分解是互逆的过程. 2.对于①(x+1)(x-1)=x2-1,②x-2xy=x(1-2y),从左到右的变形,表述正确的是(B) A.都是乘法运算 B.①是乘法运算,②是因式分解 C.都是因式分解 D.①是因式分解,②是乘法运算
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 因式分解的概念(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P93随堂练习T2)下列从左边到右边的变形中,哪些是因式分解 哪些不是因式分解 如果不是,请说明理由.
(1)(x+4)(x-4)=x2-16;
(2)x2-4=(x+2)(x-2);
(3)x4-y4+1=(x2+y2)(x+y)(x-y)+1;
(4)x2-2x+1=x(x-2)+1;
(5)x2-4xy+4y2=(x-2y)2;
(6)-a2-2ab-b2=-(a+b)2.
【自主解答】(2)(5)(6)从左到右的变形符合因式分解的定义,是因式分解;(1)从左到右的变形属于整式乘法,不是因式分解;(3)(4)从左到右的变形不是化成整式的积的形式,不是因式分解.
【举一反三】
1.下列从左到右的变形中,是因式分解的是(D)
A.(m-3)(m+3)=m2-9
B.m2-m+1=m(m-1)+1
C.(m+1)2=m2+2m+1
D.m2+2m=m(m+2)
2.学完因式分解后,李老师在黑板上写下了3个等式:①15x2y=3x·5xy;②(x+y)(x-y) =x2-y2;③4x2-4x+1=(2x-1)2.其中是因式分解的有(B)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
【技法点拨】
因式分解的四点注意
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
4.分解后的括号内有同类项要合并.
重点2 因式分解与整式乘法的关系(推理能力)
【典例2】仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为(x+n),则x2-4x+m
=(x+3)·(x+n)=x2+(n+3)x+3n,
∴n+3=-4,m=3n,解得n=-7,m=-21,∴另一个因式为(x-7),m的值为-21.
问题:
(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),则a= ;
(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+5),则b= ;
(3)仿照上面的方法解答下面的问题:已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是2x-3,求另一个因式以及k的值.
【自主解答】(1)∵(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a=x2-5x+6,∴a-2=-5,
解得a=-3.
答案:-3
(2)∵(2x-1)(x+5)=2x2+9x-5=2x2+bx-5,∴b=9.
答案:9
(3)设另一个因式为(x+n),则2x2+5x-k=(2x-3)·(x+n)=2x2+(2n-3)x-3n,
∴2n-3=5,k=3n,解得n=4,k=12,
∴另一个因式为(x+4),k的值为12.
【举一反三】
1.已知多项式x4+mx+n能分解为(x2+px+q)·(x2+2x-3),则p= -2 ,q= 7 .
2.分解因式x2+ax+b,甲看错了a的值,分解的结果是(x-3)(x+2),乙看错了b的值,分解的结果是(x-2)(x-3),求a+b的值.
【解析】∵分解因式x2+ax+b,甲看错了a的值,分解的结果是(x-3)(x+2)=x2-x-6,
∴b=-6;
∵分解因式x2+ax+b,乙看错了b的值,分解的结果是(x-2)(x-3)=x2-5x+6,
∴a=-5,∴a+b=-5-6=-11.
【技法点拨】
因式分解与整式乘法的区别和联系
项目 因式分解 整式乘法
区别 (1)把一个多项式化成几个整式的积的形式; (2)是多项式的恒等变形 (1)把几个整式相乘的形式化为一个整式的形式; (2)是一种运算
联系 互逆的恒等变形:多项式几个整式的积
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)下列等式,从左到右的变形,属于因式分解的是(C)
A.6x2y3=2x2·3y3 B.a(a+1)(a-1)=a3-a
C.a2-2a+1=(a-1)2 D.x2+1=x(x+)
2.(3分·运算能力、推理能力)因式分解“16m2- ”得(4m+5n)(4m-5n),则“ ”是(B)
A.5n2 B.25n2 C.75n2 D.125n2
3.(4分·几何直观)根据如图所示的拼图过程,写出一个多项式的因式分解:
x2+2x+4x+8=(x+4)(x+2) .
4.(4分·推理能力、运算能力)如果x2+Ax+B=(x-3)(x+5),则3A-B= 21 .
5.(6分·运算能力、应用意识)利用因式分解说明:32 025-4×32 024+10×32 023能被21整除.
【解析】32 025-4×32 024+10×32 023
=32 023×32-4×32 023×3+10×32 023
=32 023(32-4×3+10)=32 023×7
=32 022×3×7=32 022×21,
∵32 022×21能被21整除,
∴32 025-4×32 024+10×32 023能被21整除.
