2 提公因式法
课时学习目标 素养目标达成
1.了解公因式的意义,会找公因式 抽象能力、运算能力
2.能正确运用提公因式法分解因式 运算能力、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.公因式 (1)定义:多项式的各项都含有的相同因式. (2)公因式的构成一般情况下有三部分: ①系数;②字母;③指数. 1.多项式8m2n+2mn中,各项的公因式是(A) A.2mn B.mn C.2 D.8m2n
2.提公因式法 (1)定义:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法. (2)步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式. (3)注意点:①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”,使括号内的第一项的系数是正的. 2.(1)将多项式-5a2+3ab提出公因式-a后,另一个因式是 5a-3b . (2)因式分解:2xy2-4xy= 2xy(y-2) .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 确定公因式(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P95“公因式”定义补充例题)指出下列多项式各项的公因式:
(1)3a2y-3ay+6y;
(2)4xy3-8x3y2;
(3)2(y-x)+3(x-y);
(4)a(x-y)3+b(x-y)2+(x-y)3.
【自主解答】(1)中各项的公因式为3y;
(2)中各项的公因式为4xy2;
(3)中各项的公因式为x-y;
(4)中各项的公因式为(x-y)2.
【举一反三】
1.3x2y2z-12x2y4-6x3y3z的公因式是(A)
A.3x2y2 B.x2y2 C.3x2y2z D.3x3y2z
2.在m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x)中,公因式是(C)
A.m B.m(a-x)
C.m(a-x)(b-x) D.(a-x)(b-x)
【技法点拨】
确定公因式的“三定”
1.定系数,即确定各项系数的最大公约数;
2.定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);
3.定指数,即确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.
重点2 利用提公因式法因式分解(运算能力、推理能力)
【典例2】分解因式:
(1)2y+3xy;
(2)3x2-6x+12xy;
(3)2(a+2)+3b(a+2);
(4)(2x-y)(x+3y)-(2x+3y)(y-2x).
【自主解答】(1)原式=y(2+3x);
(2)原式=3x(x-2+4y);
(3)原式=(a+2)(2+3b);
(4)原式=(2x-y)(x+3y)+(2x+3y)(2x-y)
=(2x-y)[(x+3y)+(2x+3y)]
=(2x-y)(x+3y+2x+3y)
=(2x-y)(3x+6y)
=3(2x-y)(x+2y).
【举一反三】
1.因式分解:(1)x2y+2xy= xy(x+2) .
(2)(2023·黄石中考)x(y-1)+4(1-y)= (y-1)(x-4) .
2.分解因式:(1)a2b+ab2.
(2)a(m-2)+b(2-m).
(3)(3a+b)(2a-3b)+4a(b+3a).
【解析】(1)a2b+ab2=ab(a+b).
(2)a(m-2)+b(2-m)=(m-2)(a-b).
(3)(3a+b)(2a-3b)+4a(b+3a)
=(3a+b)(2a-3b+4a)
=(3a+b)(6a-3b)
=3(3a+b)(2a-b).
3.(2024·新乡期中)已知x,y满足方程组,求(2x-y)3-(2x-y)2(x-3y)的值.
【解析】原式=(2x-y)2(2x-y-x+3y)=(2x-y)2(x+2y),
∵x,y满足方程组,
∴原式=122×11=1 584.
【技法点拨】
用提公因式法因式分解的四个步骤
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)多项式3m2+6mn的公因式是(C)
A.3 B.m C.3m D.3n
2.(3分·运算能力)把多项式m2(a-3)+m(3-a)分解因式是(C)
A.(a-3)(m2+m) B.(a-3)(m2-m)
C.m(a-3)(m-1) D.m(a-3)(m+1)
3.(3分·运算能力)分解因式:a2-4ab= a(a-4b) .
4.(3分·运算能力、推理能力)已知x+y=10,xy=1,则代数式x2y+xy2的值为 10 .
5.(8分·运算能力、推理能力)分解因式:
(1)8a3b2+12a3bc;
(2)(x-y)2+(y-x)3;
(3)ab(3x-y)+ac(y-3x)-ad(y-3x).
【解析】(1)原式=4a3b(2b+3c);
(2)原式=(x-y)2+(y-x)2(y-x)=(x-y)2+(x-y)2(y-x)=(x-y)2[1+(y-x)]=(x-y)2(1-x+y);
(3)原式=ab(3x-y)-ac(3x-y)+ad(3x-y)
=a(3x-y)(b-c+d).2 提公因式法
课时学习目标 素养目标达成
1.了解公因式的意义,会找公因式 抽象能力、运算能力
2.能正确运用提公因式法分解因式 运算能力、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.公因式 (1)定义:多项式的 都含有的相同因式. (2)公因式的构成一般情况下有三部分: ①系数;②字母;③指数. 1.多项式8m2n+2mn中,各项的公因式是( ) A.2mn B.mn C.2 D.8m2n
2.提公因式法 (1)定义:如果一个多项式的各项含有 ,那么就可以把这个 提出来,从而将多项式化成 的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法. (2)步骤:第一步是 ;第二步是 并确定另一因式. (3)注意点:①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”,使括号内的第一项的系数是正的. 2.(1)将多项式-5a2+3ab提出公因式-a后,另一个因式是 . (2)因式分解:2xy2-4xy= .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 确定公因式(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P95“公因式”定义补充例题)指出下列多项式各项的公因式:
(1)3a2y-3ay+6y;
(2)4xy3-8x3y2;
(3)2(y-x)+3(x-y);
(4)a(x-y)3+b(x-y)2+(x-y)3.
【举一反三】
1.3x2y2z-12x2y4-6x3y3z的公因式是( )
A.3x2y2 B.x2y2 C.3x2y2z D.3x3y2z
2.在m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x)中,公因式是( )
A.m B.m(a-x)
C.m(a-x)(b-x) D.(a-x)(b-x)
【技法点拨】
确定公因式的“三定”
1.定系数,即确定各项系数的最大公约数;
2.定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);
3.定指数,即确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.
重点2 利用提公因式法因式分解(运算能力、推理能力)
【典例2】分解因式:
(1)2y+3xy;
(2)3x2-6x+12xy;
(3)2(a+2)+3b(a+2);
(4)(2x-y)(x+3y)-(2x+3y)(y-2x).
【举一反三】
1.因式分解:(1)x2y+2xy= .
(2)(2023·黄石中考)x(y-1)+4(1-y)= .
2.分解因式:(1)a2b+ab2.
(2)a(m-2)+b(2-m).
(3)(3a+b)(2a-3b)+4a(b+3a).
3.(2024·新乡期中)已知x,y满足方程组,求(2x-y)3-(2x-y)2(x-3y)的值.
【技法点拨】
用提公因式法因式分解的四个步骤
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)多项式3m2+6mn的公因式是( )
A.3 B.m C.3m D.3n
2.(3分·运算能力)把多项式m2(a-3)+m(3-a)分解因式是( )
A.(a-3)(m2+m) B.(a-3)(m2-m)
C.m(a-3)(m-1) D.m(a-3)(m+1)
3.(3分·运算能力)分解因式:a2-4ab= .
4.(3分·运算能力、推理能力)已知x+y=10,xy=1,则代数式x2y+xy2的值为 .
5.(8分·运算能力、推理能力)分解因式:
(1)8a3b2+12a3bc;
(2)(x-y)2+(y-x)3;
(3)ab(3x-y)+ac(y-3x)-ad(y-3x).
