3 公式法
课时学习目标 素养目标达成
能运用公式法对多项式进行因式分解 运算能力、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.公式法:根据因式分解与整式乘法的关系,利用乘法公式把某些多项式因式分解. 项目平方差公式完全平方公式描述左:两项(整式)平方差的形式; 右:两项(整式)和与两项(整式)差的乘积左:两项符号相同的平方项与乘积的2倍的和或差; 右:两项和或差的平方应用 形式a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2
1.(1)下列多项式中能用平方差公式因式分解的是(D) A.a2+(-b)2 B.5m2-20mn C.-x2-y2 D.-x2+9 (2)下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是(D) A.x2+4x-4 B.x2+2x+2 C.x2-1 D.x2+8x+16 (3)因式分解: x2+4x+4= (x+2)2 .
2.当多项式的各项有公因式时,先提公因式,再因式分解. 2.因式分解:t3-4t= t(t+2)(t-2) .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 运用平方差公式因式分解(运算能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P100随堂练习T2变式)把下列多项式因式分解:
(1)4x2-16;
(2)16-m2;
(3)(2x+y)2-x2.
【自主解答】(1)原式=
4(x2-4)=4(x+2)(x-2);
(2)原式=;
(3)原式=
=(3x+y)(x+y).
【举一反三】
1.因式分解:(1)x2-4= (x+2)(x-2) .
(2)9(m+n)2-16(m-n)2=(7m-n)(-m+7n).
2.(1)(2024·北京中考)分解因式:x3-25x= x(x+5)(x-5) .
(2)(2024·眉山中考)分解因式:3a3-12a= 3a(a+2)(a-2) .
(3)(2024·绥化中考)分解因式:2mx2-8my2= 2m(x+2y)(x-2y) .
3.(2024·泉州期末)因式分解:
(1)a4-81. (2)16x4-1.
【解析】(1)原式=(a2+9)(a2-9)
=(a2+9)(a+3)(a-3).
(2)原式=(4x2+1)(4x2-1)=(4x2+1)(2x+1)(2x-1).
【技法点拨】
用平方差公式因式分解必备条件
1.所给多项式为两项(或两组整式).
2.多项式两项符号相反.
3.两项的绝对值可以化成一个数或整式的平方的形式.
重点2 运用完全平方公式因式分解(运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P101例3变式)把下列各式因式分解:
(1)16x2-8xy+y2;
(2)2x2+2x+;
(3)4(x+y)2-20(x+y)
+25.
【自主解答】(1)原式=(4x-y)2;
(2)原式=2=2;
(3)4(x+y)2-20(x+y)+25
=-2×2(x+y)×5+52
=
=(2x+2y-5)2.
【举一反三】
1.分解因式:(1)(2024·盐城中考)x2+2x+1= (x+1)2 .
(2)4+12(x-y)+9(x-y)2=(3x-3y+2)2.
2.分解因式:
(1)(2024·呼伦贝尔中考改编)a+2ab+ab2.
(2)-3x3+6x2y-3xy2.
【解析】(1)原式=a(1+2b+b2)=a(b+1)2;
(2)原式=-3x(x2-2xy+y2)
=-3x(x-y)2.
【技法点拨】
用完全平方公式因式分解必备条件
1.所给多项式为三项(或含有整式).
2.有两项符号相同,且可以化成两个数或两个整式的平方的形式.
3.另一项的绝对值为这两个数或整式乘积的2倍.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)下列各多项式中,能运用公式法分解因式的有(B)
(1)x2-4y2 (2)9a2b2-3ab+1
(3)-x2-2xy-y2 (4)x2+y2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(3分·运算能力·2023·益阳中考)下列因式分解正确的是(A)
A.2a2-4a+2=2(a-1)2
B.a2+ab+a=a(a+b)
C.4a2-b2=(4a+b)(4a-b)
D.a3b-ab3=ab(a-b)2
3.(4分·运算能力)分解因式:
(1)(2024·赤峰中考)3ax2-3a= 3a(x+1)(x-1) .
(2)(2024·达州中考)3x2-18x+27= 3(x-3)2 .
(3)a(a-2)+1= (a-1)2 .
4.(4分·运算能力、推理能力)已知a,b,c是△ABC的三边,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是 等腰三角形 .
5.(6分·运算能力)分解因式:
(1)3a2-6ab+3b2;
(2)x2(m-2)+y2(2-m).
【解析】(1)3a2-6ab+3b2
=3(a2-2ab+b2)
=3(a-b)2;
(2)x2(m-2)+y2(2-m)
=(m-2)(x2-y2)
=(m-2)(x+y)(x-y).3 公式法
课时学习目标 素养目标达成
能运用公式法对多项式进行因式分解 运算能力、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.公式法:根据因式分解与整式乘法的关系,利用 把某些多项式因式分解. 项目平方差公式完全平方公式描述左:两项(整式) 的形式; 右:两项(整式) 与两项(整式) 的乘积左:两项符号 的平方项与乘积的2倍的和或差; 右:两项 的平方应用 形式a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2
1.(1)下列多项式中能用平方差公式因式分解的是( ) A.a2+(-b)2 B.5m2-20mn C.-x2-y2 D.-x2+9 (2)下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.x2+4x-4 B.x2+2x+2 C.x2-1 D.x2+8x+16 (3)因式分解: x2+4x+4= .
2.当多项式的各项有公因式时,先 ,再因式分解. 2.因式分解:t3-4t= .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 运用平方差公式因式分解(运算能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P100随堂练习T2变式)把下列多项式因式分解:
(1)4x2-16;
(2)16-m2;
(3)(2x+y)2-x2.
【举一反三】
1.因式分解:(1)x2-4= .
(2)9(m+n)2-16(m-n)2= .
2.(1)(2024·北京中考)分解因式:x3-25x= .
(2)(2024·眉山中考)分解因式:3a3-12a= .
(3)(2024·绥化中考)分解因式:2mx2-8my2= .
3.(2024·泉州期末)因式分解:
(1)a4-81. (2)16x4-1.
【技法点拨】
用平方差公式因式分解必备条件
1.所给多项式为两项(或两组整式).
2.多项式两项符号相反.
3.两项的绝对值可以化成一个数或整式的平方的形式.
重点2 运用完全平方公式因式分解(运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P101例3变式)把下列各式因式分解:
(1)16x2-8xy+y2;
(2)2x2+2x+;
(3)4(x+y)2-20(x+y)
+25.
【举一反三】
1.分解因式:(1)(2024·盐城中考)x2+2x+1= .
(2)4+12(x-y)+9(x-y)2= .
2.分解因式:
(1)(2024·呼伦贝尔中考改编)a+2ab+ab2.
(2)-3x3+6x2y-3xy2.
【技法点拨】
用完全平方公式因式分解必备条件
1.所给多项式为三项(或含有整式).
2.有两项符号相同,且可以化成两个数或两个整式的平方的形式.
3.另一项的绝对值为这两个数或整式乘积的2倍.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)下列各多项式中,能运用公式法分解因式的有( )
(1)x2-4y2 (2)9a2b2-3ab+1
(3)-x2-2xy-y2 (4)x2+y2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(3分·运算能力·2023·益阳中考)下列因式分解正确的是( )
A.2a2-4a+2=2(a-1)2
B.a2+ab+a=a(a+b)
C.4a2-b2=(4a+b)(4a-b)
D.a3b-ab3=ab(a-b)2
3.(4分·运算能力)分解因式:
(1)(2024·赤峰中考)3ax2-3a= .
(2)(2024·达州中考)3x2-18x+27= .
(3)a(a-2)+1= .
4.(4分·运算能力、推理能力)已知a,b,c是△ABC的三边,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是 .
5.(6分·运算能力)分解因式:
(1)3a2-6ab+3b2;
(2)x2(m-2)+y2(2-m).
