第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解通分的意义,会找最简公分母 运算能力
2.理解并掌握异分母分式的加减法法则 抽象能力
3.能运用异分母分式的加减法法则进行化简求值及变形 运算能力、应用意识
4.能进行分式的混合运算及较复杂的化简求值 运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.通分 (1)定义:根据 ,将异分母的分式化为 的分式; (2)关键:找 ; (3)确定最简公分母的方法: ①各分母系数的 作为最简公分母的系数. ②相同字母(因式)的 作为最简公分母的一个因式. ③只在一个分式的分母中出现的字母(因式)连同指数作为最简公分母的因式. 1.(1)分式,的最简公分母是( ) A.2ab B.a C.b D.a2b (2)通分:与.
2.异分母分式的加减 (1)法则:异分母的分式相加减,先 ,化为 的分式,然后再按 的加减法法则进行计算. (2)字母表示:±=±=. 2.(1)计算+的结果是( ) A.b+a B. C. D. (2)计算:+= .
3.分式的混合运算 分式的混合运算顺序:先 ,再 ,最后 ,有括号的先算 . 3.计算÷(a-)的结果是 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1分式的通分(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P121随堂练习T1变式)通分:
(1),,;
(2),,;
(3),.
【举一反三】
1.对分式,,通分时,最简公分母是( )
A.12xy2 B.12x2y2
C.24xy2 D.24x2y3
2.通分:
(1),,;
(2),,.
【技法点拨】
通分的方法
(1)将所有分式的分母化为乘积的形式,当分母为多项式时,应因式分解;
(2)确定最简公分母;
(3)将分子、分母乘同一个因式,使分母变为最简公分母.
重点2异分母分式的加减法(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P122例5变式)化简分式:(1)-;
(2)-x-2.
【举一反三】
1.(2024·河北中考)已知A为整式,若计算-的结果为,则A=( )
A.x B.y C.x+y D.x-y
2.(2024·连云港中考)下面是某同学计算-的解题过程:
解:-
=-……第①步
=(m+1)-2……第②步
=m-1……第③步
上述解题过程从第几步开始出现错误 请写出完整的正确解题过程.
【技法点拨】
异分母分式的加减的步骤
(1)正确地找出各分式的最简公分母.
(2)准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式,然后通分.
(3)通分后进行同分母分式的加减运算.
(4)将得到的结果化成最简分式或整式.
重点3分式的混合运算(运算能力)
【典例3】(教材溯源·P123例6)(1)(2024·雅安中考)先化简,再求值: (1-)÷,其中a=2.
(2)(2024·牡丹江中考)先化简,再求值:÷(x-),并从-1,0,1,2,3中选一个合适的数代入求值.
【举一反三】
1.(2024·重庆中考A卷)计算: (1+)÷.
2.(2024·青海中考)先化简,再求值: (-)÷(-),其中x=2-y.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)将分式与分式通分后,的分母变为(1+a)(1-a)2,则的分子变为( )
A.1-a B.1+a C.-1-a D.-1+a
2.(4分·运算能力、推理能力)若x-y=3xy,则-的值是( )
A.-3 B.3 C.- D.
3.(4分·运算能力、应用意识)A地在河的上游,B地在河的下游,若船从A地开往B地的速度为a千米/时,从B地返回A地的速度为b千米/时,则在A,B两地间往返一次的平均速度为 千米/时(用含a,b的式子表示).
4.(8分·运算能力)(1)计算:+.
(2)(2024·山西中考)化简: (+)÷.3 分式的加减法
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.归纳并理解同分母分式加减运算法则 抽象能力
2.能进行同分母分式加减及可化为同分母分式的加减运算 运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.同分母分式的加减法 (1)法则:分母不变,把分子相加减; (2)字母表示:. 2.可化为同分母分式的加减法 (1)法则:当分母互为相反数或相反数的平方,可化为同分母分式,再进行同分母分式加减运算. (2)字母表示:+==,+==. 1.(1)+=(D) A.3 B. C. D. (2)计算:-= . 2.计算:(1)+= - . (2)+= -1 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1同分母分式的加减法(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P117例1变式)计算:
(1)-;
(2)-.
【自主解答】(1)原式==
=-;
(2)原式==.
【举一反三】
1.(2024·江西中考)化简:-.
【解析】原式==1.
2.(2023·鄂州中考)先化简,再求值:-,其中a=2.
【解析】原式===,
当a=2时,原式==.
【技法点拨】
同分母的分式加减法法则及注意事项
1.法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
2.注意事项:“分子相加减”指将各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是多项式时,应先用括号括起来,尤其是分子相减时,应减去分子整体,因此括号不能漏.
重点2可化为同分母分式的加减法(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P118例2变式)化简+的结果是(B)
A.a+b B.a-b
C. D.
【举一反三】
1.(2024·嘉兴质检)计算:(1)+.
(2)-.
(3)+-.
【解析】(1)原式=-
==
==.
(2)原式=-=
===1.
(3)原式=--
====2.
2.先化简,再计算:+,其中a=2.
【解析】原式=+=+=,当a=2时,原式==3.
【技法点拨】
可化为同分母分式的加减法
1.如果分母互为相反数,变成同分母分式时,需变号的分式,分子、分母同时改变符号.
2.如果分母为相反数的平方,只需要把分母改成一样的,分子的符号不变.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力·2024·甘肃中考)计算:-=(A)
A.2 B.2a-b C. D.
2.(3分·运算能力、推理能力)若a,b互为倒数,则分式+的值为(C)
A.1 B.0 C.-1 D.-2
3.(9分·运算能力)计算:
(1)-.
(2)+.
(3)+.
【解析】(1)原式===1.
(2)原式=-==
=a+2.
(3)原式=+=+==1.
4.(5分·运算能力)已知M=,N=,用“+”或“-”连接M,N,有三种不同的形式,即:M+N,M-N,N-M,请你任取其中一种进行化简,并求值,其中x=3,y=5.
【解析】M+N=+===,
当x=3,y=5时,原式==-4.(答案不唯一)
训练升级,请使用 “课时过程性评价 三十一”第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解通分的意义,会找最简公分母 运算能力
2.理解并掌握异分母分式的加减法法则 抽象能力
3.能运用异分母分式的加减法法则进行化简求值及变形 运算能力、应用意识
4.能进行分式的混合运算及较复杂的化简求值 运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.通分 (1)定义:根据分式的基本性质,将异分母的分式化为同分母的分式; (2)关键:找最简公分母; (3)确定最简公分母的方法: ①各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. ②相同字母(因式)的最高次幂作为最简公分母的一个因式. ③只在一个分式的分母中出现的字母(因式)连同指数作为最简公分母的因式. 1.(1)分式,的最简公分母是(A) A.2ab B.a C.b D.a2b (2)通分:与. 【解析】=,=.
2.异分母分式的加减 (1)法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. (2)字母表示:±=±=. 2.(1)计算+的结果是(D) A.b+a B. C. D. (2)计算:+= 1 .
3.分式的混合运算 分式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的. 3.计算÷(a-)的结果是 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1分式的通分(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P121随堂练习T1变式)通分:
(1),,;
(2),,;
(3),.
【自主解答】(1)由题意可得:最简公分母为30a2b3c2,则=,=,=.
(2)由题意可得:最简公分母为3(a-3)(a-2)(a+1),则=-=-,
==,
==.
(3)由题意可得:最简公分母为a(a-b)(a+b),
则==,
=.
【举一反三】
1.对分式,,通分时,最简公分母是(A)
A.12xy2 B.12x2y2
C.24xy2 D.24x2y3
2.通分:
(1),,;
(2),,.
【解析】(1),,
;
(2),,
.
【技法点拨】
通分的方法
(1)将所有分式的分母化为乘积的形式,当分母为多项式时,应因式分解;
(2)确定最简公分母;
(3)将分子、分母乘同一个因式,使分母变为最简公分母.
重点2异分母分式的加减法(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P122例5变式)化简分式:(1)-;
(2)-x-2.
【自主解答】(1)原式=-=+==;
(2)原式=-
==.
【举一反三】
1.(2024·河北中考)已知A为整式,若计算-的结果为,则A=(A)
A.x B.y C.x+y D.x-y
2.(2024·连云港中考)下面是某同学计算-的解题过程:
解:-
=-……第①步
=(m+1)-2……第②步
=m-1……第③步
上述解题过程从第几步开始出现错误 请写出完整的正确解题过程.
【解析】从第②步开始出现错误,正确的解题过程如下:
原式=
=
=.
【技法点拨】
异分母分式的加减的步骤
(1)正确地找出各分式的最简公分母.
(2)准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式,然后通分.
(3)通分后进行同分母分式的加减运算.
(4)将得到的结果化成最简分式或整式.
重点3分式的混合运算(运算能力)
【典例3】(教材溯源·P123例6)(1)(2024·雅安中考)先化简,再求值: (1-)÷,其中a=2.
(2)(2024·牡丹江中考)先化简,再求值:÷(x-),并从-1,0,1,2,3中选一个合适的数代入求值.
【解析】(1)原式=·
=·
=,
当a=2时,原式==.
(2)÷(x-)
=÷(-)
=÷
=·
=.
∵x≠0且x≠3,
∴x=-1或x=1或x=2.
当x=-1时,原式==-.(答案不唯一)
【举一反三】
1.(2024·重庆中考A卷)计算: (1+)÷.
【解析】原式=÷=·=.
2.(2024·青海中考)先化简,再求值: (-)÷(-),其中x=2-y.
【解析】原式=(-)÷(-)
=÷=×
=×=,
∵x=2-y,∴x+y=2,
∴原式==.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)将分式与分式通分后,的分母变为(1+a)(1-a)2,则的分子变为(A)
A.1-a B.1+a C.-1-a D.-1+a
2.(4分·运算能力、推理能力)若x-y=3xy,则-的值是(A)
A.-3 B.3 C.- D.
3.(4分·运算能力、应用意识)A地在河的上游,B地在河的下游,若船从A地开往B地的速度为a千米/时,从B地返回A地的速度为b千米/时,则在A,B两地间往返一次的平均速度为 千米/时(用含a,b的式子表示).
4.(8分·运算能力)(1)计算:+.
(2)(2024·山西中考)化简: (+)÷.
【解析】(1)原式==.
(2) (+)÷
=·
=·
=.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 三十二”3 分式的加减法
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.归纳并理解同分母分式加减运算法则 抽象能力
2.能进行同分母分式加减及可化为同分母分式的加减运算 运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.同分母分式的加减法 (1)法则:分母 ,把分子 ; (2)字母表示:. 2.可化为同分母分式的加减法 (1)法则:当分母互为相反数或相反数的平方,可 ,再进行同分母分式加减运算. (2)字母表示:+==,+==. 1.(1)+=( ) A.3 B. C. D. (2)计算:-= . 2.计算:(1)+= . (2)+= .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1同分母分式的加减法(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P117例1变式)计算:
(1)-;
(2)-.
【举一反三】
1.(2024·江西中考)化简:-.
2.(2023·鄂州中考)先化简,再求值:-,其中a=2.
【技法点拨】
同分母的分式加减法法则及注意事项
1.法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
2.注意事项:“分子相加减”指将各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是多项式时,应先用括号括起来,尤其是分子相减时,应减去分子整体,因此括号不能漏.
重点2可化为同分母分式的加减法(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P118例2变式)化简+的结果是( )
A.a+b B.a-b
C. D.
【举一反三】
1.(2024·嘉兴质检)计算:(1)+.
(2)-.
(3)+-.
2.先化简,再计算:+,其中a=2.
【技法点拨】
可化为同分母分式的加减法
1.如果分母互为相反数,变成同分母分式时,需变号的分式,分子、分母同时改变符号.
2.如果分母为相反数的平方,只需要把分母改成一样的,分子的符号不变.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力·2024·甘肃中考)计算:-=( )
A.2 B.2a-b C. D.
2.(3分·运算能力、推理能力)若a,b互为倒数,则分式+的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
3.(9分·运算能力)计算:
(1)-.
(2)+.
(3)+.
4.(5分·运算能力)已知M=,N=,用“+”或“-”连接M,N,有三种不同的形式,即:M+N,M-N,N-M,请你任取其中一种进行化简,并求值,其中x=3,y=5.
