第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题 应用意识、模型观念
2.用分式方程解决现实情境中的问题 运算能力、应用意识、模型观念
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
一、列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:分析题意,找出数量关系和等量关系. 2.设:直接设法与间接设法. 3.列:根据等量关系,列出方程. 4.解:解方程,得未知数的值. 5.验:有两次检验.(1)是否为所列方程的解. (2)是否符合实际意义. 6.答:注意单位和答案完整. 二、常见的几种实际问题类型 1.行程问题:路程=速度×时间. 2.工程问题:工作量=工作效率×工作时间. 3.利润问题:利润=售价-进价. 利润率=×100%. 4.若用v表示轮船的速度,用v顺,v逆,v水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度,则 v顺=v+v水,v逆=v-v水, v=, v水=. 1.A,B两地相距36千米,一艘轮船从A地顺流行至B地,又立即从B地逆流返回A地,共用9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程为 =9 . 2.甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同,已知两人每天共做140个零件,若设甲每天做x个零件,所列方程正确的是(A) A.= B.= C.+=140 D.-140= 3.某学校用420元钱到商场去购买“84”消毒液,经过还价,每瓶便宜0.5元,结果比用原价多买了20瓶,求原价每瓶多少元.若设原价每瓶x元,则可列出方程为(B) A.-=20 B.-=20 C.-=0.5 D.-=0.5
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1】工程及行程问题(运算能力、应用意识)
【典例1】(教材溯源·P129例3·2024扬州中考)为了提高垃圾处理效率,某垃圾处理厂购进A,B两种机器,A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾,A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾
【解析】设B型机器每天处理x吨垃圾,则A型机器每天处理(x+40)吨垃圾,
根据题意得:=,
解得:x=60,
经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意.
答:B型机器每天处理60吨垃圾.
【举一反三】
1.(2024·达州中考)甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个.设乙每小时加工x个零件,可列方程为(D)
A.-=30 B.-=30
C.-= D.-=
2.一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同,则江水的流速为 10 km/h .
3.(2024·云南中考)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时,C型车的平均速度是D型车平均速度的3倍,求D型车的平均速度.
【解析】设D型车的平均速度是x千米/时,则C型车的平均速度是3x千米/时,
根据题意得:-=2,解得:x=100,
经检验,x=100是所列方程的解,且符合题意.
答:D型车的平均速度是100千米/时.
【技法点拨】
工程问题及行程问题解题策略
(1)工程问题明确题中的等量关系,要抓住工作量=工作效率×工作时间或工作时间=.
(2)行程问题中明确的数量关系,速度=或时间=.
(3)注意避免常见的错误.
①易出现单位不统一的错误;
②有时候,解出的未知数的值符合方程,但与实际问题不符,易忘记舍去.
重点2销售问题(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材溯源·P129随堂练习·2024重庆中考A卷)为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条
(2)经测算,更新1条甲类生产线的设备比更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元更新甲类生产线的设备数量和用180万元更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备
【解析】(1)设该企业有x条甲类生产线,y条乙类生产线,
根据题意得:,解得:.
答:该企业有10条甲类生产线,20条乙类生产线;
(2)设更新1条乙类生产线的设备需投入m万元,则更新1条甲类生产线的设备需投入(m+5)万元,
根据题意得:=,解得:m=45,
经检验,m=45是所列方程的解,且符合题意,
∴10(m+5)+20m-70=10×(45+5)+20×45-70=1 330.
答:还需投入1 330万元资金更新生产线的设备.
【举一反三】
(2024·长春模拟)新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱,各种品牌相继投放市场,一汽贸公司经销某品牌新能源汽车,去年销售总额为5 000万元,今年每辆车的销售价格比去年降低2万元,销售数量与去年相同,销售总额比去年少
1 000万元,今年每辆车的销售价格是多少万元
【解析】设今年每辆车的销售价格为x万元,
根据题意,得=.
解得:x=8.
检验:当x=8时,x(x+2)≠0,所以x=8是原分式方程的解.
答:今年每辆车的销售价格为8万元.
【技法点拨】
销售问题常用公式
(1)利润=售价-进价.
(2)利润率=×100%.
(3)售价=标价×.
(4)售价=进价×(1+利润率).
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(3分·模型观念、应用意识)甲、乙两地相距400千米,一辆汽车从甲地开往乙地,实际每小时比原计划多行驶12千米,结果提前1小时到达.设这辆汽车原计划的平均速度为x千米/时,根据题意可列方程为(A)
A.=+1
B.=+1
C.+1=
D.+1=
2.(3分·运算能力、应用意识、模型观念)新安街道某段道路改造工程,由甲、乙两个工程队合作30天可完成,若单独施工,甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍.甲工程队单独完成此项工程需要 90 天.
3.(9分·运算能力、应用意识·2023·济宁中考)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元,且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等.
(1)A,B两种型号充电桩的单价各是多少
(2)该停车场计划共购买25个A,B型充电桩,购买总费用不超过26万元,且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的.问:共有哪几种购买方案 哪种方案所需购买总费用最少
【解析】(1)设A型充电桩的单价为x万元,则B型充电桩的单价为(x+0.3)万元,根据题意得=,解得x=0.9,经检验x=0.9是原方程的解,x+0.3=1.2.
答:A型充电桩的单价为0.9万元,B型充电桩的单价为1.2万元;
(2)设购买A型充电桩m个,则购买B型充电桩(25-m)个,
根据题意,得:,
解得:≤m≤.
∵m为整数,∴m=14,15,16.∴该停车场有3种购买充电桩方案,方案一:购买14个A型充电桩、11个B型充电桩;方案二:购买15个A型充电桩、10个B型充电桩;方案三:购买16个A型充电桩、9个B型充电桩.
∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价,
∴方案三所需购买总费用最少,最少费用为16×0.9+1.2×9=25.2(万元).
训练升级,请使用 “课时过程性评价 三十四”4 分式方程
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解分式方程的概念 模型观念
2.掌握解分式方程的基本思路和方法 运算能力
3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法 推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.分式方程的定义 分母中 的方程. 1.下列方程是分式方程的是( ) A.-=0 B.=-2 C.x2-1=3 D.2x+1=3x
2.解分式方程的步骤: 2.(1)分式方程+=1的解为( ) A.x=2 B.x=-2 C.x=1 D.x=-1 (2)方程=的解为 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1分式方程的定义(模型观念)
【典例1】(教材再开发·P125议一议拓展)判断下列方程是不是分式方程,并说明理由.
(1)=8;
(2)=;
(3)=1;
(4)-2=x(a为非零常数).
【举一反三】
1.下列方程:①x2-2x=;②=1;③x4-2x2=0;④x2-1=0.其中是分式方程的有( )
A.②③ B.①②
C.①③ D.②④
2.在关于x的方程:①=+;②-=0;③=;④=;⑤+=(a为常数)中,整式方程有 ,分式方程有 .(填序号)
【技法点拨】
判断分式方程的三点注意
1.方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别;
2.分母中含有字母的方程不一定是分式方程,比如=5(a为非零常数),a不是未知数,所以该方程是整式方程;
3.判断一个方程是否为分式方程时,是对原方程本身进行判断,不能利用等式的基本性质或分式的基本性质对方程进行变形后再判断,比如=4是分式方程.
重点2解分式方程(运算能力)
【典例2】(教材溯源·P126例1)解方程:
(1)(2024·广州中考)=.
(2)(2024·包头中考)-2=.
(3)(2024·福建中考)+1=.
【举一反三】
1.(2023·株洲中考)将关于x的分式方程=去分母可得( )
A.3x-3=2x B.3x-1=2x
C.3x-1=x D.3x-3=x
2.(2024·德阳中考)分式方程=的解是( )
A.3 B.2 C. D.
【技法点拨】
解分式方程的一般步骤
(1)去分母将其化为整式方程.
(2)解整式方程.
(3)验根.方法一:把求得的未知数的值代入原方程,看此未知数的值是否适合原方程;方法二:把求得的未知数的值代入分式的分母,看分母的值是否等于零.
(4)写出分式方程的解.
特别提醒
分式方程解完要检验.
重点3已知分式方程根的情况求待定字母(运算能力、推理能力)
【典例3】(2024·遂宁中考)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围为( )
A.m>-3
B.m>-3且m≠-2
C.m<3
D.m<3且m≠-2
【举一反三】
(2024·龙东中考)已知关于x的分式方程-2=无解,则k的值为( )
A.2或-1 B.-2
C.2或1 D.-1
【技法点拨】
分式方程无解的两种情况
(1)由分式方程转化得到的整式方程的解,使得最简公分母为零,此时分式方程有增根.
(2)由分式方程转化的整式方程无解,此时分式方程也无解.
特别提醒
增根不是分式方程的解.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)在①=5;②(x-1)+(x+1)=4;③-=1;④+=-1;⑤(3x-7)中,分式方程有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(3分·运算能力、推理能力·2024·牡丹江中考)若分式方程=3-的解为正整数,则整数m的值为 .
3.(6分·运算能力)解方程:
(1)=-3;
(2)(2024·陕西中考)+=1.
4.(8分·运算能力、推理能力)已知关于x的分式方程-=1.
(1)若分式方程的根是x=5,求a的值;
(2)若分式方程无解,求a的值.第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题 应用意识、模型观念
2.用分式方程解决现实情境中的问题 运算能力、应用意识、模型观念
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
一、列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:分析题意,找出数量关系和等量关系. 2.设:直接设法与间接设法. 3.列:根据 ,列出方程. 4.解:解方程,得未知数的值. 5.验:有两次检验.(1)是否为所列方程的解. (2)是否符合 . 6.答:注意单位和答案完整. 二、常见的几种实际问题类型 1.行程问题:路程= × . 2.工程问题:工作量= × . 3.利润问题:利润=售价- . 利润率=×100%. 4.若用v表示轮船的速度,用v顺,v逆,v水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度,则 v顺=v+ ,v逆=v- , v=, v水=. 1.A,B两地相距36千米,一艘轮船从A地顺流行至B地,又立即从B地逆流返回A地,共用9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程为 . 2.甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同,已知两人每天共做140个零件,若设甲每天做x个零件,所列方程正确的是( ) A.= B.= C.+=140 D.-140= 3.某学校用420元钱到商场去购买“84”消毒液,经过还价,每瓶便宜0.5元,结果比用原价多买了20瓶,求原价每瓶多少元.若设原价每瓶x元,则可列出方程为( ) A.-=20 B.-=20 C.-=0.5 D.-=0.5
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1】工程及行程问题(运算能力、应用意识)
【典例1】(教材溯源·P129例3·2024扬州中考)为了提高垃圾处理效率,某垃圾处理厂购进A,B两种机器,A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾,A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾
【举一反三】
1.(2024·达州中考)甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个.设乙每小时加工x个零件,可列方程为( )
A.-=30 B.-=30
C.-= D.-=
2.一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同,则江水的流速为 .
3.(2024·云南中考)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时,C型车的平均速度是D型车平均速度的3倍,求D型车的平均速度.
【技法点拨】
工程问题及行程问题解题策略
(1)工程问题明确题中的等量关系,要抓住工作量=工作效率×工作时间或工作时间=.
(2)行程问题中明确的数量关系,速度=或时间=.
(3)注意避免常见的错误.
①易出现单位不统一的错误;
②有时候,解出的未知数的值符合方程,但与实际问题不符,易忘记舍去.
重点2销售问题(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材溯源·P129随堂练习·2024重庆中考A卷)为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条
(2)经测算,更新1条甲类生产线的设备比更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元更新甲类生产线的设备数量和用180万元更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备
【举一反三】
(2024·长春模拟)新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱,各种品牌相继投放市场,一汽贸公司经销某品牌新能源汽车,去年销售总额为5 000万元,今年每辆车的销售价格比去年降低2万元,销售数量与去年相同,销售总额比去年少
1 000万元,今年每辆车的销售价格是多少万元
【技法点拨】
销售问题常用公式
(1)利润=售价-进价.
(2)利润率=×100%.
(3)售价=标价×.
(4)售价=进价×(1+利润率).
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(3分·模型观念、应用意识)甲、乙两地相距400千米,一辆汽车从甲地开往乙地,实际每小时比原计划多行驶12千米,结果提前1小时到达.设这辆汽车原计划的平均速度为x千米/时,根据题意可列方程为( )
A.=+1
B.=+1
C.+1=
D.+1=
2.(3分·运算能力、应用意识、模型观念)新安街道某段道路改造工程,由甲、乙两个工程队合作30天可完成,若单独施工,甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍.甲工程队单独完成此项工程需要 天.
3.(9分·运算能力、应用意识·2023·济宁中考)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元,且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等.
(1)A,B两种型号充电桩的单价各是多少
(2)该停车场计划共购买25个A,B型充电桩,购买总费用不超过26万元,且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的.问:共有哪几种购买方案 哪种方案所需购买总费用最少 4 分式方程
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解分式方程的概念 模型观念
2.掌握解分式方程的基本思路和方法 运算能力
3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法 推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.分式方程的定义 分母中含有未知数的方程. 1.下列方程是分式方程的是(B) A.-=0 B.=-2 C.x2-1=3 D.2x+1=3x
2.解分式方程的步骤: 2.(1)分式方程+=1的解为(A) A.x=2 B.x=-2 C.x=1 D.x=-1 (2)方程=的解为 x=-1 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1分式方程的定义(模型观念)
【典例1】(教材再开发·P125议一议拓展)判断下列方程是不是分式方程,并说明理由.
(1)=8;
(2)=;
(3)=1;
(4)-2=x(a为非零常数).
【解析】(1)=8分母中不含有未知数,不是分式方程;
(2)=分母中含有未知数,是分式方程;
(3)=1分母中含有未知数,是分式方程;
(4)-2=x(a为非零常数)分母中虽然有字母a,但a为非零常数,不是未知数,不是分式方程.
【举一反三】
1.下列方程:①x2-2x=;②=1;③x4-2x2=0;④x2-1=0.其中是分式方程的有(B)
A.②③ B.①②
C.①③ D.②④
2.在关于x的方程:①=+;②-=0;③=;④=;⑤+=(a为常数)中,整式方程有 ②③⑤ ,分式方程有 ①④ .(填序号)
【技法点拨】
判断分式方程的三点注意
1.方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别;
2.分母中含有字母的方程不一定是分式方程,比如=5(a为非零常数),a不是未知数,所以该方程是整式方程;
3.判断一个方程是否为分式方程时,是对原方程本身进行判断,不能利用等式的基本性质或分式的基本性质对方程进行变形后再判断,比如=4是分式方程.
重点2解分式方程(运算能力)
【典例2】(教材溯源·P126例1)解方程:
(1)(2024·广州中考)=.
(2)(2024·包头中考)-2=.
(3)(2024·福建中考)+1=.
【解析】(1)原方程去分母得:x=6x-15,
解得x=3,检验:当x=3时,x(2x-5)≠0,
故原方程的解为x=3.
(2)-2=,x-2-2(x-4)=x,
解得x=3,检验:当x=3时,x-4≠0,
∴x=3是原方程的根.
(3)去分母得:
3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),
整理得:3x-10=2x,
解得x=10,
检验:当x=10时,(x+2)(x-2)≠0,
故原方程的解为x=10.
【举一反三】
1.(2023·株洲中考)将关于x的分式方程=去分母可得(A)
A.3x-3=2x B.3x-1=2x
C.3x-1=x D.3x-3=x
2.(2024·德阳中考)分式方程=的解是(D)
A.3 B.2 C. D.
【技法点拨】
解分式方程的一般步骤
(1)去分母将其化为整式方程.
(2)解整式方程.
(3)验根.方法一:把求得的未知数的值代入原方程,看此未知数的值是否适合原方程;方法二:把求得的未知数的值代入分式的分母,看分母的值是否等于零.
(4)写出分式方程的解.
特别提醒
分式方程解完要检验.
重点3已知分式方程根的情况求待定字母(运算能力、推理能力)
【典例3】(2024·遂宁中考)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围为(B)
A.m>-3
B.m>-3且m≠-2
C.m<3
D.m<3且m≠-2
【举一反三】
(2024·龙东中考)已知关于x的分式方程-2=无解,则k的值为(A)
A.2或-1 B.-2
C.2或1 D.-1
【技法点拨】
分式方程无解的两种情况
(1)由分式方程转化得到的整式方程的解,使得最简公分母为零,此时分式方程有增根.
(2)由分式方程转化的整式方程无解,此时分式方程也无解.
特别提醒
增根不是分式方程的解.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)在①=5;②(x-1)+(x+1)=4;③-=1;④+=-1;⑤(3x-7)中,分式方程有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(3分·运算能力、推理能力·2024·牡丹江中考)若分式方程=3-的解为正整数,则整数m的值为 -1 .
3.(6分·运算能力)解方程:
(1)=-3;
(2)(2024·陕西中考)+=1.
【解析】(1)=-3,
方程两边同乘(x-2),得1=x-1-3(x-2),
解得x=2,
检验:当x=2时,x-2=0,
∴x=2是原方程的增根,原分式方程无解;
(2)方程两边都乘(x+1)(x-1),得2+x(x+1)=(x+1)(x-1),解得x=-3,
检验:当x=-3时,(x+1)(x-1)≠0,
所以原分式方程的解是x=-3.
4.(8分·运算能力、推理能力)已知关于x的分式方程-=1.
(1)若分式方程的根是x=5,求a的值;
(2)若分式方程无解,求a的值.
【解析】(1)∵分式方程的根是x=5,
∴-1=1,解得a=1,
∴a的值为1;
(2)分式方程去分母得x2+ax-5x+10=x2-2x,即ax-3x+10=0,
①当a-3=0时,方程无解,∴a=3;
②当分式方程有增根时,x=0或2,
当x=0时,0-0+10=0,此时不存在a的值,
当x=2时,2a-6+10=0,解得a=-2,
综上所述,若分式方程无解,a的值为3或-2.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 三十三”
