第一章 三角形的证明 单元复习课
体系自我构建 方寸之间 尽显乾坤
目标维度评价 怀揣梦想 勇攀高峰
维度1 基础知识的应用
1. (2023·台州中考)如图,锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD.下列命题中,假命题是( )
A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBC
B.若∠DCB=∠EBC,则CD=BE
C.若BD=CE,则∠DCB=∠EBC
D.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE
2.(2023·天津中考)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
3.(2024·云南中考)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为( )
A. B.2 C.3 D.
4.(2023·长沙中考)如图,已知∠ABC=50°,点D在BA上,以点B为圆心,BD长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是 度.
5.(2024·重庆中考B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为 .
维度2 基本技能(方法)、基本思想的应用
6.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
7.(2023·南充中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10.以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部相交于点P,画射线AP与BC交于点D,作DE⊥AB,垂足为E.则下列结论错误的是( )
A.∠CAD=∠BAD B.CD=DE
C.AD=5 D.CD∶BD=3∶5
8.(2022·镇江中考)如图,点A,B,C,D在网格中小正方形的顶点处,AD与BC相交于点O,小正方形的边长为1,则AO的长等于( )
A.2 B. C. D.
9.(2023·本溪中考)如图,在三角形纸片ABC中,AB=AC,∠B=20°,点D是边BC上的动点,将三角形纸片沿AD对折,使点B落在点B'处,当B'D⊥BC时,∠BAD的度数为 .
10.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是 .
11.定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 .
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AB,AC于D,E两点;分别以点D,E为圆心,以大于DE长为半径作弧,在∠BAC内两弧相交于点P;作射线AP交BC于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为G.若AB=8 cm,则△BFG的周长等于 cm.
13.(2023·广西中考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=90°.
(1)在斜边AC上求作线段AO,使AO=BC,连接OB;(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)若OB=2,求AB的长.
维度3 实际生活生产中的运用
14.(2023·兰州中考)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法.如《淮南子天文训》中记载:“正朝夕,先树一表东方,操一表却去前表十步,以参望日始出北廉.日直入,又树一表于东方,因西方之表以参望日,方入北廉则定东方.两表之中,与西方之表,则东西之正也.”如图,用几何语言叙述作图方法:已知直线a和直线外一定点O,过点O作直线与a平行.(1)以O为圆心,单位长为半径作圆,交直线a于点M,N;(2)分别在MO的延长线及ON上取点A,B,使OA=OB;(3)连接AB,取其中点C,过O,C两点确定直线b,则直线a∥b.按以上作图顺序,若∠MNO=35°,则∠AOC=( )
A.35° B.30° C.25° D.20°
15.数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离,在A的同岸选取点C,测得AC=30,∠A=45°,∠C=90°,如图,据此可求得A,B之间的距离为( )
A.20 B.60
C.30 D.30
16.如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
感悟思想体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
方程思想 勾股定理是构建方程解决问题的常用依据,在解决有关直角三角形、长方形或正方形的折叠问题时,常常通过设未知数列方程解决问题.
分类讨论思想 在等腰三角形的腰、底不确定时、等腰三角形的顶角和底角不确定或等腰三角形的形状不确定时需要分类讨论.
转化思想 将证明线段相等、角相等转化为三角形全等的问题来解决.第一章 三角形的证明 单元复习课
体系自我构建 方寸之间 尽显乾坤
目标维度评价 怀揣梦想 勇攀高峰
维度1 基础知识的应用
1. (2023·台州中考)如图,锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD.下列命题中,假命题是(A)
A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBC
B.若∠DCB=∠EBC,则CD=BE
C.若BD=CE,则∠DCB=∠EBC
D.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE
2.(2023·天津中考)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为(D)
A.9 B.8 C.7 D.6
3.(2024·云南中考)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为(C)
A. B.2 C.3 D.
4.(2023·长沙中考)如图,已知∠ABC=50°,点D在BA上,以点B为圆心,BD长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是 65 度.
5.(2024·重庆中考B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为 2 .
维度2 基本技能(方法)、基本思想的应用
6.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是(D)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
7.(2023·南充中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10.以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部相交于点P,画射线AP与BC交于点D,作DE⊥AB,垂足为E.则下列结论错误的是(C)
A.∠CAD=∠BAD B.CD=DE
C.AD=5 D.CD∶BD=3∶5
8.(2022·镇江中考)如图,点A,B,C,D在网格中小正方形的顶点处,AD与BC相交于点O,小正方形的边长为1,则AO的长等于(A)
A.2 B. C. D.
9.(2023·本溪中考)如图,在三角形纸片ABC中,AB=AC,∠B=20°,点D是边BC上的动点,将三角形纸片沿AD对折,使点B落在点B'处,当B'D⊥BC时,∠BAD的度数为 25°或115° .
10.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是 10°或100° .
11.定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 6 .
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AB,AC于D,E两点;分别以点D,E为圆心,以大于DE长为半径作弧,在∠BAC内两弧相交于点P;作射线AP交BC于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为G.若AB=8 cm,则△BFG的周长等于 8 cm.
13.(2023·广西中考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=90°.
(1)在斜边AC上求作线段AO,使AO=BC,连接OB;(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)若OB=2,求AB的长.
【解析】(1)所作线段AO如图所示:
(2)∵∠A=30°,∠ABC=90°,
∴AC=2BC,
∵AO=BC,∴AC=2AO,
∴OC=AO,即点O为AC的中点,
∵OB=2,∴AC=2OB=4,
∴BC=2,∴AB==2.
维度3 实际生活生产中的运用
14.(2023·兰州中考)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法.如《淮南子天文训》中记载:“正朝夕,先树一表东方,操一表却去前表十步,以参望日始出北廉.日直入,又树一表于东方,因西方之表以参望日,方入北廉则定东方.两表之中,与西方之表,则东西之正也.”如图,用几何语言叙述作图方法:已知直线a和直线外一定点O,过点O作直线与a平行.(1)以O为圆心,单位长为半径作圆,交直线a于点M,N;(2)分别在MO的延长线及ON上取点A,B,使OA=OB;(3)连接AB,取其中点C,过O,C两点确定直线b,则直线a∥b.按以上作图顺序,若∠MNO=35°,则∠AOC=(A)
A.35° B.30° C.25° D.20°
15.数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离,在A的同岸选取点C,测得AC=30,∠A=45°,∠C=90°,如图,据此可求得A,B之间的距离为(C)
A.20 B.60
C.30 D.30
16.如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
感悟思想体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
方程思想 勾股定理是构建方程解决问题的常用依据,在解决有关直角三角形、长方形或正方形的折叠问题时,常常通过设未知数列方程解决问题.
分类讨论思想 在等腰三角形的腰、底不确定时、等腰三角形的顶角和底角不确定或等腰三角形的形状不确定时需要分类讨论.
转化思想 将证明线段相等、角相等转化为三角形全等的问题来解决.
