1 等腰三角形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容; 几何直观、推理能力
2.能证明等腰三角形的性质定理及其推论,并应用定理及其推论解决问题; 几何直观、模型观念、推理能力
3.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程,逐步掌握证明的方法,发展推理能力. 几何直观、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.全等三角形的性质:对应边相等,对应角相等. 1.如图,△ABC≌△BAD.若AB=6,AC=4,BC=5,则AD的长为(B) A.4 B.5 C.6 D.以上都不对
2.全等三角形的判定方法:SSS,SAS,ASA,AAS. 2.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是(A) A.∠A=∠D B.AC=DF C.AB=ED D.BF=EC
3.等腰三角形的性质 文字图示几何语言等边对等角:等腰三角形的两底角相等∵AB=AC,∴∠B=∠C三线合一:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD,AD平分 ∠BAC
3.(1)等腰三角形的顶角是80°,则底角的度数是(D) A.80° B.70° C.60° D.50° (2)如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=BC,BD平分∠ABC,若AC=10,则AD的长为 5 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 全等三角形的性质和判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P4习题1.1T2变式)已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.
求证:AD=CF.
【自主解答】∵AB∥DE,
∴∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(AAS),∴AC=DF,
∴AC-DC=DF-DC,即AD=CF.
【举一反三】
1.如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则∠1的度数是(B)
A.76°
B.62°
C.42°
D.76°,62°或42°都可以
2.如图,点E,F在△ABC的边AC上,且EF=BC,DE∥BC,∠DFE=∠B.求证:DE=AC.
【证明】∵DE∥BC,∴∠DEF=∠C,
在△DEF和△ACB中,,
∴△DEF≌△ACB(ASA),
∴DE=AC.
【技法点拨】
判定三角形全等的常见思路
易错提醒
SSA,AAA不能判定两个三角形全等.
重点2 等腰三角形的性质(几何直观、运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P4习题1.1T4强化)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,点E是BA延长线上一点,点F是AC上一点,连接EF并延长交BC于点G,且AE=AF.
(1)若∠B=50°,求∠E的度数.
(2)求证:AD∥EG.
【自主解答】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C=50°,∴∠BAC=180°-50°-50°=80°.
∵AE=AF,∴∠E=∠AFE,∵∠BAC=∠E+∠AFE,∴∠E=∠AFE=40°.
(2)∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠BAC,
∵AE=AF,∴∠E=∠AFE,又∵∠BAC=∠E+∠AFE,∴∠E=∠BAC,∴∠E=
∠BAD,∴AD∥EG.
【举一反三】
1.(2023·眉山中考)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为(C)
A.70° B.100° C.110° D.140°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,线段AD是∠BAC的平分线,点E,F是AD上任意两点(不含A,D).若AB=5 cm,AD=4 cm,则阴影部分的面积是6cm2.
3.如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上任意一点,过P作PD⊥AC于D,PE⊥AB于E,若S△ABC=12,则PE+PD=.
【技法点拨】
等腰三角形的三线合一模型
等腰三角形中,见底边中点,连中线,得垂直.
条件 图示 结论
AB=AC,D是BC的中点 AD⊥BC,且BD=CD,AD=
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力、几何直观·2024·湖南中考)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为100°.
2.(4分·运算能力、几何直观·2023·重庆中考B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度为4.
3.(4分·推理能力、几何直观·2024·内江中考)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,
AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为100°.
4.(8分·推理能力、几何直观)如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
【解析】(1)∵AE和BD相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE,又∵∠A=∠B,
∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2,∴∠BEO=∠1,
∴∠BEO+∠AED=∠1+∠AED,即∠AEC=∠BED.
又∵AE=BE,
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)∵△AEC≌△BED,
∴∠C=∠BDE,DE=CE.
又∵∠1=42°,
∴∠C=∠CDE==69°,
∴∠BDE=∠C=69°.1 等腰三角形
第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握等边三角形的判定定理; 几何直观、推理能力
2.探索并会应用直角三角形30°的角所对的直角边与斜边的关系定理. 几何直观、运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.等边三角形的判定 定理描述图示几何语言三个角都 的三角形是等边三角形∵∠A=∠B =∠C, ∴△ABC是等边三角形有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形∵AB=AC,∠A= , ∴△ABC是等边三角形
1.(1)下列推理中,不能判断△ABC是等边三角形的是( ) A.∠A=∠B=∠C B.AB=AC,∠B=60° C.∠A=60°,∠B=60° D.AB=AC,∠B=∠C (2)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画出射线OB,则∠AOB=( ) A.30° B.45° C.60° D.90° (3)在△ABC中,如果AB=AC=8,∠A= ∠C,那么BC= .
2.含30°角的直角三角形 定理在 三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的 边等于 的一半图示及几何语言∵∠C=90°, ∠B=30°, ∴AC=
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, AB=2,则BC为 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 等边三角形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AB交BC于点D,AE⊥AC交BC于点E.求证:△ADE是等边三角形.
【举一反三】
1.下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A.①②③④ B.①②④
C.①③ D.②③④
2.若△ABC的三条边长分别是a,b,c,且(a-b)2+|b-c|=0,则这个三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.如图,在△ABC中,BD是中线,延长BC到点E,使CE=CD,若DB=DE,∠E=30°.求证:△ABC是等边三角形.
【技法点拨】
证等边三角形的思路
1.见到特殊角如120°,60°,30°等,想到可能存在等边三角形.
2.证法:已知一角60°,只需证等腰三角形或另外两角也是60°.
重点2 含30°角的直角三角形的性质(几何直观、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P13习题T2强化)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D.若CD=1,则BD= .
【举一反三】
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最长边AB=16 cm,则最短边BC的长是( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,∠B=30°,点P是BC边上一动点,连接AP,则AP的长度不可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,若∠A=30°,BD=1,则AD= .
【技法点拨】
含30°角的直角三角形的三边关系
如图△ABC中,∠B=30°,则AC∶AB∶BC=1∶2∶,故含30°角的直角三角形知一边可求另外两边.
易错提醒 含30°角的直角三角形的性质应用前提必须是直角三角形,其他三角形结论不成立.1 等腰三角形
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形; 几何直观、推理能力
2.通过实例体会反证法的含义. 几何直观、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.等腰三角形的判定 文字描述图示几何语言有两个角 的三角形是等腰三角形. 简称:等角对 ∵∠B=∠C, ∴
1.(1)下列三角形中,等腰三角形有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 (2)已知一个三角形中有两个角度数如下,其中不能构成等腰三角形的是( ) A.40°,70° B.50°,80° C.60°,90° D.40°,100°
2.反证法:先假设命题的结论 ,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相 的结果,从而证明命题的结论一定成立的证明方法. 2.假设命题a>0不成立,那么a与0的大小关系只能是 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 等腰三角形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P9随堂练习T1拓展)如图,在△ABC中,MN∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交MN于点E,F,若EF=4,MN=8,求BM+CN.
【举一反三】
(2024·江西中考)追本溯源题(1)是来自课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由.
方法应用
(2)如图2,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有_______.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
【技法点拨】
角平分线、平行线、等腰三角形,知二推一
图示 结论
①∠1=∠2 ②AC∥BD ③AB=AC(或AB=AD) 知二推一
重点2 反证法(几何直观、运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P9例3强化)用反证法证明:在△ABC中,∠A,∠B,∠C中至少有一个内角大于或等于60°.
【举一反三】
1.用反证法证明命题“在同一个平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,第一步应假设( )
A.a不平行于b B.a平行于b
C.b不平行于c D.b平行于c
2.用反证法证明:已知直线a∥c,b∥c,求证:a∥b.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、几何直观)下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( )
A.有两个内角分别是40°,40°的三角形
B.有一个角为45°的直角三角形
C.一个外角是130°,与它不相邻的一个内角为50°的三角形
D.有两个内角分别是70°,50°的三角形
2. (4分·推理能力、几何直观)已知,如图,在△ABC中,BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若BD+EC=5,则线段DE的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.(8分·推理能力、几何直观)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.1 等腰三角形
第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握等边三角形的判定定理; 几何直观、推理能力
2.探索并会应用直角三角形30°的角所对的直角边与斜边的关系定理. 几何直观、运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.等边三角形的判定 定理描述图示几何语言三个角都相等的三角形是等边三角形∵∠A=∠B =∠C, ∴△ABC是等边三角形有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形∵AB=AC,∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形
1.(1)下列推理中,不能判断△ABC是等边三角形的是(D) A.∠A=∠B=∠C B.AB=AC,∠B=60° C.∠A=60°,∠B=60° D.AB=AC,∠B=∠C (2)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画出射线OB,则∠AOB=(C) A.30° B.45° C.60° D.90° (3)在△ABC中,如果AB=AC=8,∠A= ∠C,那么BC= 8 .
2.含30°角的直角三角形 定理在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半图示及几何语言∵∠C=90°, ∠B=30°, ∴AC=AB
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, AB=2,则BC为 1 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 等边三角形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AB交BC于点D,AE⊥AC交BC于点E.求证:△ADE是等边三角形.
【自主解答】∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵AD⊥AB,AE⊥AC,
∴∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠ADB=∠AEC=60°,∴∠EAD=180°-60°-60°=60°,∴△ADE是等边三角形.
【举一反三】
1.下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有(A)
A.①②③④ B.①②④
C.①③ D.②③④
2.若△ABC的三条边长分别是a,b,c,且(a-b)2+|b-c|=0,则这个三角形是(B)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.如图,在△ABC中,BD是中线,延长BC到点E,使CE=CD,若DB=DE,∠E=30°.求证:△ABC是等边三角形.
【证明】∵DB=DE,∴∠DBC=∠E=30°,
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E=30°,∠DCE=180°-∠E-∠CDE=120°,
∴∠BCD=180°-∠DCE=60°,
∴∠BDC=∠ADB=90°,
∵BD是中线,∴AD=CD,
又∵BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴AB=BC,
∴△ABC是等边三角形.
【技法点拨】
证等边三角形的思路
1.见到特殊角如120°,60°,30°等,想到可能存在等边三角形.
2.证法:已知一角60°,只需证等腰三角形或另外两角也是60°.
重点2 含30°角的直角三角形的性质(几何直观、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P13习题T2强化)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D.若CD=1,则BD= 2 .
【举一反三】
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最长边AB=16 cm,则最短边BC的长是(D)
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,∠B=30°,点P是BC边上一动点,连接AP,则AP的长度不可能是(D)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,若∠A=30°,BD=1,则AD= 3 .
【技法点拨】
含30°角的直角三角形的三边关系
如图△ABC中,∠B=30°,则AC∶AB∶BC=1∶2∶,故含30°角的直角三角形知一边可求另外两边.
易错提醒 含30°角的直角三角形的性质应用前提必须是直角三角形,其他三角形结论不成立.1 等腰三角形
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形; 几何直观、推理能力
2.通过实例体会反证法的含义. 几何直观、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.等腰三角形的判定 文字描述图示几何语言有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称:等角对等边∵∠B=∠C, ∴AB=AC
1.(1)下列三角形中,等腰三角形有(B) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 (2)已知一个三角形中有两个角度数如下,其中不能构成等腰三角形的是(C) A.40°,70° B.50°,80° C.60°,90° D.40°,100°
2.反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立的证明方法. 2.假设命题a>0不成立,那么a与0的大小关系只能是 a≤0 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 等腰三角形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P9随堂练习T1拓展)如图,在△ABC中,MN∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交MN于点E,F,若EF=4,MN=8,求BM+CN.
【自主解答】∵MN∥BC,
∴∠MEB=∠EBC,∠NFC=∠FCB,
∵BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∴∠ABE=∠CBE,∠ACF=∠FCB,
∴∠MBE=∠MEB,∠NFC=∠ACF,
∴MB=ME,NF=NC,
∵EF=4,MN=8,
∴MB+NC=ME+NF=MN+FE=12.
【举一反三】
(2024·江西中考)追本溯源题(1)是来自课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由.
方法应用
(2)如图2,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有_______.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
【解析】(1)△BDE是等腰三角形,
理由如下:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵BC∥ED,∴∠EDB=∠CBD,
∴∠EDB=∠ABD,
∴EB=ED,
∴△BDE是等腰三角形.
(2)①共有4个等腰三角形.
分别是:△ABE,△ABG,△AFD,△CGF.
答案:B
②由(1)可知,∠ABE=∠EBG=∠AEB,AB=AE=3,
∵AF⊥BE,
∴∠BAF=∠EAF.
∵BC∥AD,
∴∠EAG=∠AGB,
∴∠BAF=∠AGB,
∴AB=BG=3,
∵AB∥FD,
∴∠BAF=∠CFG,
∵∠AGB=∠CGF,
∴∠CGF=∠CFG,
∴CG=CF,
∵CG=BC-BG=5-3=2,
∴CF=2.
【技法点拨】
角平分线、平行线、等腰三角形,知二推一
图示 结论
①∠1=∠2 ②AC∥BD ③AB=AC(或AB=AD) 知二推一
重点2 反证法(几何直观、运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P9例3强化)用反证法证明:在△ABC中,∠A,∠B,∠C中至少有一个内角大于或等于60°.
【自主解答】假设△ABC中每个内角都小于60°,即∠A<60°,∠B<60°,∠C<60°,于是∠A+∠B+∠C<180°.这与三角形内角和定理相矛盾,因此“△ABC中每个内角都小于60°”的假设不成立.所以,在△ABC中,∠A,∠B,∠C中至少有一个内角大于或等于60°.
【举一反三】
1.用反证法证明命题“在同一个平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,第一步应假设(A)
A.a不平行于b B.a平行于b
C.b不平行于c D.b平行于c
2.用反证法证明:已知直线a∥c,b∥c,求证:a∥b.
【解析】假设a与b相交,
则过M点有两条直线平行于直线c,
这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾,所以a∥b.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、几何直观)下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(D)
A.有两个内角分别是40°,40°的三角形
B.有一个角为45°的直角三角形
C.一个外角是130°,与它不相邻的一个内角为50°的三角形
D.有两个内角分别是70°,50°的三角形
2. (4分·推理能力、几何直观)已知,如图,在△ABC中,BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若BD+EC=5,则线段DE的长为(A)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.(8分·推理能力、几何直观)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.
【证明】∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,
∴BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS),
∴∠AFB=∠DEC,
∴GE=GF.1 等腰三角形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解等腰三角形中的重要线段,深化对等腰三角形轴对称的认识; 几何直观、推理能力
2.探索等边三角形的性质定理. 几何直观、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.等腰三角形中的重要线段的性质 名称性质等腰三角形中的重要线段两底角的平分线相等两腰上的高相等两腰上的中线相等
1.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC和∠ACB的平分线BD和CE相交于点O,则下列结论不一定正确的是(C) A.BD=CE B.AE=AD C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE
2.等边三角形的性质 性质图形语言符号语言(1)三边相等 等边△ABC∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC= AC(2)三个内角都相等,每个角都是60°∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°
2.(1)如图,在等边△ABC中,AF是它的角平分线,若AC=8,则BF=(A) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)如图所示,△ABC是等边三角形,AD∥BC,△ACD是直角三角形,则∠D= 30° .
重点典例研析 循道而行 方能致远 全解全析P233
重点1 等腰三角形中重要的线段(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P5例1拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD是中线,BE是角平分线,AD与BE交于点O,求∠AOB的度数.
【自主解答】在△ABC中,AB=AC,AD是中线,∠BAC=80°,
∴AD⊥BC,∠ACB=∠ABC=×(180°-∠BAC)=50°,
∴∠ADB=90°,
∵BE是角平分线,
∴∠CBO=∠ABC=25°,
∴∠AOB=∠CBO+∠ADB=115°.
【举一反三】
1.如图,CE是△ABC的角平分线,若AB=AC,∠BAC=40°,则∠ACE的度数是(B)
A.20° B.35°
C.40° D.70°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=
5 cm,则BF=(B)
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm
3.如图,在△ABC中,BC=AC,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则AE= 3 .
【技法点拨】
等腰三角形中重要线段的应用策略
1.见到底边上的高
→“三线合一”
2.见到腰上的高→“等面积法”求高.
3.见到中线→中线分得的两个三角形的面积相等.
4.见到角平分线→三角形内角和求角度.
重点2 等边三角形的性质(几何直观、运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P7习题1.2T3拓展)如图,△ABC,△ADE是等边三角形,点B,C,D在同一直线上.
求证:(1)CE=AC+DC;
(2)∠ECD=60°.
【自主解答】(1)∵△ABC,△ADE是等边三角形,
∴BC=AC=AB,AE=AD,∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD=AC+DC,
∴CE=BD=AC+DC.
(2)∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
由(1)知△BAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠ABD=60°,
∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°.
【举一反三】
1.如图,△ABC为等边三角形,点D在边AC上,∠DBC=40°,则∠ADB的度数为(D)
A.25° B.60° C.90° D.100°
2.如图,B,C,D在同一直线上,△ABC,△ADE是等边三角形,若CE=15 cm,CD=6 cm,则AC=(A)
A.9 cm B.8 cm
C.7 cm D.10 cm
3.如图,△ABO是边长为2的等边三角形,则点A的坐标是 (-1,) .
4.如图,△ABC是等边三角形,D,E在直线BC上,DB=EC,求证:∠D=∠E.
【证明】∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ABD=∠ACE=120°,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠D=∠E.
【技法点拨】
“手拉手”模型——两个等边三角形
模型
条件 △ABC和△CDE为等边三角形,B,C,D三点在同一条直线上
结论 (1)△ACD≌△BCE (2)△ACG≌△BCF (3)△DCG≌△ECF
原理 利用等边三角形的边角性质证得三角形全等
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、几何直观)如图,等腰△ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上,添加下列条件,不能判定△ABE≌△ACD的是(B)
A.AD=AE B.BE=CD
C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC
2.(4分·运算能力、几何直观·2023·临夏州中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=(C)
A.20° B.25° C.30° D.35°
3. (4分·运算能力、几何直观)如图l1∥l2,等边三角形ABC的顶点B,C分别在l1和l2上,若∠1=20°,则∠2的度数为 80° .
4.(8分·推理能力、几何直观)如图,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在边BC上,连接CE.
(1)求∠ACE的度数;
(2)猜想线段AC,CD,CE之间的数量关系,并加以证明.
【解析】(1)∵△ABC和△ADE均为等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=
∠DAE=∠ABD=60°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ACE=∠ABD=60°;
(2)AC=CD+CE,证明如下:
由(1)可知△ABD≌△ACE,∴BD=CE,
∵BC=BD+DC,∴BC=CE+DC,
∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC,
∴AC=BC=CE+DC,∴线段AC,CD,CE之间的数量关系为AC=CD+CE.1 等腰三角形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解等腰三角形中的重要线段,深化对等腰三角形轴对称的认识; 几何直观、推理能力
2.探索等边三角形的性质定理. 几何直观、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.等腰三角形中的重要线段的性质 名称性质等腰三角形中的重要线段两底角的平分线 两腰上的高 两腰上的中线
1.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC和∠ACB的平分线BD和CE相交于点O,则下列结论不一定正确的是( ) A.BD=CE B.AE=AD C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE
2.等边三角形的性质 性质图形语言符号语言(1)三边 等边△ABC∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC= AC(2)三个内角都 ,每个角都是 ∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°
2.(1)如图,在等边△ABC中,AF是它的角平分线,若AC=8,则BF=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)如图所示,△ABC是等边三角形,AD∥BC,△ACD是直角三角形,则∠D= .
重点典例研析 循道而行 方能致远 全解全析P233
重点1 等腰三角形中重要的线段(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P5例1拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD是中线,BE是角平分线,AD与BE交于点O,求∠AOB的度数.
【举一反三】
1.如图,CE是△ABC的角平分线,若AB=AC,∠BAC=40°,则∠ACE的度数是( )
A.20° B.35°
C.40° D.70°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=
5 cm,则BF=( )
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm
3.如图,在△ABC中,BC=AC,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则AE= .
【技法点拨】
等腰三角形中重要线段的应用策略
1.见到底边上的高
→“三线合一”
2.见到腰上的高→“等面积法”求高.
3.见到中线→中线分得的两个三角形的面积相等.
4.见到角平分线→三角形内角和求角度.
重点2 等边三角形的性质(几何直观、运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P7习题1.2T3拓展)如图,△ABC,△ADE是等边三角形,点B,C,D在同一直线上.
求证:(1)CE=AC+DC;
(2)∠ECD=60°.
【举一反三】
1.如图,△ABC为等边三角形,点D在边AC上,∠DBC=40°,则∠ADB的度数为( )
A.25° B.60° C.90° D.100°
2.如图,B,C,D在同一直线上,△ABC,△ADE是等边三角形,若CE=15 cm,CD=6 cm,则AC=( )
A.9 cm B.8 cm
C.7 cm D.10 cm
3.如图,△ABO是边长为2的等边三角形,则点A的坐标是 .
4.如图,△ABC是等边三角形,D,E在直线BC上,DB=EC,求证:∠D=∠E.
【技法点拨】
“手拉手”模型——两个等边三角形
模型
条件 △ABC和△CDE为等边三角形,B,C,D三点在同一条直线上
结论 (1)△ACD≌△BCE (2)△ACG≌△BCF (3)△DCG≌△ECF
原理 利用等边三角形的边角性质证得三角形全等
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、几何直观)如图,等腰△ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上,添加下列条件,不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A.AD=AE B.BE=CD
C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC
2.(4分·运算能力、几何直观·2023·临夏州中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
3. (4分·运算能力、几何直观)如图l1∥l2,等边三角形ABC的顶点B,C分别在l1和l2上,若∠1=20°,则∠2的度数为 .
4.(8分·推理能力、几何直观)如图,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在边BC上,连接CE.
(1)求∠ACE的度数;
(2)猜想线段AC,CD,CE之间的数量关系,并加以证明.1 等腰三角形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容; 几何直观、推理能力
2.能证明等腰三角形的性质定理及其推论,并应用定理及其推论解决问题; 几何直观、模型观念、推理能力
3.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程,逐步掌握证明的方法,发展推理能力. 几何直观、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.全等三角形的性质:对应边 ,对应角 . 1.如图,△ABC≌△BAD.若AB=6,AC=4,BC=5,则AD的长为( ) A.4 B.5 C.6 D.以上都不对
2.全等三角形的判定方法:SSS, ,ASA, . 2.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是( ) A.∠A=∠D B.AC=DF C.AB=ED D.BF=EC
3.等腰三角形的性质 文字图示几何语言等边对等角:等腰三角形的两底角 ∵AB=AC,∴∠B=∠C三线合一:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴
3.(1)等腰三角形的顶角是80°,则底角的度数是( ) A.80° B.70° C.60° D.50° (2)如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=BC,BD平分∠ABC,若AC=10,则AD的长为 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 全等三角形的性质和判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P4习题1.1T2变式)已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.
求证:AD=CF.
【举一反三】
1.如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则∠1的度数是( )
A.76°
B.62°
C.42°
D.76°,62°或42°都可以
2.如图,点E,F在△ABC的边AC上,且EF=BC,DE∥BC,∠DFE=∠B.求证:DE=AC.
【技法点拨】
判定三角形全等的常见思路
易错提醒
SSA,AAA不能判定两个三角形全等.
重点2 等腰三角形的性质(几何直观、运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P4习题1.1T4强化)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,点E是BA延长线上一点,点F是AC上一点,连接EF并延长交BC于点G,且AE=AF.
(1)若∠B=50°,求∠E的度数.
(2)求证:AD∥EG.
【举一反三】
1.(2023·眉山中考)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,线段AD是∠BAC的平分线,点E,F是AD上任意两点(不含A,D).若AB=5 cm,AD=4 cm,则阴影部分的面积是 cm2.
3.如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上任意一点,过P作PD⊥AC于D,PE⊥AB于E,若S△ABC=12,则PE+PD=.
【技法点拨】
等腰三角形的三线合一模型
等腰三角形中,见底边中点,连中线,得垂直.
条件 图示 结论
AB=AC,D是BC的中点 AD⊥BC,且BD=CD,AD=
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力、几何直观·2024·湖南中考)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为 °.
2.(4分·运算能力、几何直观·2023·重庆中考B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度为 .
3.(4分·推理能力、几何直观·2024·内江中考)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,
AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 .
4.(8分·推理能力、几何直观)如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
