2 直角三角形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两锐角互余;掌握有两角互余的三角形是直角三角形 几何直观、推理能力
2.证明勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单实际问题 几何直观、推理能力、应用意识、运算能力
3.结合具体实例了解逆命题的概念,会识别互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立 推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.直角三角形的性质和判定 性质几何语言性质1:直角三角形的两个锐角 ∵△ABC是直角三角形, ∴∠A+∠B= °判定1:有两个角互余的三角形是 三角形∵∠A+∠B=90°, ∴△ABC是 三角形,∠ =90°勾股定理:直角三角形两条直角边的 等于斜边的平方∵△ABC是直角三角形, ∴AC2+BC2= 勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于 的平方,那么这个三角形是直角三角形∵AC2+BC2= , ∴△ABC是直角三角形,∠ =90°图示
1.(1)在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.斜三角形 (2)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A.1.5,2,2 B.7,24,25 C.6,8,10 D.9,12,15 (3)如图,在四边形ABCD中,∠D= ∠ACB=90°,CD=12,AD=16,BC=15,则AB=( ) A.20 B.25 C.35 D.30
2.互逆命题和逆定理 (1)互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和 ,那么这两个命题称为互逆命题. (2)逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的 . 2.命题“等边三角形的三个角都相等”.这个命题的逆命题是 .这个逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 直角三角形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P18习题T5补充)空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24,高是5,内底面的点A处有一只蚂蚁,要吃到B点的食物,求最短路径的长.
【举一反三】
1.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,将这个纸片沿直线DE剪去一个角后变成一个四边形ABED,则图中∠1+∠2的度数为( )
A.180° B.90° C.315° D.270°
2.如图,在等腰△ABC中,∠A=120°,AB=4,则△ABC的面积为( )
A.2 B.4 C.4 D.8
3.如图为底面圆周长为24 cm、高为9 cm的圆柱体,一只蚂蚁从距离上边缘4 cm的点A沿侧面爬行到下底面上的点B,则所经过的最短路线长为 .
【技法点拨】
重点2 直角三角形的判定(几何直观、运算能力、推理能力)
【典例2】 (教材再开发·P18T4强化)如图所示的一块地,已知∠ADC=90°,AD=
12 m,CD=9 m,AB=25 m,BC=20 m,则这块地的面积为( )
A.92 m2 B.93 m2
C.96 m2 D.90 m2
【举一反三】
1.满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( )
A.两个内角互余
B.∠B+∠A=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
2.如图,已知∠A=90°,AC=AB=3,CD=,BD=2,则点C到BD的距离为( )
A. B.
C. D.
【技法点拨】
直角三角形的判定与性质的综合应用
1.由勾股定理逆定理或两锐角互余判定三角形是直角三角形;
2.用勾股定理求线段长或由三角形内角和求角等.
重点3 互逆命题和互逆定理(几何直观、推理能力)
【典例3】(教材再开发·P16随堂练习T3强化)命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
【举一反三】
下列定理中,没有逆定理的是( )
A.两直线平行,同位角相等
B.两个全等三角形的对应角相等
C.直角三角形的两个锐角互余
D.两内角相等的三角形是等腰三角形
【技法点拨】
辨析逆命题与逆定理
1.所有命题都有逆命题;
2.定理不一定有逆定理;
3.真命题的逆命题不一定是正确的;
4.一个定理若存在逆定理,则这个逆定理一定是正确的.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、几何直观)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=16,则AB的长为( )
A.18 B.20
C.21 D.26
2.(4分·运算能力、推理能力)在直角三角形中,一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°,则这两个锐角分别为 .
3.(4分·运算能力、几何直观)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE= .
4.(8分·推理能力、几何直观)如图,在△ABC中,∠B=34°,∠C=70°,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,DF⊥AE于点F.
(1)求∠BAE的度数;
(2)求∠ADF的度数.2 直角三角形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 几何直观、推理能力
2.已知一直角边和斜边,能用尺规作出直角三角形 几何直观、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
直角三角形全等的判定方法 定理 和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简称“HL”图示几何 语言∵在Rt△ABC和Rt△DEF中, = ,AC=DF, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为点E,F,且CE=DF,AC=BD,那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是( ) A.HL B.SSS C.SAS D.AAS
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1用“HL”证直角三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P21习题T2拓展)
如图,AB,CD相交于点O,AC=BD,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,且CE=DF.求证:AC∥BD.
【举一反三】
1.如图,点P是∠BAC内一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PE=PF,则能直接得到Rt△PEA≌Rt△PFA的理由是( )
A.HL B.ASA C.AAS D.SAS
2.如图,已知△ABC,AE⊥BC于E,BD⊥AC于D,AE=BD.求证:△ABC是等腰三角形.
【技法点拨】
用“HL”证明直角三角形全等的思路
已知两个三角形是直角三角形,
(1)若斜边对应相等,只需确定一组直角边对应相等;
(2)若一组直角边对应相等,只需确定斜边对应相等.
重点2 直角三角形全等的判定与性质的综合应用(几何直观、运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P21T4强化)如图,等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点O重合,分别过点A,B作x轴的垂线,垂足为D,E,点A的坐标为(-2,5),则线段DE的长为( )
A.4 B.6 C.6.5 D.7
【举一反三】
1.如图,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O,连接AO,图中有 对全等的直角三角形.
2.如图,点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、几何直观)已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是( )
2.(4分·几何直观、推理能力)如图,在Rt△ABC和Rt△EDF中,∠BAC=∠DEF=90°,∠B=∠D,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件: ,使得Rt△ABC和Rt△EDF全等.
3.(4分·运算能力、几何直观)如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别为1和2,则正方形的边长是 .
4.(8分·推理能力、几何直观)在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,CF=AE,BC=DA.求证:Rt△ABE≌Rt△CDF.2 直角三角形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两锐角互余;掌握有两角互余的三角形是直角三角形 几何直观、推理能力
2.证明勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单实际问题 几何直观、推理能力、应用意识、运算能力
3.结合具体实例了解逆命题的概念,会识别互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立 推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.直角三角形的性质和判定 性质几何语言性质1:直角三角形的两个锐角互余∵△ABC是直角三角形, ∴∠A+∠B=90°判定1:有两个角互余的三角形是直角三角形∵∠A+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形,∠C=90°勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方∵△ABC是直角三角形, ∴AC2+BC2=AB2勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形∵AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形,∠C=90°图示
1.(1)在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则△ABC是(B) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.斜三角形 (2)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(A) A.1.5,2,2 B.7,24,25 C.6,8,10 D.9,12,15 (3)如图,在四边形ABCD中,∠D= ∠ACB=90°,CD=12,AD=16,BC=15,则AB=(B) A.20 B.25 C.35 D.30
2.互逆命题和逆定理 (1)互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题. (2)逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 2.命题“等边三角形的三个角都相等”.这个命题的逆命题是 三个角都相等的三角形是等边三角形 .这个逆命题是 真 命题.(填“真”或“假”)
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 直角三角形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P18习题T5补充)空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24,高是5,内底面的点A处有一只蚂蚁,要吃到B点的食物,求最短路径的长.
【自主解答】展开圆柱的半个侧面是长方形,
矩形的长是圆柱的底面周长的一半,即为12,长方形的宽是圆柱的高5.
如图,连接AB即是最短距离,
由勾股定理得,AB==13,
答:最短路径的长为13.
【举一反三】
1.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,将这个纸片沿直线DE剪去一个角后变成一个四边形ABED,则图中∠1+∠2的度数为(D)
A.180° B.90° C.315° D.270°
2.如图,在等腰△ABC中,∠A=120°,AB=4,则△ABC的面积为(C)
A.2 B.4 C.4 D.8
3.如图为底面圆周长为24 cm、高为9 cm的圆柱体,一只蚂蚁从距离上边缘4 cm的点A沿侧面爬行到下底面上的点B,则所经过的最短路线长为 13 cm .
【技法点拨】
重点2 直角三角形的判定(几何直观、运算能力、推理能力)
【典例2】 (教材再开发·P18T4强化)如图所示的一块地,已知∠ADC=90°,AD=
12 m,CD=9 m,AB=25 m,BC=20 m,则这块地的面积为(C)
A.92 m2 B.93 m2
C.96 m2 D.90 m2
【举一反三】
1.满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是(C)
A.两个内角互余
B.∠B+∠A=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
2.如图,已知∠A=90°,AC=AB=3,CD=,BD=2,则点C到BD的距离为(B)
A. B.
C. D.
【技法点拨】
直角三角形的判定与性质的综合应用
1.由勾股定理逆定理或两锐角互余判定三角形是直角三角形;
2.用勾股定理求线段长或由三角形内角和求角等.
重点3 互逆命题和互逆定理(几何直观、推理能力)
【典例3】(教材再开发·P16随堂练习T3强化)命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是 假 命题.(填“真”或“假”)
【举一反三】
下列定理中,没有逆定理的是(B)
A.两直线平行,同位角相等
B.两个全等三角形的对应角相等
C.直角三角形的两个锐角互余
D.两内角相等的三角形是等腰三角形
【技法点拨】
辨析逆命题与逆定理
1.所有命题都有逆命题;
2.定理不一定有逆定理;
3.真命题的逆命题不一定是正确的;
4.一个定理若存在逆定理,则这个逆定理一定是正确的.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、几何直观)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=16,则AB的长为(B)
A.18 B.20
C.21 D.26
2.(4分·运算能力、推理能力)在直角三角形中,一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°,则这两个锐角分别为 20°,70° .
3.(4分·运算能力、几何直观)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE= 3 .
4.(8分·推理能力、几何直观)如图,在△ABC中,∠B=34°,∠C=70°,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,DF⊥AE于点F.
(1)求∠BAE的度数;
(2)求∠ADF的度数.
【解析】(1)∵∠B=34°,∠C=70°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=76°,
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×76°=38°;
(2)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∵∠C=70°,∴∠DAC=90°-∠C=20°,
∵∠EAC=38°,∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=38°-20°=18°,
∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,
∴∠ADF=90°-∠DAE=90°-18°=72°.2 直角三角形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 几何直观、推理能力
2.已知一直角边和斜边,能用尺规作出直角三角形 几何直观、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
直角三角形全等的判定方法 定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简称“HL”图示几何 语言∵在Rt△ABC和Rt△DEF中,AB=DE,AC=DF, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为点E,F,且CE=DF,AC=BD,那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是(A) A.HL B.SSS C.SAS D.AAS
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1用“HL”证直角三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P21习题T2拓展)
如图,AB,CD相交于点O,AC=BD,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,且CE=DF.求证:AC∥BD.
【自主解答】∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴∠AEC=∠BFD=90°,
∵在Rt△ACE和Rt△BDF中,,
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL),
∴∠C=∠D,
∴AC∥BD.
【举一反三】
1.如图,点P是∠BAC内一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PE=PF,则能直接得到Rt△PEA≌Rt△PFA的理由是(A)
A.HL B.ASA C.AAS D.SAS
2.如图,已知△ABC,AE⊥BC于E,BD⊥AC于D,AE=BD.求证:△ABC是等腰三角形.
【解析】∵AE⊥BC,BD⊥AC,
∴∠ADB=∠BEA=90°.
在Rt△ADB与Rt△BEA中,
∵,
∴Rt△ADB≌Rt△BEA(HL),
∴∠DAB=∠EBA(全等三角形的对应角相等),
∴CA=CB,即△ABC是等腰三角形.
【技法点拨】
用“HL”证明直角三角形全等的思路
已知两个三角形是直角三角形,
(1)若斜边对应相等,只需确定一组直角边对应相等;
(2)若一组直角边对应相等,只需确定斜边对应相等.
重点2 直角三角形全等的判定与性质的综合应用(几何直观、运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P21T4强化)如图,等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点O重合,分别过点A,B作x轴的垂线,垂足为D,E,点A的坐标为(-2,5),则线段DE的长为(D)
A.4 B.6 C.6.5 D.7
【举一反三】
1.如图,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O,连接AO,图中有 3 对全等的直角三角形.
2.如图,点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE.
【证明】∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠B=∠D=∠ACE=90°,
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,
∴∠BCA=∠DEC,
在△ABC和△CDE中,,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、几何直观)已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)
2.(4分·几何直观、推理能力)如图,在Rt△ABC和Rt△EDF中,∠BAC=∠DEF=90°,∠B=∠D,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件: BC=DF(答案不唯一) ,使得Rt△ABC和Rt△EDF全等.
3.(4分·运算能力、几何直观)如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别为1和2,则正方形的边长是 .
4.(8分·推理能力、几何直观)在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,CF=AE,BC=DA.求证:Rt△ABE≌Rt△CDF.
【证明】在Rt△ADC与Rt△CBA中,
,
∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL),∴DC=BA.
又∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
在Rt△ABE与Rt△CDF中,,
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).
