3 线段的垂直平分线
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题. 推理能力、模型观念
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高,能用尺规作出等腰三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线. 几何直观
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
三角形三边垂直平分线的性质 三角形形状绘图性质锐角三角形三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离 相等 直角三角形钝角三角形
1.如图,线段AC,AB的垂直平分线交于点O,已知OC=2 cm,则OB等于(B) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 2.在△ABC纸片上有一点P,且PA=PB,则P点一定(B) A.是边AB的中点 B.在边AB的垂直平分线上 C.在边AB的高线上 D.在边AB的中线上 3.通过如下尺规作图,能使DA+DB=BC的是(D)
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1三角形三边垂直平分线的性质(推理能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P24例2拓展)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若∠A=50°,则∠BPC=(A)
A.100° B.95° C.90° D.50°
【举一反三】
如图,点P为△ABC三边垂直平分线的交点,若∠PAC=20°,∠PCB=30°,求∠PAB的度数.
【解析】∵P为△ABC三边垂直平分线的交点,∴PA=PC=PB,∴∠PAC=
∠PCA=20°,∠PBC=∠PCB=30°.
∵∠PAB=∠PBA,∴∠PAB=×(180°-2×20°-2×30°)=40°.
【技法点拨】
对三角形三边垂直平分线性质的解读
1.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部.
2.直角三角形三边垂直平分线的交点是直角三角形斜边的中点.
3.钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.
重点2 有关线段垂直平分线的尺规作图(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P25“做一做”强化)如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点D,再分别以点B,D为圆心,大于BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=5,BE=1,则EC的长度为(C)
A.3 B. C. D.2
【举一反三】
1.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,当汽车行驶到哪个位置时,与村庄M,N的距离相等 (作图说明)
【解析】①连接MN;
②作线段MN的垂直平分线l,
交直线AB于C点,则C点即为所求作.
2.如图,河流AB的一旁有一村庄P,现要在河流上修建供水站向村庄P供水,要使供水路径最短,求作供水站M的位置.
【解析】如图,点M就是所求作的点.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、几何直观)如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上,那么这个三角形一定是(D)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.直角三角形
2.(4分·运算能力、模型观念)如图,O为△ABC三边垂直平分线的交点,点O到点A的距离为6 cm,则AO+BO+CO= 18 cm .
3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在△ABC中,∠B=32°,∠C=48°,AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,BC=6 cm,请计算出∠DAE的度数和△ADE的周长.
【解析】∵AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,
∴BD=AD,CE=AE,
∴∠DAB=∠B=32°,∠EAC=∠C=48°,
∴∠ADE=∠B+∠DAB=64°,∠AED=∠C+∠EAC=96°,∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=20°,
∴△ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=6 cm.3 线段的垂直平分线
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握线段的垂直平分线的性质定理和判定定理,进一步发展推理能力. 几何直观、推理能力
2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题. 推理能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
线段垂直平分线定理 定理图形语言几何语言线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ∵PQ垂直平分AB, ∴PA= 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上∵ = ,∴点P在线段AB的垂直平分线上
1.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为点E,下列结论不一定成立的是( ) A.AB=AD B.∠BCE=∠DCE C.△BEC≌△DEC D.AB=BD 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分线,∠CAE∶∠EAB=4∶1,则∠B的度数为 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 线段的垂直平分线的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P23T1拓展)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AC的垂直平分线交CB于点D,连接AD.
(1)判断△ABD的形状,并说明理由;
(2)过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若△ABD的周长是10,求CE的长.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,BC边的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为 .
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,DE是线段AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E.求∠EBC的度数.
【技法点拨】
垂直平分线的化“折”为直
如图,DE垂直平分AC,则折线BD-AD的长为线段BC的长,即BD+AD=BC.
重点2 线段的垂直平分线的判定(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P23T2强化)如图,平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架,其中AB=AD,CB=CD,某同学观察了这只“风筝”的骨架后,认为四边形ABCD的两条对角线AC,BD垂直,垂足为E,并且BE=ED,你认为这位同学的判断正确吗 请说明理由.
【举一反三】
1.如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建在( )
A.A处 B.B处 C.C处 D.D处
2.如图,已知点A(0,8),点B(-6,8),若x轴上一点P到A,B两点的距离相等,则点P的坐标为 .
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.
(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数;
(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.
【技法点拨】
常见线段垂直平分线的推理
1.若两个点到同一线段两端点的距离相等,想到过这两点的直线是线段的垂直平分线.
2.见到线段的中点,且过中点垂直,想到线段的垂直平分线.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、运算能力)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若AC=8,AD=5,则DE的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.(4分·运算能力、推理能力)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=67.5°,D为AB的中点,且DE⊥AB交AC于点E,BC=2,则AC的长为( )
A.2 B.4
C.2+2 D.4
3.(4分·运算能力、几何直观)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,连接AE.若∠B=40°,∠C=30°,则∠BAE的度数为 .
4.(8分·推理能力、几何直观)在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜边AB,分别交AB,BC于D,E.若∠CAB=∠B+30°,求∠AEB.3 线段的垂直平分线
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握线段的垂直平分线的性质定理和判定定理,进一步发展推理能力. 几何直观、推理能力
2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题. 推理能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
线段垂直平分线定理 定理图形语言几何语言线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等∵PQ垂直平分AB, ∴PA=PB到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上
1.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为点E,下列结论不一定成立的是(D) A.AB=AD B.∠BCE=∠DCE C.△BEC≌△DEC D.AB=BD 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分线,∠CAE∶∠EAB=4∶1,则∠B的度数为 15° .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 线段的垂直平分线的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P23T1拓展)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AC的垂直平分线交CB于点D,连接AD.
(1)判断△ABD的形状,并说明理由;
(2)过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若△ABD的周长是10,求CE的长.
【自主解答】(1)△ABD为等腰三角形,
理由:∵AC的垂直平分线交CB于点D,
∴AD=CD,∴∠C=∠CAD,
∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C.
∵∠B=2∠C,∴∠ADB=∠B,
∴AD=AB,
∴△ABD为等腰三角形.
(2)∵AE⊥BD,
∴DE=BE.
∵△ABD的周长是10,
∴AD+DE=5,
∴CE=CD+DE=AD+DE=5.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,BC边的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为 6 .
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,DE是线段AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E.求∠EBC的度数.
【解析】∵∠C=90°,∠A=36°,
∴∠ABC=90°-36°=54°.
∵DE是线段AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=36°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=54°-36°=18°.
【技法点拨】
垂直平分线的化“折”为直
如图,DE垂直平分AC,则折线BD-AD的长为线段BC的长,即BD+AD=BC.
重点2 线段的垂直平分线的判定(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P23T2强化)如图,平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架,其中AB=AD,CB=CD,某同学观察了这只“风筝”的骨架后,认为四边形ABCD的两条对角线AC,BD垂直,垂足为E,并且BE=ED,你认为这位同学的判断正确吗 请说明理由.
【自主解答】正确,理由如下:
∵AB=AD,
∴点A在BD的垂直平分线上.
又∵CB=CD,
∴点C在BD的垂直平分线上,
∴AC所在直线为BD的垂直平分线,
∴BE=DE,AC⊥BD.
【举一反三】
1.如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建在(C)
A.A处 B.B处 C.C处 D.D处
2.如图,已知点A(0,8),点B(-6,8),若x轴上一点P到A,B两点的距离相等,则点P的坐标为 (-3,0) .
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.
(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数;
(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.
【解析】(1)∵∠BAC=50°,AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠BAC=25°.
∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,
∴∠EDA=90°-25°=65°.
(2)∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°=∠ACB.
又∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAC.
∵AD=AD,
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC.
∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥CE,AD平分CE,即直线AD是线段CE的垂直平分线.
【技法点拨】
常见线段垂直平分线的推理
1.若两个点到同一线段两端点的距离相等,想到过这两点的直线是线段的垂直平分线.
2.见到线段的中点,且过中点垂直,想到线段的垂直平分线.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、运算能力)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若AC=8,AD=5,则DE的长为(D)
A.6 B.5 C.4 D.3
2.(4分·运算能力、推理能力)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=67.5°,D为AB的中点,且DE⊥AB交AC于点E,BC=2,则AC的长为(C)
A.2 B.4
C.2+2 D.4
3.(4分·运算能力、几何直观)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,连接AE.若∠B=40°,∠C=30°,则∠BAE的度数为 80° .
4.(8分·推理能力、几何直观)在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜边AB,分别交AB,BC于D,E.若∠CAB=∠B+30°,求∠AEB.
【解析】∵DE垂直平分斜边AB,∴AE=BE,
∴∠EAB=∠B.
∵∠CAB=∠B+30°,∠CAB=∠CAE+∠EAB,∴∠CAE=30°.
∵∠C=90°,∴∠AEC=60°,
∴∠AEB=120°.3 线段的垂直平分线
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题. 推理能力、模型观念
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高,能用尺规作出等腰三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线. 几何直观
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
三角形三边垂直平分线的性质 三角形形状绘图性质锐角三角形三角形三条边的垂直平分线相交于 ,并且这一点到三个顶点的距离 直角三角形钝角三角形
1.如图,线段AC,AB的垂直平分线交于点O,已知OC=2 cm,则OB等于( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 2.在△ABC纸片上有一点P,且PA=PB,则P点一定( ) A.是边AB的中点 B.在边AB的垂直平分线上 C.在边AB的高线上 D.在边AB的中线上 3.通过如下尺规作图,能使DA+DB=BC的是( )
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1三角形三边垂直平分线的性质(推理能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P24例2拓展)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若∠A=50°,则∠BPC=( )
A.100° B.95° C.90° D.50°
【举一反三】
如图,点P为△ABC三边垂直平分线的交点,若∠PAC=20°,∠PCB=30°,求∠PAB的度数.
【技法点拨】
对三角形三边垂直平分线性质的解读
1.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部.
2.直角三角形三边垂直平分线的交点是直角三角形斜边的中点.
3.钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.
重点2 有关线段垂直平分线的尺规作图(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P25“做一做”强化)如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点D,再分别以点B,D为圆心,大于BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=5,BE=1,则EC的长度为( )
A.3 B. C. D.2
【举一反三】
1.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,当汽车行驶到哪个位置时,与村庄M,N的距离相等 (作图说明)
2.如图,河流AB的一旁有一村庄P,现要在河流上修建供水站向村庄P供水,要使供水路径最短,求作供水站M的位置.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、几何直观)如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上,那么这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.直角三角形
2.(4分·运算能力、模型观念)如图,O为△ABC三边垂直平分线的交点,点O到点A的距离为6 cm,则AO+BO+CO= .
3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在△ABC中,∠B=32°,∠C=48°,AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,BC=6 cm,请计算出∠DAE的度数和△ADE的周长.
