4 角平分线
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解三角形的三条角平分线相交于一点,这个点到三条边的距离相等的性质. 几何直观、推理能力
2.运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题. 推理能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
三角形三个内角平分线的性质 文字语言三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.图形语言符号语言∵AD,BE,CF分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA且交于点P,PM⊥BC,PN⊥AC,PQ⊥AB, ∴PM=PN=PQ
1.到三角形三条边距离相等的点是此三角形(A) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边中垂线的交点 2.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,如果点O到BC边的距离为5,则点O到AB边的距离为 5 . 3.如图所示,点O是△ABC内一点,BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,连接OA,若OD=5,AB=20,则△AOB的面积是 50 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 三角形角平分线的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P30例2拓展)如图,在△ABC中,∠CAB=60°,∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P,连接CP.
(1)求证:CP平分∠ACB;
(2)若AP=4,△ABC的周长为20,求△ABC的面积.
【自主解答】(1)过点P作PD⊥AB于D,作PE⊥BC于E,作PF⊥AC于F,
则PD,PE,PF分别是P到AB,BC,CA的距离,
∵P是∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP的交点,
∴PD=PE=PF,
∴CP平分∠ACB;
(2)∵∠CAB=60°,
∴∠PAB=30°,
在Rt△PAD中,PA=4,
∴PD=2,
∴S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA=AB·PD+BC·PE+CA·PF
=(AB+BC+CA)·PD
=×20×2
=20.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且相交于点F,则下列说法错误的是(D)
A.BF=CF
B.点F到∠BAC两边的距离相等
C.CE=BD
D.点F到A,B,C三点的距离相等
2.如图,O是△ABC内一点,且O到△ABC三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=66°,则∠BOC=(C)
A.120° B.130° C.123° D.125°
【技法点拨】
三角形的三条角平分线交点的性质
图示 条件 结论
BE,CF分别平分∠ABC, ∠ACB且交于点P ∠BPC=90°+∠A
AP,BP,CP分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB且交于点P S△ABP+S△BCP+S△ACP= S△ABC; S△ABC=C△ABC·PM
重点2 三角形角平分线的应用(模型观念、推理能力)
【典例2】 (教材再开发·P32T4拓展)如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两条直角边分别为6 m和8 m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是 6 m .
【举一反三】
1.甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题,则正确的作图是(C)
问题:某旅游景区内有一块三角形绿地ABC,如图所示,现要在道路AB边上建一个休息点M,使它到AC和BC两边的距离相等,在图中确定休息点M的位置
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.如图,△ABC的三边AC,BC,AB的长分别是8,12,16,点O是△ABC三条角平分线的交点,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC的值为(A)
A.4∶3∶2 B.5∶3∶2 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·运算能力、推理能力)如图,点O到△ABC三边的距离相等,∠ABC=84°,则∠AOC= 132° .
2.(4分·运算能力、几何直观)如图,P是△ABC的内角∠ABC与它的外角∠ACD的平分线的交点,点P到直线AC的距离为5 cm,则点P到直线AB的距离是
5 cm.
3.(8分·推理能力、几何直观)如图①,在△ABC中,∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D.
(1)∠D=50°,求∠A的度数;
(2)如图②,连接AD,求证:AD平分∠BAC.
【解析】(1)∵∠D=50°,
∴∠BCD+∠CBD=130°,
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,
∴∠BCE=2∠BCD,∠CBF=2∠CBD,
∴∠BCE+∠CBF=2∠BCD+2∠CBD=
2(∠BCD+∠CBD)=260°,
∴∠ACB+∠ABC=(180°-∠BCE)+(180°-∠CBF)=360°-(∠BCE+∠CBF)=100°,
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=80°;
(2)分别过D作DM,DN,DG垂直于AB,BC,AC,垂足分别为M,N,G,
∵BD平分∠CBF,DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,
∴DM=DN.
同理DG=DN,∴DM=DG,
∴点D在∠BAC的平分线上,
∴AD平分∠BAC.4 角平分线
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解三角形的三条角平分线相交于一点,这个点到三条边的距离相等的性质. 几何直观、推理能力
2.运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题. 推理能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
三角形三个内角平分线的性质 文字语言三角形的三条角平分线相交于 ,并且这一点到 的距离相等.图形语言符号语言∵AD,BE,CF分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA且交于点P,PM⊥BC,PN⊥AC,PQ⊥AB, ∴
1.到三角形三条边距离相等的点是此三角形( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边中垂线的交点 2.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,如果点O到BC边的距离为5,则点O到AB边的距离为 . 3.如图所示,点O是△ABC内一点,BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,连接OA,若OD=5,AB=20,则△AOB的面积是 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 三角形角平分线的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P30例2拓展)如图,在△ABC中,∠CAB=60°,∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P,连接CP.
(1)求证:CP平分∠ACB;
(2)若AP=4,△ABC的周长为20,求△ABC的面积.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且相交于点F,则下列说法错误的是( )
A.BF=CF
B.点F到∠BAC两边的距离相等
C.CE=BD
D.点F到A,B,C三点的距离相等
2.如图,O是△ABC内一点,且O到△ABC三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=66°,则∠BOC=( )
A.120° B.130° C.123° D.125°
【技法点拨】
三角形的三条角平分线交点的性质
图示 条件 结论
BE,CF分别平分∠ABC, ∠ACB且交于点P ∠BPC=90°+∠A
AP,BP,CP分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB且交于点P S△ABP+S△BCP+S△ACP= S△ABC; S△ABC=C△ABC·PM
重点2 三角形角平分线的应用(模型观念、推理能力)
【典例2】 (教材再开发·P32T4拓展)如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两条直角边分别为6 m和8 m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是 .
【举一反三】
1.甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题,则正确的作图是( )
问题:某旅游景区内有一块三角形绿地ABC,如图所示,现要在道路AB边上建一个休息点M,使它到AC和BC两边的距离相等,在图中确定休息点M的位置
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.如图,△ABC的三边AC,BC,AB的长分别是8,12,16,点O是△ABC三条角平分线的交点,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC的值为( )
A.4∶3∶2 B.5∶3∶2 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·运算能力、推理能力)如图,点O到△ABC三边的距离相等,∠ABC=84°,则∠AOC= .
2.(4分·运算能力、几何直观)如图,P是△ABC的内角∠ABC与它的外角∠ACD的平分线的交点,点P到直线AC的距离为5 cm,则点P到直线AB的距离是
cm.
3.(8分·推理能力、几何直观)如图①,在△ABC中,∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D.
(1)∠D=50°,求∠A的度数;
(2)如图②,连接AD,求证:AD平分∠BAC.4 角平分线
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.证明角平分线的性质定理,探索并证明角平分线的判定定理,进一步发展推理能力. 几何直观、推理能力
2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题. 推理能力、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
如图所示,若DE⊥AB,DF⊥AC,则对于∠1和∠2的大小关系,下列说法中,正确的是( ) A.一定相等 B.一定不相等 C.当BD=CD时相等 D.当DE=DF时相等
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 角平分线的性质定理(几何直观、推理能力)
【典例1】 (2024·湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM= .
【举一反三】
1. (2024·绵阳期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥AB于点E,若DE=3 cm,则AC=( )
A.9 cm B.6 cm C.12 cm D.3 cm
2.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E,且BC=10 cm,则△DEC的周长是 .
【技法点拨】
由角平分线求三角形面积
(1)两垂直,一平分,三个条件缺一不可.
(2)常作辅助线:过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F,得DE=DF.
(3)若BD平分∠ABC,则S△BCD=BC·DE.
重点2 角平分线的判定定理(模型观念、推理能力)
【典例2】如图,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于点E,CF⊥AB交AB的延长线于点F.求证:AC平分∠DAB.
【举一反三】
1.如图,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N.若OM=ON,则∠ABO= .
2.(教材再开发·P30T2强化)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、几何直观)如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论中,错误的是( )
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
2.(4分·几何直观、推理能力)(2024·天津中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
3.(8分·推理能力、几何直观)如图,BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交于点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.4 角平分线
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.证明角平分线的性质定理,探索并证明角平分线的判定定理,进一步发展推理能力. 几何直观、推理能力
2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题. 推理能力、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
如图所示,若DE⊥AB,DF⊥AC,则对于∠1和∠2的大小关系,下列说法中,正确的是(D) A.一定相等 B.一定不相等 C.当BD=CD时相等 D.当DE=DF时相等
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 角平分线的性质定理(几何直观、推理能力)
【典例1】 (2024·湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM= 6 .
【举一反三】
1. (2024·绵阳期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥AB于点E,若DE=3 cm,则AC=(A)
A.9 cm B.6 cm C.12 cm D.3 cm
2.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E,且BC=10 cm,则△DEC的周长是 10 cm .
【技法点拨】
由角平分线求三角形面积
(1)两垂直,一平分,三个条件缺一不可.
(2)常作辅助线:过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F,得DE=DF.
(3)若BD平分∠ABC,则S△BCD=BC·DE.
重点2 角平分线的判定定理(模型观念、推理能力)
【典例2】如图,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于点E,CF⊥AB交AB的延长线于点F.求证:AC平分∠DAB.
【自主解答】∵CE⊥AD于点E,CF⊥AB,
∴∠DEC=∠BFC=90°.
∵∠D+∠ABC=180°,∠CBF+∠ABC=180°,∴∠D=∠CBF.
在△CDE与△CBF中,,
∴△CDE≌△CBF(AAS),
∴CE=CF,∴AC平分∠DAB.
【举一反三】
1.如图,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N.若OM=ON,则∠ABO= 15° .
2.(教材再开发·P30T2强化)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
【证明】∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△CDF是直角三角形.
∵,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是△ABC的角平分线.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、几何直观)如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论中,错误的是(B)
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
2.(4分·几何直观、推理能力)(2024·天津中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为(B)
A.60° B.65° C.70° D.75°
3.(8分·推理能力、几何直观)如图,BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交于点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
【证明】∵BD⊥AM,CE⊥AN,
∴∠CDF=∠BEF=90°.
在△CDF和△BEF中,,
∴△CDF≌△BEF(AAS),
∴DF=EF,∴点F在∠A的平分线上.
